Dziś zajmiemy się rachunkiem różniczkowym funkcji wielu zmiennych. Ostatnio omówiliśmy pojęcie ciągłości funkcji. Teraz wykonamy taki przykład. Należy sprawdzić, czy funkcja nastepującej postaci jest ciągła:

I rozwiązujemy. Na samym początku należy zbadać, czy funkcja w punkcie granicznym (0, 0) ma skonczoną granicę funkcji. I druga rzecz, to sprawdzenie, czy granica będzie równa wartości funkcji. A zatem na początek sprawdzamy, czy istnieje taka granica:

Niech
. I liczymy dalej granicę podstawiając:

Stąd wynika wniosek, że granica nie istnieje. Funkcja f nie jest więc ciągła w punkcie (0, 0). Przytoczmy teraz takie twierdzenie. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie
(wielu zmiennych), to ciągłe są nastepujące funkcje:

a)

b)

c)

d)

, gdzie k to kula.

I teraz kolejny temat, jakim się zajmiemy, to różniczkowanie funkcji wielu zmiennych.

Na początek taka definicja. Odwzorowanie
jest różniczkowalne w punkcie
wtedy, gdy istnieje odwzorowanie liniowe
takie, że:

, gdzie
. Istnieje taka uwaga. Warunek zadany w definicji różniczkowalności jest równoważny nastepującemu warunkowi:

Kolejna definicja. Odwzorowanie liniowe A nazywamy POCHODNĄ FUNKCJI f W PUNKCIE
, przy czym wprowadzamy nastepujące oznaczenia:

. I nastepna ważna definicja o pochodnej funkcji f w kierunku wektora
. Niech
, oraz
. POCHODNĄ FUNKCJI f W PUNKCIE
w kierunku wektora
nazywamy granicę
. Oto interpretacja geometryczna:

DEFINICJA - POCHODNA CZĄSTKOWA

Pochodną cząstkową funkcji f nazywamy szczególne przypadki pochodnej funkcji w kierunku wektora
, gdy wektory
pokrywają się z wersorami układu odniesienia. Inaczej: Pochodną cząstkową względem zmiennej
w punkcie
nazywamy (o ile istnieje) granicę:

, gdzie:

.

Dla pochodnych cząstkowych stosujemy odrębne oznaczenia postaci:
.

I teraz przytoczymy takie twierdzenie. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie
, to mają miejsce następujące fakty:

a)

b)

I kolejne z twierdzeń. Niech
, oraz
. Jeżeli istnieje otoczenie U punktu
, czyli
wszystkie pochodne cząstkowe
są ciągłe w U dla
, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
(C to funkcja ciągła). Na podstawie tych twierdzeń rozpatrzmy nastepujący przykład. Dana jest dwóch zmiennych postaci
. Należy obliczyć:

1. Pochodną funkcji
   

2. Obliczyć
   

3. Znaleźć pochodną odwzorowania f'(x).

Oto rozwiązanie przykładu:

1. 
   I rozpatrzmy teraz granicę:

=

2. Przyjmijmy, że
   . Rozwiązujemy:
   .

Przyjmijmy, że
. Rozwiązujemy:

3. 
   .

Tu jednak należy dodać pewną uwagę, ze pochodne cząstkowe funkcji wielu zmiennych obliczamy, jak pochodne funkcji jednej zmiennej traktując pozostałe zmienne jako parametry (stałe). A zatem:

Ptrzejdźmy teraz do definicji POCHODNYCH WYŻSZYCH RZĘDÓW. Niech
. Pochodną rzędu drugiego (cząstkową) nazywamy
. Rozumeimy je jako nałożenie na siebie dwóch pochodnych:

Pochodną cząstkową rzędu k nazywamy:
.

Rozpatrzmy taki przykład. Należy obliczyć pochodną drugiego rzędu funkcji
. Wynikiem będzie 6 pochodnych. A mianowicie:

,
,
,

I na zakończenie wykładu takie twierdzenie. Jeśli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe
w punkcie
, to ma miejsce równość:
.