dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) UE listy Odcinek 6 (55); Kontynuujemy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. 601 566200.
LISTA 3
ZADANIA 1 - 4
ALGEBRA LINIOWA
W odcinku omawiamy pojęcia związane z przekształceniami liniowymi; są zadania rachunkowe; podano przykłady różnych przekształceń, trzeba rozpoznać, które z nich są liniowe; dowodzimy również twierdzenia związane z przekształceniami liniowymi; przedstawiamy te przekształcenia w formie macierzowej.
Zaczniemy od podania podstawowych pojęć:
DEFINICJA PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO
I
PODSTAWOWE POJĘCIA Z TYM ZWIĄZANE
Dane są dwie przestrzenie wektorowe E i F. Przekształceniem liniowym A przestrzeni E w przestrzeń F nazywamy funkcję
taką, że
addytywność
i jeśli α jest skalarem, wówczas
jednorodność
Uwaga w kwestii oznaczeń: zwykle zamiast 
pisze się po prostu 
; w tej konwencji wzory (2) i (3) będą miały wygląd:
oraz
.
Oba wzory (2) i (3) mogą zostać zastąpione jednym:
liniowość.
Jeśli 
oraz 
, czyli
wyraża się za pomocą mnożenia macierzy; dla każdego przekształcenia (7) istnieje macierz mająca n kolumn i m wierszy, że przekształcenie A ma postać
,
gdzie
;
Jeśli oznaczymy 
, przy czym wprowadzimy oznaczenie
,
wówczas zależność (8) można zapisać w formie układu równań:
.
Na razie wystarczy pojęć podstawowych; zauważmy, że algebrę liniową można studiować bez pojęcia przekształcenia liniowego, a wszystkie fakty wyrazić w języku układów równań liniowych; przyjęło się jednak używać również języka przekształceń liniowych i ku utrapieniu studentów trzeba się tego uczyć.
KONIEC PREZENTACJI POTRZEBNYCH POJĘĆ
Zadanie 1. Które z następujących funkcji są operatorami liniowymi.
Polecenie a) 
; 
;
jest to oczywiście przekształcenie liniowe, jego macierzowa postać wygląda w sposób następujący:
;
Uwaga.
Wynik mnożenia macierzy przez wektor - kolumnę we wzorze (12) jest wektorem - kolumną:
;
w algebrze liniowej czasami odróżnia się wektory - wiersze od wektorów - kolumn. Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, nie ma sensu ich rozróżniać, tylko zapisywać tak, jak jest wygodnie i ekonomicznie, jeśli chodzi o rozkład miejsca na stronicy. Gdybyśmy chcieli być wierni zapisowi z treści zadanie musielibyśmy postać macierzową zapisać w sposób następujący:
,
w tym wypadku wynik zapisujemy
;
w większości podręczników jest przyjęta konwencja (12) i (13), a nie (14) i (15); wybór zapisu, rzecz gustu, lecz rozsądek podpowiada, aby pisać tak, jak pisze większość autorów. Nie będziemy już wracać do sprawy oznaczeń i wektory będziemy pisać tak, jak akurat jest wygodnie, albo jako wiersze, albo jako kolumny.
Polecenie b) 
; 
.
Przekształcenie jest liniowe:
.
Polecenie c) 
; 
.
Podane przekształcenie nie jest liniowe; weźmy wektor 
;mnożymy go przez pięć: 
; obliczamy 
, natomiast 
, czyli 
, tak więc 
. Podaliśmy tzw. kontrprzykład, z którego wynika, że nie jest spełniony warunek jednorodności (3), a zatem przekształcenie A nie jest liniowe.
Polecenie d) 
; 
;
to przekształcenie oczywiście jest liniowe, a oto jego macierzowa postać:
.
Polecenie e) 
; 
;
To nie jest przekształcenie liniowe; w zadaniu drugim wykażemy, że dla każdego przekształcenia liniowego zachodzi równość:
;
tutaj równość (18) nie jest spełniona, bowiem 
, czyli jest 
.
Polecenie f) 
; 
;
w tym wypadku oczywiście mamy do czynienia z przekształceniem liniowym; oto jego macierzowa postać
.
Polecenie g) 
; 
;
przekształcenie A nie jest liniowe, bowiem 
.
W tych przykładach, w których przekształcenie jest liniowe, można bezpośrednio sprawdzać warunki (2) i (3), kto ma na to ochotę, niechaj sprawdza; autor odcinków takiej ochoty nie wykazuje; jeśli będziecie to liczyć, to nie ma tam nic innego, jak wyciąganie przed nawias i rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Zadanie 2. Wykazać, że jeśli A jest operatorem liniowym, to 
.
Na tej własności opieraliśmy się wcześniej w zadaniu pierwszym; teraz udowodnimy to, a potem będzie komentarz.
Dowód.
Zakładamy, że 
. Niech 
Wcześniej pokazaliśmy, że dla każdego wektora 
zachodzi wzór 
; z warunku (2) mamy
.
Na ćwiczeniach wywód (20) nie będzie raczej potrzebny, tylko od razu będzie się korzystać z własności 
, w której w miejsce wektora 
podstawia się 
:
;
a zatem 
; zauważmy, że zero po lewej stronie równości oznacza wektor zerowy przestrzeni E , a po prawej stronie wektor zerowy przestrzeni F.
Komentarz. Na mocy autorytetu podaliśmy, że przekształcenie liniowe ma postać macierzową, jeśli w przykładach zaznaczonych na zielono w miejsce zmiennych wpiszemy same zera, to w wyniku również dostaniemy zera, jeśli w wzorze (11) w miejsce x - ów wpiszemy zera, to y - ki też będą zerami; tym świetle twierdzenie jest oczywiste.
Zadanie 3. Niech 
będzie operatorem liniowym.
Definicja. Zbiór
nazywamy jądrem operatora i oznaczamy symbolem Ker A.
Twierdzenie a) Ker A jest podprzestrzenią E.
Zgodnie z definicją podprzestrzeni należy pokazać, że jeżeli 
oraz α i β są skalarami, to 
. Zapiszmy
.
Twierdzenie jest udowodnione.
Komentarz. Można je sformułować tak: Zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest zamknięty ze względu na branie kombinacji liniowych. Można jeszcze powiedzieć tak: kombinacja liniowa dwu rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych jest również rozwiązaniem tego układu równań.
Wcześniej powiedzieliśmy, że całą algebrę liniową można wyłożyć bez abstrakcyjnych pojęć, a tylko w konwencji układów równań liniowych, zawsze można przetłumaczyć twierdzenia algebry na język równań.
Twierdzenie b) Operator A jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy 
.
Komentarz. Twierdzenia można sformułować w sposób następujący:
Na to, by operator był różnowartościowy potrzeba i wystarcza, by 
.
Oba sposoby sformułowania twierdzenia oznaczają równoważność dwu warunków:
M : 
;
N : Operator A jest różnowartościowy.
Dowód.
Najpierw pokażemy implikację N → M. Z zadania 2 wiemy, że 
; jeśli 
, to na mocy założenia N zachodzi równość 
, stąd wyciągamy wniosek, że jedynym wektorem należącym do Ker A jest wektor zerowy, czyli zachodzi warunek M.
Teraz pokażemy implikację M → N. Niech zatem 
; trzeba pokazać, że 
. Korzystając z liniowości możemy zapisać: 
, czyli 
; ponieważ warunek M głosi, że wektor zerowy jest jedynym elementem należącym do 
, więc 
, a więc 
.
Udowodniliśmy równoważność obu warunków: M ↔ N.
Komentarz.
W języku układów równań liniowych można to twierdzenie wyrazić w sposób następujący: Niesprzeczny układ równań liniowych
ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy związany z nim układ jednorodny
również ma jedno rozwiązanie; oczywiście rozwiązanie układu jednorodnego jest wektor zerowy.
Koniec odcinka.
Termin operator jest synonimem terminu przekształcenie. W matematyce często stosuje się synonimy po to, aby tekst nie był pisany zbyt ubogim językiem.
Jeśli układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, wówczas mówi się, że jest to układ oznaczony.
1