dr Tadeusz Janaszak (Wrocław tel. 601 566200) UE listy Odcinek 2 (51); Zaczynamy cykl odcinków poświęconych listom zadań dla WYDZIAŁU ZARZĄDZANIA I FINANSÓW; KIERUNEK FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ. Podobne zadania przerabia się na prawie wszystkich zajęciach zarówno w Uniwersytecie Ekonomicznym jak i szkołach prywatnych, jak np. WYŻSZA SZKOŁA BANKOWA, ponadto UNIWRSYTET PRZYRODNICZY, POLITECHNIKA i inne uczelnie, gdzie matematyka jest przedmiotem pomocniczym. Omawiana lista pochodzi z roku akademickiego 2010/2011. Drogą mailową można nadsyłać pytania, zadania, problemy. Zapraszam na konsultacje, najlepiej zadzwonić tel. 601 566200.
LISTA 1
ZADANIE 2
ALGEBRA LINIOWA
W odcinku poruszamy temat podprzestrzeni liniowej. Nie każdy podzbiór przestrzeni liniowej jest podprzestrzenią wyjściowej przestrzeni wektorowej. Zadanie dotyczy konkretnie określonych podzbiorów przestrzeni liniowej i sprawdzeniu, czy są one podprzestrzeniami. Rozwiązania ilustrujemy rysunkami. Odcinek mogą czytać również wszyscy, którzy chcą poznać podstawy geometrii analitycznej.
Zadanie 2. Które z następujących zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni.
Polecenie a) 
.
Zbiór A zawarty w przestrzeni liniowej, w tym wypadku przestrzeni trójwymiarowej 
, nazywamy podprzestrzenią, jeśli jest zamknięty ze względu na działanie dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę; tzn.
jeśli 
i 
, to 
;
jeśli 
i 
, to 
.
Niech 
i 
; przy czym
oraz 
;
wówczas mamy
;
gdy zaś 
, wówczas
.
Jeśli 
wówczas 
, podobnie, gdy 
, to 
; z tego wynika, że 
, a więc 
Jeśli teraz 
i 
, czyli 
, wówczas 
, skąd wynika, że 
; tak więc pokazaliśmy, że zbiór A jest podprzestrzenią, gdyż jest zamknięty ze względu na oba działania.
Tego wywodu od studenta będzie oczekiwał prowadzący ćwiczenia; my zrobimy nieco więcej, gdyż odcinki mają podnosić kulturę matematyczną w Polsce, a nie tylko służyć utylitarnemu celowi otrzymania przez studenta ukochanej trójki.
Zbiór A możemy narysować jako płaszczyznę przechodzącą przez początek układu współrzędnych, rozpiętą na wektorach 
oraz 
, bowiem zachodzi równość:
, gdzie 
Zauważmy, że niebieski wektor 
jest prostopadły do żółtej płaszczyzny; to nie jest przypadek.
Podprzestrzeń A jest generowana przez wektory 
oraz 
, co w algebrze liniowej zapisuje się w sposób następujący: 
Polecenie b) 
.
Niech 
, to znaczy 
oraz 
; wektor 
jest równy 
; aby pokazać, że 
trzeba udowodnić równość 
; ta równość jest oczywista, gdyż 
.
Sprawdzamy drugi warunek: niech 
i 
wektor 
ma współrzędne
; trzeba pokazać, że 
; to jest oczywiste, gdyż 
. Tyle wystarczy na ćwiczenia.
Warunek 
możemy potraktować jako układ równań z trzema niewiadomymi: 
. Zapiszemy jego rozwiązanie z parametrami zewnętrznymi:
, gdzie 
,
a oto rozwiązanie (7) w postaci wektorowej:
, gdzie 
;
tak więc podprzestrzeń A jest rozpięta na wektorach: 
oraz 
; przypatrzmy się uważnie warunkowi 
jest to równanie liniowe postaci 
. Zapiszmy wektor 
; jest to wektor prostopadły do płaszczyzny A rozpiętej na wektorach 
i 
czyli tej, która jest treścią zadania. Narysujemy płaszczyznę A, wektory ją rozpinające i wektor prostopadły; prostopadłość wektorów łatwo sprawdzić posługując się iloczynem skalarnym:
.
Na rysunku 2 symbolem O zaznaczamy początek układu współrzędnych, aby zachować czytelność rysunku pominiemy osie układu współrzędnych:
Uwaga. Podprzestrzeń jest płaszczyzna przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
Podobnie, jak w poprzednim przykładzie możemy zapisać: 
Polecenie c) 
Sprawdzimy warunki charakterystyczne dla podprzestrzeni: niech 
, stąd 
oraz 
; trzeba pokazać, że
warunek (11) jest spełniony, bowiem zachodzi równość
.
Drugi z warunków: niech 
i 
, wektor 
ma współrzędne
; trzeba pokazać, że
;
warunek (12) jest spełniony ze względu na ciąg równości 
.
Na ćwiczenia powinno wystarczyć, sprawdziliśmy bowiem, że warunki określające podprzestrzeń są spełnione.
Podobnie, jak poprzednio zapiszmy rozwiązanie układu równań liniowych: jedno równanie, trzy niewiadome 
; możemy je przedstawić:
; 
zapiszemy rozwiązanie z parametrami zewnętrznymi:
; 
teraz przejdziemy na wektorową formę zapisu
;
Z wzoru (15) wyciągamy wniosek, że podprzestrzeń A jest płaszczyzną przechodzącą przez
początek układu, rozpiętą na wektorach 
oraz 
; zauważmy, że wektor 
odczytany z równania 
jest prostopadły do obu wektorów rozpinających płaszczyznę A; przekonujemy się o tym obliczając iloczyny skalarne:
;
.
Na rys. 3 początek układu zaznaczony jest, podobnie, jak poprzednio, literą O; aby nie zaciemniać rysunku, zrezygnujemy z osi układu współrzędnych:
Żółta płaszczyzna jest podprzestrzenią i jako taka przechodzi przez początek układu współrzędnych O. Zapiszmy jeszcze 
Polecenie d) 
.
Sprawdzamy warunek pierwszy; niech 
, stąd
oraz 
,
ponadto
oraz 
.
Mamy równość 
badamy, czy współrzędne wektora 
spełniają warunki podane w poleceniu; dodając stronami obie równości (18) oraz równości (19) dostajemy dwa związki:
i
.
Wyniki (20) i (21) pokazują, że 
.
Niech 
i 
; równość 
mnożymy obustronnie przez α ;
dostajemy:
;
mnożąc z kolei stronami równość 
otrzymujemy:
;
związki (22) i (23) dowodzą, że wektor 
należy do zbioru A, a więc zbiór A jest podprzestrzenią. Wykonaliśmy polecenie potrzebne na ćwiczenia.
Zastanówmy się, jak wygląda podprzestrzeń A ? W tym celu napiszmy oba definiujące ją warunki; jako układ równań:
;
z rozważań przeprowadzonych w poprzednich przykładach możemy wywnioskować, że podprzestrzeń spełniająca warunek 
jest płaszczyzną przechodzącą przez początek układu współrzędnych i podprzestrzeń spełniająca drugi warunek 
także. Wyciągamy stąd wniosek, że poszukiwany przez nas zbiór A, to krawędź przecięcia obu płaszczyzn, jest to więc prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych.
Na rys. 4 wspólną krawędź dwu płaszczyzn: żółtej i beżowej zaznaczono, jako czerwoną linię. Początek układu współrzędnych: O.
W dalszej kolejności wykonamy potrzebne obliczenia w celu znalezienia wektora 
. Zespół warunków określających podprzestrzeń A przedstawimy w formie układu równań:
, czyli 
po wykonaniu działania zasygnalizowanego kolorem pomarańczowym dostajemy następującą postać warunków:
, czyli 
po podzieleniu drugiego równania przez trzy mamy:
, czyli 
wykonanie pomarańczowego planu doprowadzi nas do końcowego rezultatu:
, czyli 
;
zapisujemy rozwiązanie w różnych postaciach:
, gdzie 
, gdzie 
, gdzie 
Wektor 
zamieszczony na rys. 4 jest równy 
; wytycza on prostą A, która, jako podprzestrzeń przechodzi przez początek układu współrzędnych. Z użyciem symbolu lin można podprzestrzeń A zapisać w sposób następujący: 
.
Polecenie e) 
.
Tym razem 
zespół warunków przedstawimy w formie jednorodnego układu równań liniowych:
, czyli 
;
znowu mamy do czynienia z jednorodnym układem równań liniowych, więc zbiór A będzie podprzestrzenią. Uważny Czytelnik zapewne zauważył, że podprzestrzenie są to po prostu zbiory rozwiązań układów jednorodnych.
Jeśli 
, wówczas możemy zapisać warunki, które spełniają współrzędne tych wektorów:
oraz 
;
oraz 
.
Dodając stronami warunki we wzorach (33) i (34) otrzymujemy rezultaty:
i
;
tak więc współrzędne wektora 
spełniają warunki określające zbiór A, czyli 
.
Jeśli teraz 
i 
, wówczas równanie 
mnożymy stronami przez α i dostajemy 
, podobnie: 
, a więc współrzędne wektora 
spełniają podane warunki, czyli 
. Zakończyliśmy dowód potrzebny na zajęcia.
Jeśli chcemy znaleźć bazę podprzestrzeni A, musimy zapisać rozwiązanie układu (32) :
, gdzie 
, gdzie 
,
gdzie 
Podprzestrzeń A jest generowana przez wektory 
i 
, co można zapisać: 
.
W pozostałych przykładach mamy zbiory, które nie są podprzestrzeniami liniowymi.
Polecenie f) 
.
Zbiór A nie jest podprzestrzenią liniową, gdyż wektor zerowy: 
nie należy do tego zbioru. W algebrze liniowej jest twierdzenie, które głosi, że wektor zerowy należy do każdej podprzestrzeni. Zbiór A jest tzw. przesunięciem podprzestrzeni liniowej; używa się też nazwy przestrzeń afinicza, lecz w tym miejscu nie będziemy o tym mówić.
Polecenie g) 
. Zbiór A nie jest podprzestrzenią. Argumentacja taka sama, jak w poprzednim przykładzie, to również jest przestrzeń afiniczna.
Polecenie h) 
. Ten zbiór nie jest ani podprzestrzenią, ani przesunięciem podprzestrzeni; wprawdzie wektor zerowy należy do A, lecz nie są spełnione inne warunki. Weźmy wektor 
; jego współrzędne spełniają podany warunek, czyli 
; niech dalej 
; wektor 
ma postać: 
; obliczamy podany warunek:
.
W wzorze (40) lewa strona nie równa się prawej, a więc 
, to wystarcza, by stwierdzić, że zbiór A nie jest podprzestrzenią.
Koniec odcinka.
Baza jest to liniowo niezależny zbiór wektorów generujących podprzestrzeń.
1
DEFINICJA PODPRZESTRZENI
DEFINICJE DZIAŁAŃ
x2
x3
x1
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
Rys. 1.
Podprzestrzeń z polecenie a),
czyli żółta płaszczyzna rozpięta na wektorach pomarańczowym i zielonym
(0,1,0)
(1,0,1)
(1,0,-1)
·
·
O
Rys. 2.
Podprzestrzeń z polecenia b),
czyli płaszczyzna rozpięta na wektorach pomarańczowym i zielonym; wektor niebieski prostopadły do płaszczyzny A
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI WŁASNYMI
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI
WEKTOROWYZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI
·
·
0
(-3,2,0)
(5,0,2)
(2,3,-5)
Rys. 3.
Podprzestrzeń z polecenia c); rozpięta na wektorach (-3,2,0) oraz (5,0,2); prostopadła do wektora (2,3,-5)
·
A
A
A
·
Rys. 4.
Część wspólna dwu podprzestrzeni dwuwymiarowych jest podprzestrzenią jednowymiarową wytyczoną przez wektor 
- analiza zjawiska bez obliczeń
A
O
k
→
(-1) · I + II
: 3
OK
OK
2 · II + I
OK
OK
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM WŁASNYM
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM
WEKTOROWY ZAPIS ROZWIĄZANIA Z PARAMETREM ZEWNĘTRZNYM
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI WŁASNYMI
ZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI
WEKTOROWYZAPIS ROZWIĄZANIA Z DWOMA PARAMETRAMI ZEWNĘTRZNYMI