Matematyka

Ćwiczenia

17.05.2002

Temat: Programowanie liniowe

Zadanie programowania liniowego polega na wyznaczeniu ekstremalnej wartości funkcji przy ograniczeniach. Ekstremum może być minimum albo maksimum.

(max)z = 2x1 +x2

przy ograniczeniach.

2x1 + 2x2 <= 14 L1: 2x1+2x2 = 14 x1+x2 =7

x1 + 2x2 <= 8 L2

4x1 <= 16 L3: x1 = 4

x1,x2>=0

Ograniczenia wyznaczają zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Poszukujemy maksimum w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych. Zadanie jest sprzeczne jeżeli zbiór rozwiązań jest pusty.

Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wielokątem wypukłym. Można wykazać, że jeżeli istnieje rozwiązanie zadania programowania liniowego to jest osiągane w wierzchołku wielokąta wypukłego.

Z= 2x1 + x2

Z(A)= 10

Z(B) = 9

Z(C)=8

Zadanie

Zakład dziewiarski produkuje dwa wyroby (w1,w2) na dwóch maszynach(r1,r2), które mają normy pracy.

Cena zbytu:

W1 5 j.p

W2 7,5 j.p

	W1	W2	Ograniczenia godzinowe
R1	2	1	11
R2	2	2	20
Cena jednostki	5	7,5

Tabela mówi nam, że przy wyprodukowaniu wyrobu R1 dla pierwszego wyrobu pracuje 2 godziny a dla W2 1

Wyrażenie:

5x1 + 7,5x2 oznacza zysk ze sprzedaży wyrobów. Celem jest maksymalizowanie zysku.

(max)z = 5x1 + 7,5x2

Z tabeli mamy ograniczenia:

2x1 + x2 <= 11

2x1 + 2x2 <= 20

x1, x2 >= 0

Znajdujemy zbiór rozwiązań dopuszczalnych.

Z(A) = 5*1 + 7,5 *9 = 72,5

Z(B)= 5*0 + 7,5 * 10 = 75

Z(C)= 55/2

Odpowiedź: Wartość zysku dla X1=1 i X2=9 wynosi 72,5, dla X1=0 i X2 = 10 wynosi 75. Formalnie korzystniejsze jest rozwiązanie X1=0, X2=10. Rozwiązania, w których przynajmniej jedna ze zmiennych = 0 nazywają się rozwiązaniami zdegenerowanym i nie mają praktycznego znaczenia.

UWAGA: Program Simplex nie wyznacza rozwiązań zdegenerowanych.

Temat: wyznaczanie minimum przy ograniczeniach.

(min)z = 2x1 + 3x2

6x1 + 2x2 >=8 3x1 +x2 = 4

x1 + 5x2 >= 4 x1 + 5x = 4

x1, x2>=0

Z(A) = 16/7 + 12/7 = 28/7 = 4

Z(B) = 12

Z(C) = 8

Zadaniami na minimum minimalizujemy koszty lub straty.

UWAGA:

Funkcja, która podlega maksymalizacji bądź minimalizacji nazywa się funkcją celu. Inaczej mówiąc poszukujemy ekstremum funkcji celu na zbiorze rozwiązań dopuszczalnych

Zadanie:

Mieszanka paszowa składa się z dwóch produktów P1, P2 i ma dostarczyć paszę o określonej zawartości składników spożywczych.

Ile trzeba zakupić produktów P1, P2, aby dostarczyć paszy zawierającej niezbędny skład, ale tak by koszt zakupu był najmniejszy.

	P1	P2
S1	3	9	27
S2	8	4	32
S3	12	3	36
Koszt	6	9

(nim)z=6x1 +9x2

Ograniczenia:

3x1 + 9x2 >=27 x1 + 3x2 = 9

8x1 + 4x2 >=32 2x1 + x2 = 8

12x1+ 3x2 >= 36 4x1 +x2 = 12

x1,x2>=0

A(3,2)

B(2,4)

Z(A)=36

Z(B)=48

Zadanie

(Max)z = (5x1+4x2)

x1 + 3x2 <= 15

x1 + x2 <= 7

2x1 + x2 <= 12

x1,x2> 0

(min)Z = x1 +2x2

2x1+ 3x2 >= 6

x1 +5x2>= 5

4x1 + x2 >= 4

x1 + 5x2<= 15

x1,x2 >0

Wzory pochodnych:

Lim f(x +Δx) - f(x) = df = y`

Δx0 Δx dx

(x^n)` = n*x ^(n-1)

(1/x)` = - 1/x^2

(e^x)` = e^x

(lnX)`= (log_e x)` = 1/x

(sinX)` = cosX

(cosX)' = sinX

(tgX)` = 1/cos^2 X

(ctgX)` = 1/sin^2 X

(u(x)*v(x))` = u`(x)*v(x) + u(x)v`(x)

(u(x)/v(x))` = u`(x)v(x) - u(x)*v`(x)

[v(x)]^2

[u(x) +- v(x)]` = u`(x) +- v`(x)

Pochodna funkcji złożonej

[f[g(x)]]` = f`[g(`(x)]

np.: (sin(3x))` = (cos3)*3

[sin^2 X]` = 2sinX *cos X = sin2X

Dziedzina funkcji:

F(x) = sort(X^2-1)

X^1 >= 0

X1=1

X2=-1

Monotoniczność funkcji:

Funkcja jest monotoniczna, jeżeli jest rosnąca lub malejąca w przedziale, w którym f`(x) >0 funkcja jest rosnąca, oraz w którym f`(x) < 0 jest malejąca.

Funkcja w punkcie X0 osiąga maximum, jeżeli pochodna w otoczeniu tego punktu zmienia znak z + na -, a w X0 = 0

Funkcja w punkcie X0 osiąga minimum, jeżeli w otoczeniu tego punktu zmienia znak z - na + a w punkcie X0 = 0

Zadanie

F(x) = x^3 - 2x

Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstremum

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

X2

X1

7

7

A(4,2)

B(0,4)

C(4,0)

B(0,10)

C(11/2,0)

A(1,9)

5

11

X1

X2

B

C

A

4

4

X1

X2

B

A

9

3

X1

X2