Zasada indukcji matematycznej

Jeżeli twierdzenie, które dotyczy liczb naturalnych, jest:

1. prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n₀,

2. jeżeli dla każdej liczby naturalnej
   z założenia prawdziwości twierdzenia dla k wynika, że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k+1,

to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej
.

Przykład:

Wykazać, że

Ciągi liczbowe

Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Oznaczamy
i nazywamy n-tym wyrazem ciągu.

Ciąg {a_n} nazywamy ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg {a_n} nazywamy ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg {a_n} nazywamy ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciąg {a_n} nazywamy ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy, gdy

Ciągi rosnące lub malejące nazywamy ciągami monotonicznymi.

Przykład:

Zbadać monotoniczność ciągu:

Ciąg arytmetyczny

Ciąg {a_n} nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu.

Dla dowolnego ciągu {a_n} przez S_n oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn.

Jeżeli ciąg {a_n} jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Przykład:

Ciąg {a_n} jest ciągiem arytmetycznym. Znaleźć pierwszy wyraz ciągu, różnicę, podać wzór ogólny ciągu, obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu, gdy:

Ciąg geometryczny

Ciąg {a_n} jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy
i iloraz dowolnego wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego jest dla danego ciągu stały.

Jeżeli ciąg {a_n} jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
, to prawdziwe są wzory:

1. 
   

2. 
   

3. jeżeli
   , to
   

4. jeżeli
   , to
   

Przykład:

Ciąg {a_n} jest ciągiem geometrycznym. Znaleźć pierwszy wyraz ciągu, iloraz, podać wzór ogólny ciągu, obliczyć sumę pierwszych dwunastu wyrazów tego ciągu, gdy
,

Granica i zbieżność ciągu

Liczba g jest granicą ciągu {a_n} wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.

Ciąg {a_n} jest rozbieżny do
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A wszystkie wyrazy ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A

Ciąg {a_n} jest rozbieżny do
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A wszystkie wyrazy ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A

Jeżeli
i
, to:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. jeżeli
   , to
   

Prawdziwe są następujące twierdzenia:

1. Jeżeli
   i
   , to
   

2. Jeżeli
   i
   , to
   

3. Jeżeli
   , to
   

4. Jeżeli
   i ciąg {b_n} jest ciągiem ograniczonym, to
   

Przykład:

Obliczyć granicę ciągu

Dla ciągu geometrycznego {a_n} spełniającego warunek
jest:

1. 
   

2. 
   

Przykład:

Zamienić ułamek okresowy 0,(3) na ułamek zwykły.

Twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym:

Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.

Twierdzenie o trzech ciągach:

Jeżeli
i istnieje n₀ takie, że dla każdego
spełniony jest warunek
, to

Zadania

1. Ogólny wyraz ciągu dany jest wzorem

1. zbadaj monotoniczność ciągu,

2. oblicz granicę ciągu

3. określ, które wyrazy ciągu są większe od
   

2. Dany jest ciąg (a_n) o wyrazie ogólnym

1. zbadaj monotoniczność tego ciągu,

2. oblicz granicę tego ciągu,

3. zbadaj czy a₇, a₂₁, a₂₄ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

3. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość

4+10+...+(6n+4)=n(3n+7)+4

4. Ciąg liczbowy (a_n) jest określony wzorami:

,

1. wykonaj wykres tego ciągu oraz podaj i udowodnij wzór wyrażający wyraz ogólny a_n w zależności od
   

5. Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102dm³ wypływa w pierwszej minucie 5dm³ cieczy, a w każdej następnej minucie o 0,25dm³ mniej niż w poprzedniej. Po ilu minutach naczynie będzie opróżnione do połowy?

6. Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy
   , szósty wyraz ciągu jest równy
   . Wyznacz ten ciąg. Ile początkowych wyrazów ciągu należy wziąć, aby ich suma była równa 14650?

7. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem
   

1. oblicz n-ty wyraz tego ciągu i
   

2. *rozwiąż równanie:
   
   
   w którym lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego.

8. Trzy liczby:
   ,
   ,
   wzięte w podanej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x.

9. Dla jakich
   ciąg:
   
   
   jest ciągiem arytmetycznym?

10. Oblicz piąty wyraz ciągu arytmetycznego:
    
    
    wiedząc, że:
    oraz
    

11. Trzy liczby, których suma jest równa 7 tworzą ciąg geometryczny malejący. Największa z nich jest iloczynem liczby
    przez sumę pozostałych. Wyznacz te liczby.

12. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 2. Suma pierwszych ośmiu jego wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych czterech wyrazów. Oblicz dziewiąty wyraz tego ciągu.

13. Dla jakich wartości
    liczby:
    
    
    w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny?

14. W nieskończonym ciągu geometrycznym zbieżnym suma jego wyrazów jest równa 32, a suma logarytmów przy podstawie 2 z kwadratów trzech jego początkowych wyrazów jest równa 18. Wyznacz ten ciąg.

15. Oblicz sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym a₁ jest mniejszym pierwiastkiem równania:
    
    oraz
    , gdy
    .

Ciągi liczbowe

1

1