Matematyka - ćwiczenia

Kolos: Algebra

1. Układ s równań z s niewiadomymi w postaci as=b detA ≠ 0

3 Metody:

1.

2. Wzory Cramera

3. Eliminacja Gaussa

2. Wyznaczanie rzędu macierzy

3. Rozwiązywanie układu N równań z M niewiadomymi. Układ może być:

- sprzeczny

- oznaczony

- nieoznaczony

4. Sprawdzenie liniowej zależności wektorów. Układ jednorodny AX=0 układ posiada rozwiązanie nie zerowe jeżeli detA=0

Zadanie 1.

Zbadać rząd macierzy:

R(A)=2

Rząd macierzy nie uległ zmianie po dokonaniu przekształceń elementarnych (dodawanie, przestawianie)

Ponieważ wyznacznik stopnia 4 jest różny od zera R(A)=4

Zastosowanie rzędu macierzy do rozwiązywania układu N równań z N niewiadomymi.

(Macierz układu może być prostokątna)

Macierz dołączona C jest to macierz składająca się z elementów A i wyrazów wolnych

Układ jest sprzeczny, gdy R(A)≠R(C)

Jeżeli R(A)=R(C) to:

1. R(A)=R(C)=N (N- liczba niewiadomych)

Układ oznaczony jedno rozwiązanie.

2. R(A)=R(C)=r <n

Układ nieoznaczony, rozwiązanie zależy od n-r parametrów

Należy wyznaczyć macierz bazową, wyznaczyć rząd macierzy, sprawdzić, czy układ posiada rozwiązania

Ponieważ istnieje wyznacznik stopnia 3 różny od zera to R(A)≠R(C) układ jest sprzeczny.

Zadanie 2.

Dla jakich wartości parametru A układ nie jest sprzeczny

Wyznacznik C musi być równy 0, aby R(C)=2

Odp: Układ posiada rozwiązanie, jeżeli A= 2/7

Zadanie 3.

Czy układ
posiada rozwiązanie?

Układ posiada rozwiązania R(A)=R(C)=2<3

Układ posiada rozwiązania zależne od jednego parametru

Z=t

Zadanie 4.

Rozwiązać układ:

Układ posiada rozwiązanie względem Y i Z R(A)=2, N=4

Metoda Gaussa

1. (1)(2) zmienna x

x+y-z=2

0-4y+4z=0

2. (1)(3) zmienna x

x+y-z=2

-4y+4z=0

0+0+2z=2

Otrzymujemy:

UWAGA!

Przy rugowaniu zmiennej X z I i III równania możemy otrzymać równanie zawierające zmienne Y i Z wówczas można wyrugować zmienną Y, aby otrzymać macierz trójkątną górną.

Wektory.

Jeżeli wektory SA liniowo niezależna to ich kombinacja liniowa oznacza III wektor.

Zadanie 5.

Przedstawić wektor x= [-1,0,1], za pomocą wektorów
. Wektory a, b, c, SA liniowo niezależne.

kombinacja liniowa trzech wektorów

Rozwiązujemy układ i otrzymujemy współrzędne

Wektory
są liniowo zależne, jeżeli istnieją
niezerowe i kombinacja

Zadanie 6.

Zbadać liniową niezależność wektorów.

Jednorodny układ posiada zawsze rozwiązanie zerowe. Układ posiada rozwiązanie zerowe, jeżeli detA≠0 to otrzymujecie zerowe rozwiązanie. W tym celu wprowadzamy w miejsce f3 wartość t.

Jeżeli t ≠ 0 to dla dowolnego t mamy kombinację liniową.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl