Ekonomika ubezpieczeń zdrowotnych wykład V - 3 XII2008-12-06

Cele firmy ubezpieczeniowej:

- maksymalizacja zysków → firmy for profit(prywatne)

- uniknięcie bankructwa→ cel uniwersalny dla wszystkich firm, zachowanie równowagi finansowej

Sytuacja ubezpieczenia:

Szkody występują regularnie i w różnej wysokości tworząc proces stochastyczny (każdy ubezpieczyciel stoi w obliczu zmiennej losowej) determinowany przez:

- niepewną liczbę szkód

- niepewną wysokość poszczególnych szkód

- niepewny czas wystąpienia szkód

Procesowi pojawiania się szkód towarzyszy proces zbierania składek (załóżmy że nie losowy).

Jak uniknąć bankructwa:

- zwiększenie kapitału własnego

- zwiększenie narzutu λ na składkę aktuarialną, problem elastyczności cenowej popytu na ubezpieczenie (narzut λ na wypadek, że koszty rzeczywiste okażą się większe od oczekiwanych)

Zwiększenie narzutu jest obarczone większym ryzykiem niż zwiększenie kapitału własnego, bo jeśli elastycznośc cenowa byłaby zbyt wysoka to może to spowodować duży spadek popytu. Badania jednak pokazują że elastycznosc cenowa na ubezpieczenia nie jest zbt wysoka (jednak zawsze większe ryzyko).

S₀ + Q_λ > L_n

L = n * I

Q_λ = (1 + λ)*E * L_n

E * L_n - wysokość skłądek aktuarialnych (ile ubezpieczenie zbierze w sumie)

Wniosek: ubezpieczenie uniknie bankructwa, jeżeli rzeczywista liczba szkód nie przekroczy środków zebranych ze składek

jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia szkody jest znane i dane, to rozkład zmiennej losowej opisującej wystąpienie szkód odpowiada rozkładowi Poissona

wartość oczekiwana (...) zmiennej losowej opisanej przez rozkład Poissona równa jest iloczynowi prawdopodobieństwa wystąpienia szkody w każdym przedziale czasu oraz liczby tych przedziałów czasu

prawdopodobieństwo, że rzeczywista liczba szkód n przy danej wartości oczekiwanej En nie przekroczy wyznaczonej granicy można odczytać z tablic rozkładu Poissona.

• ile powinien wynosić kapitał początkowy przy danym λ jeżeli prawdopodobieństwi bankructwa ma być mniejsze od ε

• ile powinien wynosić narzut λ przy danym kapitale początkowym jeżeli prawdopodobieństwo bankructwa ma być mniejsze od ε

• Jakie konsekwencje niesie ze sobą zmiana ε

MODEL - slajd 2,3,4

Możemy podzielić rok na krutkie okresy czasu, w których mogło dojśc do szkody lub nie;

• T- liczba krutkich podokresów w czasie których doszło do jednej szkody albo nie doszło do żadnej.

• p - się nie zmienia w tym całym okresie czasu

→wtedy przy tych 2 założeniach możemy opisać nasz rozkład zmiennej losowej (rozkład Poissona)

En=p

En- wartość oczekiwana

n- liczba szkód

Przykład 1

Prawdopodobieństwo zachorowania wynosi 1%. Premia ubezpieczeniowa zawiera 10% - owy narzut bezpieczeństwa na składkę aktuarialną. Ile musi wynosić kapitał początkowy jeżeli ε ma być mniejsze od 1%?

I=2000

En=10 (1% z 1000)

Wpływy ze składki:

Q_λ = (1 + λ)E_n * I = (1 + 0.1)10(2000)=22000

Z tablic rozkładu Poissona wynika, że zmienna losowa o wartości oczekiwanej = 10 z prawdopodobieństwem 0.993 nie przekroczy wartości 18 (n=18)

Jeśli więc liczba szkód wyniesie 18, to zostanie ona przekroczona z co najwyżej prawdopodobieństwem równym 1% (bankructwo).

Pr
= 0.993

≥ 14000

Przykład 2

Ile powinien wynosić narzut λ i ile powinna wynościć premia ubezpieczeniowa jeżeli ubezpieczenie dysponuje kapitałem początkowym w wysokości 10000?

18 =

1 + λ = 1.3 → nasz narzut powinien wynosić 30%

Ile wyniesie skłądka aktuarialna Qa? → 26

Ile powinien wynosić kapitał początkowy So jeśli prawdopodobieństwo bankructwa nie powinno być większe niż 0.01%?

n = 21 , liczba szkód która nie zostanie przekroczona z prawdopodobieństwem = 0.9993. So = 20000

Przykład 3

Liczba szkód i wysokość szkód (L) są przypadkowe. Szkody mniejsze występują częściej niż większe. Mamy doczynienia z dwiema niezależnymi rozkładami szkód A i B

A	LA	0,0	1,0	2,0	3,0
		pA	0,3	0,5	0,1	0,1
	B	LB	0,0	1,0	2,0
		pB	0,4	0,4	0,2

Ile wynosi wartośc oczekiwana szkody w przypadku rozkładu A??

0,3*0 +0,5*1+0,1*2+0,1*3= 1

Ale ubezpieczyciel nie może traktować osobno A i B tylko WSPÓLNIE!

EL_A=1,0

EL_B=0,8

Zakładając niezależność szkód:

A ∞ B	LA = B	0	1	2	3	4	5
	PA = B	0.12→gdy nie ma szkody AiB(0,3*0,4)	0.20 0.12 0.32 →u A szkoda a u B nie lub odwrotnie.	0.04 0.20 0.06 0.30	0.04 0.04 0.10 0.18	0.04 0.02 0.06	0.02

∑p=1

EL_A∞B= 1,8

---