1. Dla jakiej wartości parametru m wektory
są prostopadłe. (odp:m=22)

2. Wykazać, że czworobok o wierzchołkach
,
jest kwadratem.

3. Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach
.(odp:
,
)

4. Znaleźć wektor
prostopadły do wektorów
i spełniający warunek
. (odp:
)

5. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach

a)
(odp :
)

b)
,

6. Dane są punkty
. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i prostopadłej do wektora
(odp:
).

7. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
i prostopadłej do płaszczyzny
.

8. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
i równoległej do
.(odp :
)

9. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
.(odp:

10. Obliczyć kąt między płaszczyznami:
:
. (cos

11. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i prostopadłej do płaszczyzny
i
. ( odp:
)

12. Znaleźć odległość punktu
od płaszczyzny

a)
,
. (odp:d=3 )

b)
,
. (
)

13. Dla jakich wartości parametrów
płaszczyzny
,
są równoległe.( odp:
).

14. Znaleźć kąt między prostymi

( odp: cos
)

15. Przedstawić prostą
w postaci parametrycznej. ( odp:
)

16. Zbadać wzajemne położenie prostych

. ( proste się przecinają)

17. Znaleźć odległość punktu
od prostej
. ( odp: d=7 )

18. Znaleźć odległość między prostymi

a)
i
(d=
).

b)

19. Znaleźć punkt symetryczny do punktu
względem prostej
.(odp:
)

20. Znaleźć równanie płaszczyzny wyznaczonej przez proste:

.

21. Znaleźć rzut punktu
na płaszczyznę

a)

(odp:
)

b)

22. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą
i prostopadłej do płaszczyzny
. (odp:
)

23. Znaleźć punkt przebicia płaszczyzny
prostą
.Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
i odcinającej na osiach układu współrzędnych równe odcinki.

24. Znaleźć punkt symetryczny do punktu
względem płaszczyzny
.

25. Znaleźć odległość punktu
od prostej

26. Zbadać, dla jakiej wartości parametru
prosta
jest równoległa do płaszczyzny
. ( odp :
.

27. Zbadać, dla jakich wartości parametrów
prosta
leży w płaszczyźnie
( odp:
)

28. Znaleźć kąt między płaszczyzną
i prostą
(odp:
)

29. Wykazać, że prosta
leży w płaszczyźnie

.30. Przez punkt
poprowadzić prostą prostopadłą do prostej
i przecinającą prostą
.( odp:

31. Znaleźć rzut prostej
na płaszczyznę
. (odp:

32. a)Sprawdzić, czy wektory
,
,
są liniowo niezależne.

b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
?

c) b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
?

(odp:a) nie, b) tak , c) nie )

33.a) Sprawdzić, czy wektory
,
, są liniowo niezależne. b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
? ( a) tak , b) nie)

34. a) Sprawdzić, czy wektory
,
,
są liniowo niezależne.

b) Czy wektor
można przedstawić jako kombinację liniową wektorów
? ( ( odp: a) tak, b) tak).

35. Znaleźć wektor
o długości równej
wiedząc, że jest prostopadły do wektorów
,
( odp:
)

Zadania, które w ubiegłych latach były na egzaminach

1. Zbadać dla jakich wartości parametru
, punkty A=(1,2,1) B=(3,2,-2), C=(
, D=(3,1,0) leża w jednej płaszczyźnie.

2.a) Podać def. iloczynu wektorowego.

b) Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
, jeśli
. a
.

3.a) Wyprowadzić równanie płaszczyzny
, jeśli punkt
leży na
, a wektor
jest prostopadły do
.

b) Sprawdzić, czy przez proste

można poprowadzić płaszczyznę

4. Obliczyć kąt między płaszczyzną
oraz płaszczyzną
przechodzącą przez punkt
i rozpięta na wektorach
i

5. Znaleźć kąt między prostymi

(

6. Przedstawić prostą
w postaci parametrycznej.

7.. Zbadać wzajemne położenie prostych

.

8.. Znaleźć odległość punktu
od prostej
.

5. a)Podać def. iloczynu wektorowego i interpretację geometryczną jego długości (z uzasadnieniem)

b) Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach
i
jest równe 12

9. a) Wyprowadzić równanie parametryczne prostej

b) Znaleźć odległość między prostymi

(Jeśli korzystamy ze wzoru trzeba wzór uzasadnić)