SCENARIUSZ LEKCJI MATEMATYKI

NAUCZYCIEL: Adrian Weredycki

KLASA: II liceum

TEMAT: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

BAZA MERYTORYCZNA:

Uczeń:

• Zna definicję funkcji kwadratowej

• Potrafi zamieniać wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej na kanoniczną i na odwrót

• Zna wzór na wyróżnik trójmianu kwadratowego

• Zna definicję miejsca zerowego funkcji

CELE:

Uczeń:

• Potrafi wyznaczyć ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie znaku wyróżnika trójmianu

• Zna i potrafi stosować wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej

• Umie przedstawić funkcję kwadratową w postaci iloczynowej (mając dane: miejsca zerowe albo wzór w postaci ogólnej, albo wzór w postaci kanonicznej)

• Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej potrafi odczytać miejsca zerowe funkcji

METODY: podająca, praktyczna (pogadanka, dyskusja), ćwiczenia utrwalające.

TOK LEKCJI:

1. Sprawy organizacyjne (powitanie, sprawdzenie obecności)

2. Sprawdzenie zadania domowego.

3. Wprowadzenie do lekcji

N: Czym zajmowaliśmy się na ostatnich lekcjach?

U: Funkcjami kwadratowymi.

N: Co to jest funkcja kwadratowa?

U: Jest to funkcja postaci:
, gdzie
i

N: Jakie znacie postaci wzorów funkcji kwadratowej?

U: Postać ogólna i postać kanoniczna.

N: Jak obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego?

U: Ze wzoru:

N: Zapisuje na tablicy wzór funkcji:

Jaką postać ma ten wzór funkcji kwadratowej?

U: Postać ogólna.

N: Proszę zamienić ją na postać kanoniczną.

U:

N: Co to jest miejsce zerowe funkcji?

U: Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x, dla którego wartość funkcji f jest równa zeru.

N: A jaka jest graficzna interpretacja miejsca zerowego?

U: Jest to punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OX.

4. Lekcja właściwa:

N: Jak myślicie, czy funkcje kwadratowe mogą mieć miejsca zerowe?

N: Jeśli tak to ile miejsc zerowych może mieć funkcja kwadratowa i jak je znajdować?

N: Na dzisiejszej lekcji będziemy się zajmowali obliczaniem miejsc zerowych funkcji kwadratowych. Temat dzisiejszej lekcji: Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

N: Wyświetla na ekranie wykresy funkcji:

N: Do każdego wykresu zadaje pytania:
1) Ile miejsc zerowych ma funkcja?
2) Jakie jest a i jakie jest q?
Gdzie q- druga współrzędna wierzchołka.

N: Podsumujmy:

Jeśli
to funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Jeśli
to funkcja ma jedno miejsce zerowe.

Jeśli
to funkcja nie ma miejsc zerowych.

Zatem od czego zależy ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej?

U: Od znaku iloczynu

N: Zauważmy, że

Mamy zatem:

Dwa miejsca zerowe:

Jedno miejsce zerowe:

Brak miejsc zerowych:

Udowodniliśmy w ten sposób

Twierdzenie

Funkcja kwadratowa
, gdzie
oraz
:

• nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy
  

• ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
  

• ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
  

Zadanie

Zbadaj ilość miejsc zerowych funkcji:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Wyznaczmy teraz wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej
;

W tym celu przedstawmy wzór trójmianu w postaci kanonicznej:
;

• Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy
  . Wówczas wzór naszej funkcji wygląda następująco:
  
  Stąd łatwo wyznaczamy miejsce zerowe:
  
  

• Rozpatrzmy przypadek, gdy
  :
  
  

• W przypadku, gdy
  brak miejsc zerowych.

W ten sposób udowodniliśmy

Twierdzenie

Funkcja kwadratowa
, gdzie
oraz
:

• Ma tylko jedno miejsce zerowe:
  wtedy i tylko wtedy, gdy
  

• Ma dwa różne miejsca zerowe:
  oraz
  wtedy i tylko wtedy, gdy
  

• Nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy
  

UWAGA: Jeśli
to wzór funkcji liniowej można przedstawić w postaci iloczynu czynników liniowych (zobacz * i **).

Wzór
(jeśli
) oraz wzór
(jeśli
) nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

WNIOSEK: Jeśli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to jej wzoru nie da się przedstawić w postaci iloczynowej.

Ochotnicy rozwiązują przy tablicy zadania ze zbioru zadań, str. 43, 44

Zadanie

Wyznacz miejsca zerowe funkcji (o ile to możliwe):

1. 
   

2. 
   

Zadanie

Przedstaw wzór funkcji w postaci iloczynowej (o ile to możliwe):

1. 
   

2. 
   

Zadanie

Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej, podaj jej miejsca zerowe:

1. 
   

2. 
   

5. Podsumowanie lekcji:

N: Od czego zależy ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej?

N: Jakie mamy wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej?

Zadanie domowe: zad 14,15 str. 45 (zbiór zadań).