Na dzisiejszych zajęciach powiemy o ekstremach związanych (warunkowych). Naszym głównym zadaniem będzie wyznaczenie ekstremum funkcji postaci
z narzuconym konkretnym warunkiem, że
. Rozpatrywać więc będziemy jakąś funkcję przy określonym warunku. Będziemy zakładać przy rozwiązywaniu różnych przykładów, że
. A zatem zacznijmy od takiego przykładu. Mamy daną funkcję
i mamy dla tej funkcji zadany warunek, że
. I mamy dla tej funkcji przy takim warunku znaleźć ekstremum. Będziemy więc rozpatrywali funkcję
. Zobaczmy, jak będzie wyglądał rysunek tej funkcji wraz z ekstremum:

Widać wyraźnie, że zadanie okreslonego warunku będzie się wiązało z przesunięciem tej funkcji w określoym kierunku. Mając dany przykład omówmy teraz trochę teorii. Na poczatek powiedzmy, jaki jest warunek konieczny istnienia ekstremum związanego. Na początek konstrułujemy funkcję pomocniczą Laerange'a w postaci:
. Parametr
nazywamy mnoznikiem Laerange'a, a całą metodę obliczania ekstremum z zadanym warunkiem - metodą Laerange'a. I teraz jeżeli funkcje f i g są klasy C' na pewnym zbiorze
, czyli inaczej
, gdzie f i g są różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze omega, to warunkiem koniecznym na to, by punkt
realizował ekstremum warunkowe zagadnienia ekstremum związanego jest by istniała
taka, że:

, gdzie
.

Popatrzmy na przykład. Na płaszczyźnie
należy znaleźć punkt, którego suma kwadratów odległości od punktów A(1, 1, 1) i B(2, 3, 4) była najmniejsza. Zilustrujmy powyższą sytuację:

Szukamy P(x, y, z) na powyższej płaszczyźnie. Z treści zadania możemy wyczytać, że:

Naszym minimum będzie
. Stąd otrzymamy kryterium minimum o postaci

f(x, y, z) =
pod warunkiem, że
. Stąd konstrułujemy funkcję Laerange'a i wyznaczamy pochodne:

Stąd dalej wynika układ równań, który rozwiążemy. I tak:

.

Stąd mamy punkt szukany stacjonarny P o współrzędnych
z parametrem
.

Jest to jednak jedynie punkt podejrzany o ekstremum. Dlatego aby sprawdzić, czy jest to faktycznie ten punkt, należy jeszcze obliczyć warunek dostateczny. Omówmy zatem teraz warunek dostateczny ekstremum związanego. Niech
będą zadane w otoczeniu punktu stacjonarnego
. Warunkiem dostatecznym na to, by punkt P realizował ekstremum warunkowe jest by macierz drugich pochodnych funkcji Laerange'a zwana hesjanem obrzezonym w postaci:

spełniał nastepujące warunki w punkcie P:

1. Wszystkie wyznaczniki det
   w punkcie P były mniejsze od 0 dla i = 2, …, n. Wówczas mamy minimum.

2. 
   . Wówczas mamy maksimum, gdzie przykładowo
   dotyczy drugiego wiersza i drugiej kolumny hesjanu obrzeżonego.

I mając dane twierdzenie dla powyższego zadania sprawdźmy warunek dostateczny. Najpierw zliczmy 9 pochodnych (6 pochodnych funkcji Laerange'a i 3 pochodne funkcji g):

Stąd mamy taki hesjan obrzeżony:

Teraz wyliczamy wyznacznik hesjana 2x2 i wyznacznik hesjana 3x3. A zatem:

Jak widać wszystkie wyznaczniki są ujemne, a zatem jest spełniony podpunkt A o minimum. Stąd wniosek, ze nasz punkt P o danych wyliczonych współrzędnych realizuje najmniejsza odległość od punktów A i B poda warunkiem, że P jest punktem płaszczyzny pi.