1) Pierścień Z/Z5 jest izomorficzny z :

a) Z

b) Z5

c) z żadnym z nich

2) Załóżmy, że P jest pierścieniem z właściwymi dzielnikami zera. Wówczas każdy wielomian F є P[X] stopnia n ma w P:

a) dokładnie n pierwiastków

b) co najmniej n pierwiastków

c) co najwyżej n pierwiastków

3) Załóżmy, że liczby k, n takie, że 0<k<n są względnie pierwsze. Wówczas:

a) k jest generatorem grupy cyklicznej Zn

b) k jest generatorem grupy φ(n), jeśli jest cykliczna

c) k jest odwracalny w pierścieniu Zn

4) Niech φ: Q-> P będzie epimorfizmem pierścienia Q na pierścień P. Wówczas:

a) φ[Q] jest ciałem

b) φ[Q] może być izomorficzne z Z

c) φ[Q] może być izomorficzne z Z2

5) Dzielnikiem normalnym grupy G jest:

a) każda jej podgrupa przemienna

b) każda jej podgrupa jeśli G jest przemienna

c) każda jej podgrupa skończona

6) Niech G będzie grupą macierzy kwadratowej o wyznaczniku różnym od zera, a H podgrupą macierzy o wyznaczniku dodatnim. Wówczas G/H jest izomorficzne z:

a) R+

b) R*

c) Z2

7) Niech podzbiór H grupy G będzie jądrem pewnego homomorfizmu:

a) H skończonym

b) H jest podgrupą G

c) H jest dzielnikiem normalnym G

8) Załóżmy, że P jest pierścieniem całkowitym. Wówczas każdy wielomian F є P[X] stopnia n ma w P:

a) dokładnie n pierwiastków

b) co najmniej n pierwiastków

c) co najwyżej n pierwiastków

9) Podzbiór grupy zamknięty ze względu na działanie grupowe jest jej podgrupą, jeśli:

a) podzbiór jest skończony

b) grupa jest skończona

c) grupa jest przemienna

10) Załóżmy, że ideał I pierścienia P przemiennego z 1 jest pierwszy. Wówczas:

a) I jest maksymalny

b) P/I jest ciałem

c) P/I nie ma właściwych dzielników zera

11) Wykazać, że funkcja f:[0,1]->R dana wzorem f(x)=x - 1/2 jest dzielnikiem zera w pierścieniu R[0,1] wszystkich funkcji rzeczywistych na [0,1] a nie jest nim w C[0,1] czy f jest elementem odwracalnym w tych pierścieniach?

12) Wykazać, że pierścień ilorazowy R[x]/I gdzie I to ideał wielomianu, których pierwiastkiem jest liczba 1, jest izomorficzny z R. Czy I jest ideałem:

a) pierwszym

b) maksymalnym

c) głównym

13) W Z8 wykonać dzielenie wielomianu x5 + 3x4 + 7x3 + 4x2 + x + 5 przez 3x2 + x + 2 oraz przez x + 5 (schematem Hornera)