LICZBY WYMIERNE
Kajetan Leszczyński
LICZBY WYMIERNE
Kajetan Leszczyński
Liczby naturalne
Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, 4…
Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy literą
N.
N = {0, 1, 2, 3, 4,….}
Rozmieszczenie liczb naturalnych na osi liczbowej
0
1
2
3
4
5
Liczby całkowite
Liczby całkowite to liczby …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
4…
Zbiór wszystkich liczb całkowitych oznaczamy literą
C.
C = {…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}
Rozmieszczenie liczb całkowitych na osi liczbowej
-2
-1
0
1
2
3
Liczby wymierne
•
Liczbę nazywamy wymierną, jeśli można ją
przedstawić w postaci ułamka zwykłego gdzie a
jest liczbą całkowitą i b jest liczbą naturalną różną
od zera.
•
Zbiór wszystkich liczb wymiernych oznaczamy
literą W.
•
Liczbami wymiernymi są wszystkie liczby
naturalne i całkowite, a także liczby mieszane i
ułamki dziesiętne.
•
np.
•
0
1
-1
1/
2
-1/3
-1,5
Wartość bezwzględna
Wartość bezwzględną określa się następująco:
•
Wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta
sama liczba
•
Wartością bezwględną liczby ujemnej jest liczba do
niej przeciwna
np.
•
Kolejność wykonywania działań
•
Najpierw wykonujemy działania w nawiasach
(zaczynamy od nawiasów, wewnątrz których nie
ma innych nawiasów)
•
Następnie wykonujemy mnożenie i dzielenie w tej
kolejności, w jakiej występują (od strony lewej do
prawej)
•
Na końcu wykonujemy dodawanie i odejmowanie –
także w kolejności występowania.
Dodawanie liczb
•
a + b = c
•
Liczby, które dodajemy nazywamy składnikami (a,
b), natomiast wynik dodawania to suma (c).
Symbol działania: +
•
Własności:
Liczba 0 jest elementem neutralnym w
dodawaniu liczb: a + 0 = a
Przemienność dodawania: a + b = b + a
Łączność dodawania: (a + b) + c = a + (b + c)
Odejmowanie liczb
•
a - b = c
•
Liczbę, od której odejmujemy nazywamy odjemną
(a), liczba, którą odejmujemy to odjemnik (b).
Wynik odejmowania to różnica (c). Symbol
działania: -
•
Własności:
Różnica dwóch jednakowych liczb jest zawsze
równa zero: a - a = 0
Jeżeli od dowolnej liczby odejmiemy zero, to liczba
ta nie zmieni się: a - 0 = a
Odejmowanie to dodanie liczby przeciwnej: a - b =
a + (-b)
Mnożenie liczb
•
a · b = c
•
Liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami (a, b), wynik
mnożenia to iloczyn (c). Mnożenie oznaczamy symbolem kropki,
czasami w miejsce kropki używa się znaku krzyżyka ×.
Mnożenie liczb jest rozszerzeniem dodawania dla liczb
naturalnych, określonego jako: a · b = a + a + ... + a, gdzie a
występuje b razy. Mnożenie jest więc dodawaniem tych samych
składników.
•
Własności:
Liczba 1 jest elementem neutralnym w mnożeniu liczb: a · 1 = a
Przemienność mnożenia: a · b = b · a
Łączność mnożenia: (a · b) · c = a · (b · c)
Rozdzielność mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b
+ a · c
Dzielenie liczb
•
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
•
a : b = c, gdzie b ≠ 0
•
Liczbę, którą dzielimy nazywamy dzielną (a), liczba, przez którą
dzielimy to dzielnik (b). Wynik dzielenia to iloraz (c). Dzielnik nie
może być równy zero. Dzielenie przez zero jest niewykonalne.
Symbol działania: :, /, ÷
•
Własności:
Iloraz dwóch jednakowych liczb jest zawsze równy jeden: a : a = 1
Jeżeli dowolną liczbę podzielimy przez 1, to liczba ta nie zmieni
się: a : 1 = a
Jeżeli zero podzielimy przez dowolną liczbę, to wynik jest równy
zero. 0 : a = 0
•
Jeżeli b ≠ 0, to a : b = c ⇔ a = b · c
Dzielenie jest działaniem odwrotnym do mnożenia.
•
Iloraz dwóch liczb często przedstawiamy w postaci ułamka.
a : b = a b , gdzie b ≠ 0
Dodawane liczb całkowitych
•
5 + 3 = 8
•
5 + (-3) = 5 – 3 = 2
•
-5 + 3 = -2
•
-5 + (-3) = -5 -3 = -8
Odejmowanie liczb całkowitych
•
5 - 3 = 2
•
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
•
-5 - 3 = -8
•
-5 - (-3) = -5 +3 = -2
Mnożenie liczb całkowitych
•
5 - 3 = 2
•
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
•
-5 - 3 = -8
•
-5 - (-3) = -5 +3 = -2
Dzielenie liczb całkowitych
•
15 : 3 = 5
•
15 : (-3) = -5
•
-15 : 3 = -5
•
-15 : (-3) = 5
Działania na ułamkach
Zamiana liczb na ułamek
niewłaściwy
•
Ułamek niewłaściwy to taki ułamek, w którym
licznik jest większy od mianownika np.
•
Zamiana liczby całkowitej na ułamek niewłaściwy:
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
•
Zamieniając liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, mnożymy
mianownik ułamka przez liczbę całkowitą i do tego dodajemy licznik
ułamka. Tak otrzymaną liczbę wpisujemy do licznika ułamka
niewłaściwego, a mianownik przepisujemy bez zmian.
Zamieniając liczbę całkowitą na ułamek
niewłaściwy w mianowniku wpisujemy 1 a
liczbę całkowitą w liczniku
Dodawanie i odejmowanie
ułamków
•
Przypomnijmy zasadę: aby wykonać dodawanie lub
odejmowanie ułamków zwykłych, musimy
sprowadzić do wspólnego mianownika.
•
Wspólnym mianownikiem dla
liczb 3 i 2 jest liczba 6
Dodajemy liczniki a mianowniki
pozostają bez zmian
5
6
− 1
4
=
10
12
− 3
12
=
7
12
Wspólnym mianownikiem dla liczb
6 i 4
Jest liczba 12
Mnożenie ułamków
•
Aby pomnożyć przez siebie dwa ułamki, mnożymy
przez siebie liczniki i oddzielnie mianowniki,
pamiętając
o
potrzebie
zamiany
ułamka
mieszanego na ułamek niewłaściwy i możliwości
skracania ułamka.
•
Aby skrócić ten
ułamek, licznik i
mianownik dzielimy
przez wspólny dzielnik
czyli 6
Aby skrócić to
działanie, dzielimy
licznik (10) i mianownik
(2) przez wspólny
dzielnik czyli 2.
Dzielenie ułamków
•
Aby podzielić dwa ułamki, mnożymy pierwszy
przez odwrotność drugiego.
•
Zamieniamy liczby
mieszane na ułamki
niewłaściwe
Pierwszy ułamek
mnożymy przez
odwrotność drugiego
Jeżeli jest możliwe,
skracamy ułamki. W
naszym przypadku dzielimy
licznik pierwszego i
mianownik drugiego
ułamka przez liczbę 5
Zamieniamy ułamek
niewłaściwy na liczbę
mieszaną,
Ułamki dziesiętne
•
Ułamki dziesiętne to takie ułamki, których
mianownikami są liczby 10, 100, 1000, 10000….
•
Ułamki dziesiętne zapisujemy najczęściej
wykorzystując przecinek dziesiętny.
•
Zaokrąglanie liczb dziesiętnych
•
Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego zaokrąglanej liczby jest mniejsza od 5
(0, 1, 2, 3 lub 4), to nie zmieniamy ostatniej
zachowanej cyfry.
•
Jeśli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa lub
równa 5 ( 5, 6, 7, 8, 9), to ostatnią z zachowanych
cyfr zwiększamy o 1.
•
25,37459 ≈ 25,37
•
25,37459 ≈ 25,4
•
Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym n ≥ 2
nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy
jest równy liczbie a.
•
Potęga o wykładniku naturalnym
podstawa
wykładnik
•
Gdy wykładnik potęgi jest równy 1, wówczas w
zapisie pomijamy 1:
•
Gdy wykładnik potęgi jest równy 0, wówczas
przyjmujemy:
•
Np.
•
Potęga o wykładniku naturalnym
Pierwiastek
•
= 5
•
Symbol pierwiastka
drugiego stopnia
Liczba
podpierwiastkowa
Wartość pierwiastka
Pierwiastek drugiego stopnia
•
Arytmetycznym
pierwiastkiem
drugiego
stopnia z liczby nieujemnej nazywamy taką
liczbę nieujemną, która podniesiona do
kwadratu
równa
jest
liczbie
podpierwiastkowej.
•
= 9
•