Parametry statystyczne

Wzory i właściwości

Charakterystyka podstawowych parametrów statystycznych

 

Parametry statystyczne - są to wielkości liczbowe, które służą do 
opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny 

  

Miary położenia

 

Miary pozycyjne

Miary przeciętne

modalna

kwantyle:

kwartyl pierwszy

mediana (kwartyl 

drugi)

kwartyl trzeci

decyle

charakteryzują średni lub typowy poziom 

wartości cechy, wokół których skupiają 

się wszystkie pozostałe wartości 

analizowanej cechy

średnia arytmetyczna

średnia harmoniczna

średnia geometryczna

modalna

Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną - definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez 

liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej.  

szereg szczegółowy                                                                     (eq.1)              
 
gdzie: n - liczebność zbiorowości próbnej (próby), 
             x

i

 - wariant cechy. 

Jest to tzn. średnia nieważna (prosta) - stosowana dla szeregów szczegółowych. 
 
Średnia arytmetyczna ważona 

szereg rozdzielczy punktowy  (eq.2) 

szereg rozdzielczy z przedziałami klasowymi                                             (eq.3) 
 

gdzie:           oznacza środek przedziału klasowego 

Średnia arytmetyczna (średnia ważona) dla r-grup łącznie oraz średnich arytmetycznych 

cząstkowych i liczebności i-tej grupie n

i

: 

(eq.4)

gdzie:                                      jest sumą liczebności we wszystkich r-grupach

.















n

i

i

x

n

n

x

x

x

x

n

1

1

...

2

1

n

x

i

k

i

i

n

x







1

1

n

x

i

r

i

i

N

x







1

1



x

n

x

i

r

i

i

N

x







1

1







r

i

i

n

N

1

Podstawiając w miejsce n

i

 wskaźnik struktury w

i

 otrzymamy zależności: 

                            lub  

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej

• suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej arytmetycznej i 

liczebności

•  zbiorowości:                      lub                  dla szeregu rozdzielczego,

• średnia arytmetyczna spełnia warunek:                      
• suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero: 
                                lub , 

• Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest 

minimalna:                          lub                              , 

• średnią arytmetyczną można liczyć w zasadzie dla szeregów o zamkniętych 

przedziałach klasowych; jeżeli liczebność w otwartym przedziale klasowym 
stanowi niewielki odsetek, (praktycznie do 5%) możliwe jest domknięcie 
przedziałów klasowych oraz obliczenie średniej w innym przypadku do 
określenia zjawiska stosuje się parametry pozycyjne, 

• średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy, 
• średnia arytmetyczna z próby jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.







k

i

i

i

x

x

1











k

i

i

i

x

x

1









k

i

i

x

x

n

1

n

x

i

k

i

i

x

n







1









n

i

i

i

n

x

x

1

0

)

(









n

i

i

x

x

1

0

)

(









n

i

i

i

n

x

x

1

0

)

(









n

i

i

x

x

1

2

min

)

(









n

i

i

i

n

x

x

1

2

min

)

(

Średnia harmoniczna

    

Średnią harmoniczną - stosuje się wtedy, gdy wartości 

cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę  innej 
zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, wagi 
natomiast w jednostkach liczników tych cech, np. prędkość 
pojazdu w km/h. 

• szereg szczegółowy 

• szereg rozdzielczy 

Przyjmując, że waga                     oraz                

: 







n

i

i

H

x

x

n

1

1











k

i

i

i

k

i

i

H

x

n

n

x

1

1

n

x

w

i

i

i









k

i

i

w

W

1







k

i

i

i

H

x

n

x

W

1

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną - stosuje się w badaniach 
średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są 
ujmowane dynamicznie.

 

Modalna

•   Modalna Mo (dominanta D, moda, wartość 

najczęstsza - jest to wartość cechy statystycznej, która w 
danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej

•  Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych 

punktowych modalna odpowiada wartości cechy o 
największej liczebności (częstości). 

• W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi 

bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym 
modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się 
graficznie z histogramu liczebności (częstości) lub ze wzoru 
interpolacyjnego: 

gdzie: m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna, 
                  - dolna granica przedziału, w którym występuje modalna, 
            n

m

 - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m, 

            n

m-1

; n

m+1

 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o 

numerach m – 1

              i m + 1, 
            h

m

 - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje 

modalna. 

Kwantyle

Kwantyle - definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, 
przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą 
zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, 
części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

 

Kwartyl pierwszy Q

1

dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek 
zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi 
pierwszemu Q

1

, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla

Kwartyl drugi (mediana Me)

dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma 
wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości 
cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa

Kwartyl trzeci Q

3

dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek 
zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi 
pierwszemu Q

3

, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla

Decyle

np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości 
cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% 
jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla 
pierwszego

Kwartyl drugi (mediana Me) 

Dla szeregu szczegółowego 

Dla szeregu rozdzielczego (graficznie lub analitycznie) 

gdzie: 
m - numer przedziału (klasy), w które występuje mediana, 
        dolna granica przedziału, w którym występuje mediana
 

n

m

 - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o 

numerze m,  

suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność 
skumulowana,

h

m

 - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana, 

N

Me

 - pozycja mediany, czyli