POJĘCIA PODSTAWOWE
(WYKŁAD ROZSZERZONY)
INSTYTUT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH
WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT
WARSZAWA - 2012
POJĘCIA PODSTAWOWE
(WYKŁAD ROZSZERZONY)
INSTYTUT SYSTEMÓW INFORMATYCZNYCH
WYDZIAŁ CYBERNETYKI WAT
WARSZAWA - 2012
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
TYTUŁ
- SYMBOL INKLUZJI (ZAWIERANIA SIĘ ZBIORÓW)
- JEST ELEMENTEM (ZBIORU) (NALEŻY DO ZBIORU)
- NIE JEST ELEMENTEM (ZBIORU) (NIE NALEŻY DO ZBIORU)
- JEŚLI … TO …
- WTEDY I TYLKO WTEDY
2
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
)
(
B
A
(DLA KAŻDEGO x, )
B
x
A
x
- NIE
- A NIE JEST PODZBIOREM B
B
A
B
x
A
x
B
x
A
x
B
A
B
A
i
ISTNIEJE
~
i
ŻE
TAKIE,
x
ISTNIEJE
~
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
TYTUŁ
• Zbiory A i B są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same
elementy
• DLA DOWOLNYCH ZBIORÓW A, B, C ZACHODZI:
•
•
•
•
•
3
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
x
x
x
B
A
:
każdego
dla
A
A
A
C
A
C
B
B
A
to
,
i
jeśli
B
A
A
B
B
A
to
,
i
jeśli
A
B
B
A
B
A
lub
to
,
jeśli
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
SUMA ZBIORÓW
• SUMA ZBIORÓW A, B
• DLA DOWOLNYCH ZBIORÓW A, B, C ZACHODZI:
•
•
•
•
4
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
x
A
x
B
A
x
lub
A
A
(i)
oraz
"
"
"
"
lub
SYMBOLE
A
B
B
A
C
B
A
C
B
A
A
A
A
A
A
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ILOCZYN ZBIORÓW
• ILOCZYN ZBIORÓW
• DLA DOWOLNYCH ZBIORÓW A, B, C ZACHODZI:
•
•
•
•
5
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
x
A
x
B
A
x
"
"
B
A
A
B
B
A
C
B
A
C
B
A
A
A
A
A
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RÓŻNICA ZBIORÓW
• RÓŻNICA ZBIORÓW
RÓŻNICĄ ZBIORÓW A i B nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych
elementów, które należą do A i nie należą do B.
• PRZESTRZEŃ. DOPEŁNIENIE ZBIORU
PRZESTRZEŃ X – ZBIÓR PEWNYCH ELEMENTÓW
• Podzbiór A przestrzeni X to zbiór elementów z X, które mają
pewną właściwość (A)
• PODZBIORY USTALONEJ PRZESTRZENI X NAZYWAMY RELACJAMI
JEDNOZNACZNYMI W X
6
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
x
A
x
B
A
x
"
"
B
A
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
DOPEŁNIENIE ZBIORU
• DOPEŁNIENIE ZBIORU
DOPEŁNIENIEM ZBIORU A W PRZESTRZENI X NAZYWAMY ZBIÓR
DOPEŁNIENIE ZBIORU A OZNACZAMY
• DLA DOWOLNYCH PODZBIORÓW A, B PRZESTRZENI X
•
•
•
•
•
•
•
•
7
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
"
"
A
X
"
" A
A
x
A
x
A
A
X
X
X
A
X
X
A
A
A
B
B
A
A
A
X
A
A
B
A
B
A
B
A
B
A
MORGANA
DE
PRAWA
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
OBRAZY I PRZECIWOBRAZY WYZNACZANE PRZEZ FUNKCJE
• NIECH DANA BĘDZIE FUNKCJA
NIECH A BĘDZIE PODZBIOREM X
• NIECH , f(x) NAZYWAMY WARTOŚCIĄ (OBRAZEM) ELEMENTU
PRZY ODWZOROWANIU f
• OBRAZEM ZBIORU A WYZNACZONYM PRZEZ FUNKCJĘ f NAZYWAMY
ZBIÓR WARTOŚCI f(a) (ZBIÓR OBRAZÓW) WSZYSTKICH
ELEMENTÓW ZBIORU A
• OBRAZ ZBIORU OZNACZAĆ BĘDZIEMY SYMBOLEM f(A)
UWAGA!!!
(A nie jest elementem X)!
8
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
X
x
Y
X
f
:
X
A
X
x
X
A
A
x
Y
y
x
f
A
f
,
)
(
X
A
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 1
NIECH
9
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
Y
R
X
,
1
)
(
x
x
f
5
2
x
R
x
A
6
3
y
R
y
x
f
A
f
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 2
NIECH
10
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
Y
R
X
,
x
x
f
sin
)
(
2
1
a
x
a
R
x
A
2
1
2
1
sin
sin
sin
sin
a
y
a
R
y
a
x
a
R
x
A
x
R
x
A
f
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZECIWOBRAZ
• NIECH (funkcja przekształcające zbiór X w zbiór Y)
• NIECH
• PRZECIWOBRAZEM ZBIORU C, WYZNACZANYM PRZEZ FUNKCJĘ f
NAZYWAMY ZBIÓR, KTÓREGO ELEMENTAMI SĄ TE ELEMENTY
ZBIORU X, KTÓRYCH OBRAZY NALEŻĄ DO C
• PRZECIWOBRAZ ZBIORU C, WYZNACZONY PRZEZ FUNKCJĘ f
OZNACZAMY SYMBOLEM
UWAGA!!!
(C nie jest elementem Y)!
11
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
Y
X
f
:
Y
C
C
x
f
X
x
C
f
,
1
Y
C
C
f
1
Y
C
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 1
NIECH
12
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
)
,
(
:
R
Y
R
X
R
R
f
Q
f
h
wymiernyc
liczb
zbiór
1
1
Q
-Q
x
f
ych
x wymiern
dla
ych
niewymiern
x
dla
1
0
-Q
f
ych
niewymiern
liczb
zbiór
0
1
Q
f
1
1
Q
R
Q
f
0
1
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 2
NIECH
13
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
R
f
:
0
0
x
x
x
x
x
x
f
dla
dla
B
A
x
R
x
x
R
x
C
f
1
2
:
2
1
:
1
NIECH
2
1
:
y
R
y
C
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. PRZYKŁAD 2
14
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
A
C
f
1
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. PRZYKŁADU (sinx)
15
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
...
3
2
1
1
A
A
A
C
f
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
WYBRANE WŁASNOŚCI OBRAZÓW I PRZECIWOBRAZÓW
WYZNACZANYCH PRZEZ FUNKCJE (H.R., Rozdział V §5
NIECH
1)
2)
3)
4) JEŚLI JEST RÓŻNOWARTOŚCIOWA TO
5)
6)
7)
8) JEŚLI TO
9)
10) NIECH TO
JEŚLI „f RÓŻNOWARTOŚCIOWA” TO
16
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
Y
D
C
X
B
A
Y
X
f
,
,
,
,
:
B
f
A
f
B
A
f
B
f
A
f
B
A
f
B
A
f
B
f
A
f
Y
X
f
:
B
A
f
B
f
A
f
B
f
A
f
B
A
f
D
f
C
f
D
C
f
1
1
1
D
f
C
f
D
C
f
1
1
1
D
f
C
f
D
C
f
1
1
1
D
C
D
f
C
f
1
1
C
C
f
f
1
X
A
A
f
f
A
1
A
f
f
A
1
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
FUNKCJE ZDANIOWE JEDNEJ
ZMIENNEJ
17
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
Niech dana będzie przestrzeń
Wyrażenie , w którym występuje zmienna x
i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy zamiast
zmiennej x podstawimy nazwę dowolnego elementu przestrzeni X
nazywamy
FUNKCJĄ ZDANIOWĄ JEDNEJ ZMIENNEJ ,
której zakresem zmienności jest przestrzeń X
X
)
(x
FUNKCJĄ ZDANIOWĄ JEDNEJ ZMIENNEJ
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RODZINA ZBIORU 2
x
18
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
- zbiór wszystkich funkcji
Zbiór tych wszystkich wartości zmiennej , przy których funkcja
zdaniowa
staje się zdaniem prawdziwym oznaczamy
- jest to pewien podzbiór zbioru X, elementów,
które mają własność φ
Funkcja φ wyznacza pewien podzbiór zbioru X.
W skrócie
X
x
x
),
(
Zbió
r
1
,
0
:
X
1
,
0
:
X
X
x
X
x
x
),
(
)
(x
X
x
A
A
X
x
X
x
A
1
)
(
X
x
X
x
A
)
(
1
)
(
2
x
X
x
A
A
X
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 1
19
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
NIECH Z BĘDZIE ZBIOREM WSZYSTKICH LICZB CAŁKOWITYCH.
WYRAŻENIE:
JEST PRZYKŁADEM FUNKCJI ZDANIOWEJ ZMIENNEJ „z” O ZAKRESIE
ZMIENNOŚCI
np.:
DLA JEST ZDANIEM FAŁSZYWYM
DLA JEST ZDANIEM PRAWDZIWYM
Z
z
z
z
,
0
2
2
1
2
1
)
(
,
1
z
z
,...
3
,
2
,
1
,
0
,...,
z
Z
3
6
9
)
(
,
3
z
z
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. PRZYKŁAD 1
20
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
WYZNACZMY ZBIÓR , CZYLI PODZBIÓR TYCH ELEMENTÓW ZE
ZBIORU Z, KTÓRE „MAJĄ WŁASNOŚĆ φ”
POWIEMY: „FUNKCJA φ WYZNACZA ZBIÓR (PODZBIÓR) ELEMENTÓW O
WŁASNOŚCI φ”
LUB INACZEJ: „FUNKCJA φ WYZNACZA PEWNĄ WŁASNOŚĆ ELEMENTÓW
ZBIORU X”
! PODZBIORY NAZYWAMY TEŻ RELACJAMI
JEDNOCZŁONOWYMI W X
Z
A
2
,
1
,
0
0
2
1
2
Z
z
z
Z
z
z
Z
z
A
X
A
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRODUKTY KARTEZJAŃSKIE ZBIORÓW
RELACJE
FUNKCJE JAKO RELACJE
H. RASIOWA, ROZDZIAŁ V (W CAŁOŚCI)
str. 60
21
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
POJĘCIE PARY UPORZĄDKOWANEJ I N-tki
UPORZĄDKOWANEJ
22
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
MAJĄC DWA DOWOLNE PRZEDMIOTY (ELEMENTY) a, b MOŻEMY
UTWORZYĆ Z NICH ”PARĘ UPORZĄDKOWANĄ” O POPRZEDNIKU ”a” I
NASTĘPNIKU ”b”, KTÓRĄ OZNACZAĆ BĘDZIEMY (a, b).
PARĘ UPORZĄDKOWANĄ (a, b) UWAŻAMY ZA RÓŻNĄ OD PARY
UPORZĄDKOWANEJ (b, a) JEŚLI TYLKO a ≠ b .
PARY UPORZĄDKOWANE (a, b) I (c, d) UWAŻAMY ZA RÓWNE ((a, b) =
(c, d)) WTEDY I TYLKO WTEDY GDY MAJĄ RÓWNE POPRZEDNIKI I
NASTĘPNIKU, CZYLI GDY
a = c i b = d
CZYLI
d
b
c
a
d
c
b
a
,
,
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
POJĘCIE PARY UPORZĄDKOWANEJ I N-tki
UPORZĄDKOWANEJ
23
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
RÓŻNE DEFINCJE PARY UPORZĄDKOWANEJ
c
b
a
b
a
a
b
a
,
,
,
,
,
N
N
N
a
a
a
a
a
,
,...,
,...,
1
1
1
KURATOWSKI (ROK 1921):
N-tka UPORZĄDKOWANA
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRODUKT (ILOCZYN) KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW
24
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM DWÓCH ZBIORÓW X i Y NAZYWAMY
ZBIÓR WSZYSTKICH PAR UPORZĄDKOWANYCH (x, y), TAKICH ŻE
• ILOCZYN KARTEZJAŃSKI DWÓCH ZBIORÓW X i Y, OZNACZAĆ
BĘDZIEMY
PRZYKŁADY:
1)
2)
•
Y
y
X
x
i
• ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM
Y
X
2
, X
X
X
Y
X
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRODUKT (ILOCZYN) KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW
25
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
3) OGÓLNIE:
NIECH
•
•
•
itd.
•
• PRODUKTEM (ILOCZYNEM) KARTEZJAŃSKIM ZBIORÓW
NAZYWAMY ZBIÓR ”N-tek” UPORZĄDKOWANYCH
GDZIE
X
A
1
A
A
W
w
C
c
B
b
A
a
w
c
b
a
z
Z
W
C
B
A
,
,
,
:
,
,
,
2
A
A
A
3
A
A
A
A
N
n
A
A
A
A
,...,
,...,
,
2
1
N
n
a
a
a
,...,
,...,
1
N
n
A
a
n
n
,...,
1
,
N
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE
26
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
PODZBIORY USTALONEJ PRZESTRZENI X NAZYWAMY RELACJAMI
JEDNOCZŁONOWYMI W X
- FUNKCJA ZDANIOWA JEDNEJ ZMIENNEJ
PODZBIORY TE MOŻEMY UTOŻSAMIAĆ Z POJĘCIEM PEWNEJ
WŁASNOŚCI φ ”WYBRANYCH ELEMENTÓW” TEJ PRZESTRZENI, A
MIANOWICIE PODZBIÓR UTOŻSAMIANY Z WŁASNOŚCIĄ ” φ”
TAKĄ, ŻE DLA KAŻDEGO ” ”
1
,
0
:
X
X
x
PODZBIORY
RELACJAMI
MIANOWICIE
X
A
A
x
x
gdy
1
WŁASNOŚCI OZNACZAMY ZATEM JAKO ZBIORY
ZDANIA: ”x JEST ELEMENTEM A”
”x MA WŁASNOŚĆ A”
- SĄ RÓWNOWAŻNE
x
X
x
x
X
x
A
:
1
PODZBIORY NAZYWAMY
X
A
RELACJAMI JEDNOCZŁONOWYMI W X
RELACJA ≡ PODZBIÓR ≡ WŁASNOŚĆ
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE DWUCZŁONOWE
27
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
NIECH DANE BĘDĄ DWA ZBIORY X, Y
ILOCZYN KARTEZJAŃSKI JEST TO ZBIÓR WSZYSTKICH PAR
UPORZĄDKOWANYCH (x, y) TAKICH ŻE
JEŚLI OZNACZYMY (NAZWIEMY) (x, y) = z TO
Z
Y
X
Y
y
X
x
,
RELACJĄ DWUCZŁONOWĄ NAZYWAMY DOWOLNY PODZBIÓR ILOCZYN
KARTEZJAŃSKIEGO
R JEST TO PODZBIÓR PAR UPORZĄDKOWANYCH POSIADAJĄCYCH
PEWNĄ WŁASNOŚĆ
Y
y
X
x
y
x
Y
X
,
,
Y
X
z
z
z
Z
Y
X
,...,
,
2
1
Y
X
Y
X
R
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE DWUCZŁONOWE
28
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
NIECH FUNKCJA ZDANIOWA φ DWÓCH ZMIENNYCH x i y OZNACZA
PEWNĄ WŁASNOŚĆ φ PARY UPORZĄDKOWANEJ (x, y)
POWIEMY, ŻE FUNKCJA φ WYZNACZA PEWNĄ RELACJĘ
ZBIÓR TYCH PAR (x, y), KTÓRE MAJĄ WŁASNOŚĆ φ JEŚLI R JEST
RELACJĄ DWUCZŁONOWĄ W TO ZAMIAST
MOŻEMY PISAĆ, ŻE xRy I CZYTAĆ:
1) „para uporządkowana (x, y) należy do relacji R” lub
2) „x pozostaje w relacji R z elementem y”
DZIEDZINĄ RELACJI R NAZYWAMY ZBIÓR POPRZEDNIKÓW PAR
UPORZĄDKOWANYCH NALEŻĄCYCH DO RELACJI R,
PRZECIWDZIEDZINĄ RELACJI NAZYWAMY ZBIÓR
NASTĘPNIKÓW PAR UPORZĄDKOWANYCH NALEŻĄCYCH DO R
Y
X
R
1
,
0
:
Y
X
1
)
,
(
,
y
x
Y
X
y
x
R
R
y
x
,
R
y
x
Y
y
X
x
R
)
,
(
:
że
,
istnieje
D
Y
X
R
R
y
x
X
x
Y
y
R
)
,
(
:
że
,
istnieje
*
D
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE DWUCZŁONOWE
29
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
• CZĘSTO BĘDZIEMY ZAKŁADAĆ, ŻE X=Y WTEDY
• ZBIÓR WSZYSTKICH RELACJI DWUCZŁONOWYCH W ILOCZNIE
OZNACZAĆ BĘDZIEMY
2
Y
Y
Y
Y
X
Y
Y
R
R
Y
Y
2
1
,
y
x
y
xR
Y
X
y
x
Y
X
y
x
R
2
1
,
,
Y
X
R
• ZAPISZEMY WTEDY
FORMALNIE MOŻE BYĆ
• KAŻDA FUNKCJA ZDANIOWA WYZNACZA
PEWNĄ RELACJĘ
ILOCZYNIE
Y
Y
Y
Y
R
2
R
Y
Y
R
Y
y
X
x
y
x
,
,
,
R
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE M-CZŁONOWE
30
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
NIECH
NIECH
- ILOCZYN KARTEZJAŃSKI
• RELACJĄ ”M-CZŁONOWĄ” W PRODUKCIE JEST DOWOLNY
PODZBIÓR REGO PRODUKTU
JEŚLI JEST RELACJĄ M-CZŁONOWĄ TO ZAMIAST
MOŻEMY PISAĆ I CZYTAĆ ”RELACJA
ZACHODZI POMIĘDZY ” LUB ”M-tka
MA WŁASNOŚĆ ”
N
M
M
m,...,
,...,
2
,
1
M
m
m
X
X
X
X
X
X
M
m
,...,
,...,
,
2
1
M
m
X
X
X
X
...
...
2
1
M
m
m
X
M
m
m
M
X
R
M
R
M
m
m
R
x
x
x
,...,
,...,
1
M
m
M
x
x
x
R
,...,
,...,
1
M
R
M
m
x
x
x
,...,
,...,
1
M
m
x
x
x
,...,
,...,
1
M
R
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE M-CZŁONOWE
31
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
• NIECH BĘDZIE DANY PRODUKT ZBIORÓW
O LICZNOŚCIACH
W PRODUKCIE TYM ISTNIEJE DOKŁADNIE RELACJI
M-CZŁONOWYCH
PRZYKŁAD:
„WZÓR” x < y < z dla WYRAŻA PEWNĄ RELACJĘ
TRÓJCZŁONOWĄ W
WŁASNOŚĆ CIĄGÓW TRÓJELEMENTOWYCH
WŁASNOŚĆ „TRÓJEK UPORZĄDKOWANYCH”
M
m
X
X
X
...
...
1
m
X
M
m
k
m
,
M
m
k
k
k
...
...
1
2
M
m
X
X
X
M
R
...
...
1
2
z
y
x ,
,
3
3
R
3
3
,
2
,
1
R
3
3
,
0
,
1
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
FUNKCJE ZDANIOWE M-ZMIENNYCH
32
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
1
,
0
...
...
:
1
M
m
M
X
X
X
M
m
X
X
X
M
R
...
...
1
2
1
0
,...,
,...,
1
M
m
M
x
x
x
M
m
M
M
X
X
X
R
...
...
1
1
R
R
M
W
ZAMIANA"
"
Z
m
X
x
x
x
x
X
X
X
m
m
M
m
M
m
M
,
,...,
,...,
...
...
1
1
Z
x
x
x
z
M
m
,...,
,...,
1
1
,
0
:
Z
1
,
z
Z
z
A
Z
A
NIECH X i Y DOWOLNE ZBIORY
• SPEŁNIA
NASTĘPUJĄCY WARUNEK:
„DLA KAŻDEGO ISTNIEJE DOKŁADNIE JEDEN ELEMENT
TAKI ŻE TO RELACJĘ TĘ NAZYWAMY FUNKCJĄ”
•
• DLA KAŻDEGO ISTNIEJE , ŻE
• DLA KAŻDEGO I DLA KAŻDEGO
JEŻELI I TO
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
FUNKCJE JAKO
RELACJE
33
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
Y
X
R
X
x
JEŻELI RELACJA DWUCZŁONOWA
Y
y
R
y
x
,
ZATEM FUNKCJA JEST SZCZEGÓLNEGO RODZAJU RELACJĄ
POWYŻSZY WARUNEK MOŻNA ZASTĄPIĆ DWOMA WARUNKAMI
X
x
Y
y
R
y
x
,
X
x
Y
y
y
2
1
,
R
y
x
1
,
R
y
x
2
,
2
1
y
y
1) ZBIÓR X - POJĘCIE PIERWOTNE
2) PARA UPORZĄDKOWANA – ZBIÓR
3) RELACJA – ZBIÓR (PODZBIÓR ILOCZYNU KARTEZJAŃSKIEGO)
4) FUNKCJA – RELACJA „SZCZEGÓLNEGO RODZAJU”
SZCZEGÓLNEGO RODZAJU ZBIÓR
5) FUNKCJA ZDANIOWA WŁASNOŚĆ RELACJA
ZBIÓR
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
FUNDAMENTALNE ZNACZENIE POJĘCIA
„ZBIÓR”
34
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
Y
X
R
b
a
a
b
a
,
,
,
wyznacza
NIECH , X – PRZESTRZEŃ
• Z
RELACJĘ NAZYWAMY ZWROTNĄ, JEŚLI DLA KAŻDEGO
• P
RELACJĘ NAZYWAMY PRZECIWZWROTNĄ, JEŚLI DLA
KAŻDEGO
• S
RELACJĘ NAZYWAMY SYMETRYCZNĄ, JEŚLI DLA
KAŻDYCH , Z TEGO ŻE WYNIKA, ŻE
• P
RELACJĘ NAZYWAMY PRZECIWSYMETRYCZNĄ, JEŚLI
DLA KAŻDYCH , Z TEGO ŻE WYNIKA, ŻE
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
WŁASNOŚCI RELACJI
DWUCZŁONOWYCH
35
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
X
X
R
ZWROTNOŚĆ:
X
X
R
R
x
x
,
X
x
PRZECIWZWROTNOŚĆ:
X
X
R
X
x
R
x
x
,
SYMETRYCZNOŚĆ:
X
X
R
X
y
x
,
R
y
x
,
R
x
y
,
PRZECIWSYMETRYCZNOŚĆ (ASYMETRYCZNOŚĆ):
X
X
R
X
y
x
,
R
y
x
,
R
x
y
,
• A
RELACJĘ NAZYWAMY ANTYSYMETRYCZNĄ, JEŚLI DLA
KAŻDYCH , Z TEGO ŻE I WYNIKA,
ŻE x=y
• P
RELACJĘ NAZYWAMY PRZECHODNIĄ, JEŚLI DLA
KAŻDYCH TRZECH ELEMENTÓW Z TEGO ŻE
I WYNIKA ŻE
• S
RELACJĘ NAZYWAMY SPÓJNĄ, JEŚLI DLA KAŻDYCH
ZACHODZI LUB
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. WŁASNOŚCI RELACJI
DWUCZŁONOWYCH
36
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
ANTYSYMETRYCZNOŚĆ:
X
X
R
PRZECHODNIOŚĆ:
X
X
R
SPÓJNOŚĆ:
X
X
R
X
y
x
,
R
y
x
,
R
x
y
,
X
y
x
,
R
y
x
,
R
y
x
,
X
z
y
x
,
,
R
z
y
,
R
z
x
,
R
x
y
,
RODZINA ZBIORÓW R ≡ ZBIÓR ZBIORÓW
CIAŁO ZBIORÓW TO TAKA RODZINA R, ŻE
1) „RELACJA MNIEJSZOŚCI” W ZBIORZE R
a) JEST PRZECIWZWROTNA
b) JEST PRZECHODNIA
BO WARUNEK x<x NIE JEST SPEŁNIONY DLA ŻADNEJ
LICZBY RZECZYWISTEJ
2) „RELACJA RÓWNOLEGŁOŚCI PROSTYCH” W ZBIORZE WSZYSTKICH
PROSTYCH NA PŁASZCZYŹNIE
JEŚLI PROSTA L JEST RÓWNOLEGŁA DO PROSTEJ Q TO PROSTA Q
JEST RÓWNOLEGŁA DO PROSTEJ L
a) NIE JEST SPÓJNA
b) JEST SYMETRYCZNA
c) JEST ZWROTNA?
1)
2) JEŚLI TO
3) JEŚLI TO
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁADY
37
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
x
x
,
...
,
i
X
A
i
i
R
R
R
A
R
A
R
B
A,
R
B
A
3) RELACJA „≤” W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH JEST
ANTYSYMETRYCZNA, BOWIEM WARUNKI x≤y I y≤x POCIĄGAJĄ
WARUNEK x=y
4) RELACJA INKLUZJI „ ” W DOWOLNEJ DZIEDZINIE ZBIORÓW JEST
ANTYSYMETRYCZNA
5) „RELACJA PODZIELNOŚCI” W ZBIORZE LICZBA NATURALNYCH JEST
PRZECHODNIA, JEŚLI BOWIEM x JEST DZIELNIKIEM y, A y JEST
DZIELNIKIEM z, TO x JEST DZIELNIKIEM z
6) RELACJA INKLUZJI ZBIORÓW W DOWOLNEJ RODZINIE ZBIORÓW
JEST PRZECHODNIA
„JEŚLI I TO ” DLA DOWOLNYCH TRZECH
ZBIORÓW A, B, C
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁADY
38
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
B
A
C
A
C
B
• RELACJĘ NAZYWAMY RELACJĄ RÓWNOWAŻNOŚCI W
ZBIORZE X JEŻELI R JEST:
- ZWROTNA DLA KAŻDEGO
- SYMETRYCZNA DLA KAŻDYCH
- PRZECHODNIA
• NIECH R – RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI
NIECH DLA KAŻDEGO ZBIÓR OZNACZA ZBIÓR TYCH
WSZYSTKICH ELEMENTÓW , ŻE (KTÓRE
POZOSTAJĄ W RELACJI RÓWNOWAŻNOŚCI)
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJA
RÓWNOWAŻNOŚCI
39
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
x
x
,
X
X
R
X
x
R
x
y
R
y
x
,
,
X
y
x
,
R
z
x
R
z
y
R
y
x
,
,
,
i
X
x
X
y
R
y
x
,
X
y
x
X
y
x
R
R
y
x
X
y
x
R
R
"
"
,
ZWROTNA
x
SYMETRYCZNA
PRZECHODNIA
! ZBIORY DLA NAZYWAMY KLASY RÓWNOWAŻNOŚCI
RELACJI R W X (ALBO KLASĄ ABSTRAKCJI) O REPREZENTANCIE x
(LUB WYZNACZONĄ PRZEZ x)
• DOWOLNA RELACJA RÓWNOWAŻNOŚCI R W ZBIORZE
USTALA PODZIAŁ TEGO ZBIORU NA ROZŁĄCZNE I NIEPUSTE
PODZBIORY. MIANOWICIE NA KLASY RÓWNOWAŻNOŚCI TEJ RELACJI
W TAKI SPOSÓB, ŻE DWA ELEMENTY x, y ZBIORU X NALEŻĄ DO TEJ
SAMEJ KLASY RÓWNOWAŻNOŚCI GDY
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. RELACJA
RÓWNOWAŻNOŚCI
40
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
x
X
x
X
R
y
x
,
ZBIÓR A NAZYWAMY WYPUKŁYM, JEŚLI Z TEGO, ŻE
WYNIKA, ŻE ELEMENT , PRZY CZYM .
PRZYKŁADY:
STOŻEK
ZBIÓR NAZYWAMY STOŻKIEM, JEŻELI Z TEGO, ŻE
WYNIKA, ŻE DLA KAŻDEGO .
PRZYKŁADY: KAŻDY STOŻEK ZAWIERA
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE PORZĄDKU I ICH
WŁASNOŚCI
41
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
A
x
x
2
1
,
POJĘCIA DODATKOWE
ZBIÓR WYPUKŁY
A
x
x
2
1
1
1
0
STOŻEK
N
R
x
x
0
1
2
R
2
x
y
y
x
R
R
,
3
0
,
0
,
4
y
x
y
x
R
R
1
,
5
x
y
y
x
R
R
0
,
1
,
6
x
x
y
y
x
R
R
ELEMENT NAZWIEMY PUNKTEM WIERZCHOŁKOWYM ZBIORU
A, JEŚLI NIE ISTNIEJĄ RÓŻNE OD w, ŻE
DLA PEWNEGO . .
PRZYKŁAD
1) CZY A JEST ZBIOREM WYPUKŁYM?
2) CZY A JEST STOŻKIEM?
3) CZY A POSIADA PUNKT WIERZCHOŁKOWY?
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PUNKT WIERZCHOŁKOWY
ZBIORU A
42
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
2
1
1
x
x
w
1
0
0
,
0
:
,
y
x
y
x
A
R
R
A
w
A
x
x
2
1
,
NIECH
SYMBOLEM A+B OZNACZAMY ZBIÓR WSZYSTKICH ELEMENTÓW
POSTACI
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
SUMA ALGEBRAICZNA ZBIORÓW
A+B
43
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
N
B
A
R
,
R
R
b
a
b
a
c
,
,
R
R
b
a
b
a
c
C
B
A
,
NIECH Λ STOŻEK W
ZBIÓR A NAZYWAMY Λ –WYPUKŁYM, JEŚLI ZBIÓR Λ+A JEST WYPUKŁY
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
ZBIÓR Λ-
WYPUKŁY
44
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
N
N
A R
R
,
NIECH Λ STOŻEK
• NIECH Λ STOŻ (NIE MUSI)
• ZWIĄZKI STOŻKÓW Z RELACJAMI
NIECH - STOŻEK WYPUKŁY W
RELACJĄ - GENEROWANĄ PRZEZ STOŻEK Λ NAZYWAĆ
BĘDZIEMY TAKI ZBIÓR (y, z), ŻE
•
•
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE PORZĄDKUJĄCE I STOŻKI (OW str.
16 →)
45
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
CZY STOŻEK JEST ZBIOREM WYPUKŁYM?
ZWIĄZKI
N
N
z
y
R
R
,
,
N
R
R
y
z
y
z
z
y
R
N
N
R
R
,
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 1
46
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
RYCZNA
ANTYSYMET
JEST
NIE
-
R
z
y
0
,
,
1
2
2
1
2
R
R
y
z
R
z
y
bo
,
z
y
R
y
z
bo
,
ZBIÓR UPORZĄDKOWANY TO PARA UPORZĄDKOWANA
GDZIE Y PEWIEN ZBIÓR
RELACJA PORZĄDKU
• ZBIORY QUASIUPORZĄDKOWANE
• ZBIORY UPORZĄDKOWANE
• ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
RELACJE
PORZĄDKU
47
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
ZBIÓR UPORZĄDKOWANY
ZWROTNA
PRZECHODNIA
ANTYSYMETRYCZNA
SPÓJNA
R
B
R
Y
,
,
Y
Y
R
QUASIPORZĄDEK (PORZĄDEK CZĘŚCIOWY)
PORZĄDEK
PORZĄDEK LINIOWY
PRZESTRZEŃ
UPORZĄDKOWANA
Y
Y
R
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. RELACJE
PORZĄDKU
48
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
KAŻDY STOŻEK WYPUKŁY Λ GENERUJE RELACJĘ
QUASIPORZĄDKU,
R
A
PRZECHODNI
ZWROTNA
R
CZY JEST:
a) ZWROTNA?
b) PRZECHODNIA?
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 2
49
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
0
,
1
2
2
1
R
y
z
y
x
R
2
2
,
R
R
y
z
R
z
y
,
z
w
R
w
z
,
R
w
y,
?
POKAZAĆ, ŻE
1) JEŚLI TO
2) JEŚLI TO
3) CZYLI
4) TO
5) TO
y
w
y
z
1
1
z
y
z
w
1
1
w
z
1
1
1
w
z
y
y
w
1
1
w
y
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. RELACJE
PORZĄDKU
50
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
STOŻEK WYPUKŁY POSIADAJĄCY PUNKT WIERZCHOŁKOWY GENERUJE
RELACJĘ: ZWROTNĄ
PRZECHODNIĄ PORZĄDKU
ANTYSYMETRYCZNĄ
ŁATWO POKAZAĆ, ŻE:
a) Λ - STOŻEK
b) Λ - ZBIÓR WYPUKŁY
c) Λ - POSIADA PUNKT WIERZCHOŁKOWY
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 3
51
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
N
R
n
n
N
N
n
,
0
,...,
,...,
1
y
z
z
y
R
N
N
R
R
,
NIECH ORAZ NIECH . OZNACZA TO ŻE
A WIĘC DLA PEWNEGO MAMY CZYLI
PONIEWAŻ
WIĘC
N
z
y
R
,
y
z
y
z
y
z
N
n
y
z
n
n
n
,
N
n
n
,
0
N
n
z
y
n
n
,
STOŻEK Λ GENERUJE
JEST RELACJĄ:
a) ZWROTNĄ
b) PRZECHODNIĄ
c) ANTYSYMETRYCZNĄ
A WIĘC RELACJĄ PORZĄDKU
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. PRZYKŁAD 3
52
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
R
R
y
z
y
z
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
PRZYKŁAD 3
53
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
0
0
0
,
2
1
1
2
2
1
i
lub
R
L
y
z
z
y
R
N
N
R
R
,
CZY JEST
a) STOŻKIEM?
b) ZBIOREM WYPUKŁYM?
c) CZY W Λ JEST WIERZCHOŁEK?
2
1
L
0
1
1
N
R
0
0
2
1
2
i
N
R
L
1
1
y
w
JAKI TO PORZĄDEK?
ZAUWAŻMY, ŻE
NATOMIAST
PONADTO
OZNACZA TO, ŻE DLA DOWOLNEJ PARY (y, z)
WOJSKOWA AKADEMIA
TECHNICZNA
im. Jarosława Dąbrowskiego
c.d. PRZYKŁAD 3
54
Wojskowa Akademia Techniczna
20.11.2021
L
R
z
y
,
RELACJĘ GENEROWANĄ STOŻKIEM MOŻEMY
ZAPISAĆ:
L
L
y
w
y
z
,
L
y
p
L
w
y
JEŚLI
LUB O ILE
GDY
1
1
z
y
1
1
z
y
2
2
z
y
L
R
L
z
y
l
k
z
y
z
y
l
z
y
R
k
k
l
l
N
N
L
LUB
DLA
ORAZ
ŻE
,
ISTNIEJE
N
R
R
,
"
lub
dla
oraz
że
,
istnieje
"
z
y
l
k
z
y
z
y
l
z
y
k
k
l
l
N
,