Model liniowy Holt’a
Daria Karnicka
24 marca
2015r.
Model liniowy Holt’a
Daria Karnicka
24 marca
2015r.
Co to właściwie jest?
Model liniowy Holt’a służy do wygładzania szeregu
czasowego, w którym wyróżniamy :
• trend (tendencję
rozwojową),
• wahania przypadkowe .
Wyróżniamy także dwa inne modele stosowane do wygładzania szeregu
czasowego ,tj.
Model Browna oraz Model Wintera (addytywny i multiplikatywny).
TREND
- (tendencja
rozwojowa) –
to długookresowa skłonność do jednokierunkowych zmian wartości
zmiennej prognozowanej, wzrostu lub spadku poziomu badanego
zjawiska w długim okresie czasu.
WAHANIA PRZYPADKOWE-
nieregularne i niecykliczne wahania, powodowane czynnikami
losowymi (np. wojna, klęska, strajki lub zmiany polityki państwa).
Przypomnienie pojęć.
Równania w modelu Holt’a.
Model ten składa się z dwóch równań rekurencyjnych:
I. Służy do wyznaczania wygładzonych wartości szeregu czasowego w
chwili t.
)
S
F
(
)
(
y
F
t
t
t
t
1
1
1
II. Służy do wyznaczania wygładzonych wartości przyrostu trendu w
chwili t.
1
t
1
t
t
t
S
)
1
(
)
F
F
(
S
gdzie:
α, β
∈ [0,1] - parametry wygładzania,
F
t
- odpowiada wygładzonej wartości z prostego modelu
wygładzania wykładniczego (ocena wartości średniej na okres t ),
S
t
- wygładzony przyrost trendu na okres t.
W modelu Holt’a obliczamy zarówno
prognozy wygasłe
jak i
prognozy na przyszłe okresy
(tzw. rzeczywiste).
Prognozy wygasłe obliczamy wg
wzoru:
y
t
*
= F
t-1
+
S
t-1
dla t = 2, 3,…, n.
Prognozę na okres T>n wyznacza się ze
wzoru:
y
T
*
= F
n
+ (T – n)S
n
dla T = n +1, n + 2
itd.
gdzie n jest liczbą posiadanych
obserwacji.
Równania w modelu Holt’a.
Obliczanie prognoz w modelu
Holt’a.
Potrzebujemy początkowe wartości F
1
i S
1
. Na ich wyznaczenie
istnieją trzy sposoby:
F
1
=y
1
, S
1
= y
2
-y
1
F
1
=y
1
, S
1
= 0
F
1
= a
0
wyraz wolny liniowej funkcji trendu
,
S
1
=a
1
współczynnik kierunkowy liniowej funkcji trendu,
którą oszacowaliśmy na podstawie danych za pomocą metody
najmniejszych kwadratów
.
Prognoz
y.
Co z α i β?
Jak dobieramy parametry α i β?
Najczęściej przyjmuje się takie
wartości parametrów wygładzania α i
β aby wybrany błąd ex post prognoz
wygasłych służący do oceny modelu
przyjął wartość
minimalną
.
Przykład – SAS.
Zadanie.
Na podstawie danych z 15stu miesięcy dotyczących wielkości
sprzedaży w setkach sztuk w sklepie z artykułami kolekcjonerskimi
wyznaczyć prognozę na kolejny miesiąc.
I. Import danych.
Dane: wielkość sprzedaży w setkach sztuk.
Przykład –
SAS.
Przykład – SAS.
II. Tworzenie wykresu.
Przykład –
SAS.
Przykład – SAS.
III. Prognozowanie.
Przykład – SAS.
Przykład – SAS.
Przykład – SAS.
Prognozy otrzymane modelem Winters’a multiplikatywnym:
Mając RMSE warto policzyć także wskaźnik
W
m
.
100
M
m
Y
RMSE
W
gdzie
M
Y
to średnia zmiennej prognozowanej w okresach od t=2
do t=15.
21429
,
46
M
Y
Wówczas,
58876
,
60
m
W
Na podstawie wielkości wskaźnika W
M
możemy stwierdzić, że błąd
RMSE stanowi około 60,59% średniej wielkości sprzedaży w
miesiącach od drugiego do piętnastego.
Przykład – SAS.
Jak z modelu Winters’a zrobić model Holt’a?
1. Z kodu usuwamy „SEASONS=„
2. Sezonową wagę wygładzania ustawiamy na 0.
Pierwotny kod:
Poprawiony kod:
Przykład – SAS.
Prognoza i oceny parametrów po zmianie kodu.
48534
,
44
m
W
W tym przypadku W
m
wynosi:
Zatem błąd RMSE stanowi około 44,48%
średniej wielkości sprzedaży w
miesiącach od drugiego do piętnastego.
Przykład – SAS.
Jak widać błąd RMSE jest dość duży i nie należy używać tak
skonstruowanego modelu Holta do prognozowania. Wielkość błędu
RMSE możemy spróbować zmniejszyć zmieniając wartości α i β . Do
znalezienia wartości minimalnej RMSE użyjemy narzędzia Solver
Przykład - SAS.
Przykład – SAS.
Zmieniamy wartości stałych wygładzania na 0,972973 oraz
0,924352.
Przykład – SAS.
Prognozy i oceny parametrów po zmianie stałych wygładzania:
23501
,
8
m
W
Otrzymujemy:
Na podstawie wielkości wskaźnika W
M
możemy stwierdzić, że błąd
RMSE stanowi około 8,24% średniej wielkości sprzedaży w miesiącach
od drugiego do piętnastego. Błąd RMSE jest niewielki a więc model
Holt’a z parametrami wygładzania α=0,972973 i β=0,924352 może
zostać użyty do prognozowania.
Przykład – SAS.
KONIEC
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!!