Wykres momentu 

zginającego

i reakcje w belce zginanej

Marek Dąbrowski

Politechnika Warszawska, Wydział 

SiMR

grupa 2.1 mgr, nr indeksu 222143

Reakcje w podporach

Podpora 
przegubowo
przesuwna

Powstaje jedna 
reakcja 
(pionowa)

Podpora 
przegubowo
nieprzesuwna

Powstają dwie 
reakcje 
(pionowa
i pozioma)

Utwierdzenie 
stałe

Powstają trzy 
reakcje 
(pionowa, 
pozioma i 
moment)

Reakcje w podporach

Przegub

Powstaje dwie 
reakcje 
(pionowa i 
pozioma)

Łyżwa 
pionowa

Powstają dwie 
reakcje 
(pozioma i 
moment)

Łyżwa 
pozioma

Powstają dwie 
reakcje 
(pionowa i 
moment)

Wykres momentu gnącego – 

tok obliczeń

1.Liczymy reakcje w podporach (z 

równań statyki)

2.Dzielimy belkę na przedziały 

(granice przedziałów ustalamy w 
miejscu przyłożenia siły, momentu lub 
reakcji oraz na początku i końcu 
obciążenia ciągłego)

3. Dla każdego przedziału sporządzamy 

równanie momentu gnącego

4. Podstawiamy wartości liczbowe 

Wykres momentu gnącego – 

umowa dot. znaku

Wykres momentu 

zginającego

1. Siła skupiona

- Wykres momentu jest krzywą pierwszego stopnia (prosta)

- W miejscu przyłożenia siły na wykresie występuje załamanie

Wykres momentu 

zginającego

2. Obciążenie ciągłe

- Wykres momentu jest krzywą drugiego stopnia

Wykres momentu 

zginającego

3. Moment skupiony

- W miejscu przyłożenia momentu skupionego na wykresie 

występuje skok równy jego wartości

Belka statycznie 

wyznaczalna 

i statycznie 

niewyznaczalna

Belka statycznie 

wyznaczalna

Liczba niewiadomych reakcji jest równa liczbie 

równań równowagi

Równania równowagi – 3
ΣF

x

, ΣF

y

, ΣM

Niewiadome reakcje – 3
R

Ay

, R

Bx

, R

By

Równania równowagi – 3
ΣF

x

, ΣF

y

, ΣM

Niewiadome reakcje – 3
R

Ay

, R

Ax

, M

A

Belka statycznie 

niewyznaczalna

Siły reakcji w niej występujące nie dają się wyliczyć 

wyłącznie przy pomocy równań równowagi

Równania równowagi – 3
ΣF

x

, ΣF

y

, ΣM

Niewiadome reakcje – 4
M

a

, R

ay

, R

bx

, R

by

Krotność statycznie niewyznaczalnej belki:

N = l

r

 – 3 (l

r

 – liczba nieznanych reakcji)

(powyżej belka jednokrotnie statycznie 

niewyznaczalna)

Belka statycznie 

niewyznaczalna

Metody rozwiązywania takich zadań to 

m.in.:

1. Metoda sił

2. Metoda przemieszczeń

3. Metoda superpozycji

4. Metoda trzech momentów

5. Metoda Menabrei

Metoda sił

Metoda polegająca na rozwiązywaniu 

układu statycznie wyznaczalnego 

(układ podstawowy), który powstaje 

z układu niewyznaczalnego przez 

wprowadzenie niewiadomych sił w 

miejsce odrzuconych więzów

Metoda sił – algorytm

1. Określamy krotność statycznie 

niewyznaczalnej belki

2. Usuwamy nadliczbowe więzy układu 

rzeczywistego

3. Wprowadzamy siły uogólnione 
(nadliczbowe niewiadome) w miejsce 

usuniętych więzów

4. Układamy i rozwiązujemy równania 

kanoniczne metody sił

Metoda sił – przykład

Przykładowa belka jest układem 

jednokrotnie statycznie 

niewyznaczalnym. Usuwamy 

nadliczbowy więz podporowy i 

zastępujemy go siłą X

1

 (układ 

podstawowy)

Metoda sił – przykład

Sporządzamy wykresy momentu 

gnącego dla układu podstawowego 

obciążonego siłami zewnętrznymi i 

siłą X

1

=1

Wykres momentu gnącego od 
obciążenia zewnętrznego

Wykres momentu gnącego od 
siły X

1

Metoda sił – przykład

Równanie kanoniczne metody sił:

gdzie: δ

11

 – przesunięcie lub obrót na 

kierunku  działania siły o wartości X

1

 

pod wpływem  obciążenia układu 
podstawowego siłą X

1

=1 

Δ

1p

 – przemieszczenie układu 

podstawowego wzdłuż kierunku i pod 
wpływem sił zewnętrznych

Metoda sił – przykład

Aby policzyć współczynnik δ

11

 

przemnażamy pole z wykresu M

1

 z 

wartością momentu dla środka 

ciężkości tego wykresu

Aby policzyć współczynnik Δ

1p

 

przemnażamy pola z wykresu M

p

 z 

wartościami momentu na wykresie 

M

1

 dla środka ciężkości z wykresu M

p

Metoda sił – przykład

Przekształcając wzór otrzymujemy:

Następnie liczymy pozostałe reakcje 

korzystając z równań statyki i 

działamy jak na układzie statycznie 

wyznaczalnym

Dziękuję