RACHUNEK
WSPÓŁRZĘDNYCH
RACHUNEK
WSPÓŁRZĘDNYCH
SPIS TREŚCI
1.
Azymut.
2.
Azymut y i czwartaki w
poszczególnych ćwiartkach układu
współrzędnych.
3.
Określenie azymutu za pomocą
znaków przyrostów.
4.
Kontrola obliczeń azymutu A
AB
.
5.
Przykład obliczenia azymutu.
6.
Obliczanie długości odcinka ze
współrzędnych.
7.
Przykład obliczenia długości
odcinka ze współrzędnych.
8.
Obliczanie współrzędnych punktów
na prostej.
9.
Przykład obliczenia współrzędnych
punktu na prostej.
10.
Obliczanie współrzędnych punktów
metodą biegunową.
11.
Przykład obliczenia współrzędnych
punktu metodą biegunową.
12.
Obliczanie współrzędnych punktu
za pomocą wcięcia kątowego
wprzód.
13.
Obliczenie współrzędnych punktu
a pomocą wcięcia liniowego.
14.
Obliczenie współrzędnych
punktów metodą biegunową.
15.
Metoda analityczna obliczenia
pola powierzchni ze
współrzędnych wzorami Gaussa.
16.
Kalkulator geodezyjny.
17.
Bibliografia.
AZYMUT
Azymut jest to kąt mierzony od kierunku północy (osi X) zgodnie z ruchem
wskazówek zegara do kierunku linii. Zawsze ma dodatni znak oraz przyjmuje
wartości z przedziału 0
g
– 400
g
.
Do obliczenia azymutu posługujemy się kierunkowym kątem pomocniczym
zwanym czwartakiem, który może być zarówno dodatni, jak i ujemny (od
-100
g
do 100
g
). Mierzymy go na prawo lub lewo od osi X, w zależności od
ćwiartki układu współrzędnych. Na podstawie znaków przyrostów
Δx = X
B
– X
A
, Δy = Y
B
–
Y
A
AZYMUTY I CZWARTAKI W
POSZCZEGÓLNYCH
ĆWIARTKACH UKŁADU
WSPÓŁRZĘDNYCH
Między dwoma danymi punktami A i B o znanych
współrzędnych określamy ćwiartkę układu współrzędnych
geodezyjnych, w jakiej znajduje się czwartak.
Na podstawie ćwiartki, gdzie znajduje się bok, dla którego obliczamy
azymut, wybieramy odpowiedni wzór (indeks przy φ oznacza numer
ćwiartki układu, w której znajduje się kąt):
A
AB
= φ
I
A
AB
= φ
II
+ 200
g
,0000
A
AB
= φ
III
+ 200
g
,0000
A
AB
= φ
IV
+ 400
g
,0000
Następnie wyliczamy wartość czwartaka ze wzoru:
φ = arctg Δy Δx
i wstawiamy do jednego z podanych powyżej wzorów na azymut w
danej ćwiartce układu.
OKREŚLENIE AZYMUTU ZA
POMOCĄ ZNAKÓW
PRZYROSTÓW
Azymut kierunku odwrotnego określamy na podstawie wzoru:
A
BA
= A
AB
± 200
g
,0000
Znak „+” stosujemy, gdy 0
g
≤ A
AB
< 200
g
, a „–”, gdy 200
g
≤
A
AB
< 400
g
, ponieważ, jak już wcześniej się dowiedzieliśmy,
azymut przyjmuje wartości tylko z przedziału 0
g
– 400
g
.
KONTROLA OBLICZEŃ
AZYMUTU A
AB
Kontrolę obliczenia azymutu A
AB
wykonujemy poprzez
wyznaczenie pseudo-czwartaka ψ oraz pseudo-azymutu A
AB
’
stosując wzory:
ψ = φ + 50
g
,0000
tgψ = Δx + Δy Δx - Δy
A
AB
' = A
AB
+ 50
g
,0000
PRZYKŁAD
OBLICZENIA
AZYMUTU
Oblicz azymut boku AB
oraz na jego podstawie
oblicz azymut boku BA.
Dane:
A ( 902,58m;
479,65m)
B (537,78m; 23,53m
)
ROZWIĄZANIE
Δx = X
B
– X
A
= –364,80m
Δy = Y
B
– Y
A
= –456,12m
φ = arctg Δy Δx
φ = arctg -456,12 -364,80
φ = 57
g
,05283
Δx = –364,80m <0
Δy = –456,12m <0
Zatem czwartak leży w III ćwiartce,
więc
A
AB
=200
g
,0000 + φ
A
AB
=257
g
,0528
A
BA
= A
AB
- 200
g
,0000 = 57
g
,0528
Kontrola:
ψ = φ + 50
g
,0000 = 307
g
,05283
tgψ = Δx + Δy Δx - Δy ⇒ ψ =
arctg Δx + Δy Δx - Δy
ψ = arctg- 364,80 - 456,12 -
364,80 + 456,12
ψ = –92
g
,94717
Δx + Δy <0
Δx - Δy >0
Czwartak leży w IV ćwiartce
A
AB
' = 400
g
,0000 + ψ = 307
g
,0528
A
AB
' = A
AB
+ 50
g
,0000 =
307
g
,0528
OBLICZANIE DŁUGOŚCI
ODCINKA ZE WSPÓŁRZĘDNYCH
Długość boku AB w
układzie
współrzędnych XY
Długość odcinka między punktami A i B w łatwy sposób możemy
obliczyć znając współrzędne dwóch punktów. W pierwszej kolejności
wyznaczamy przyrosty:
Δx = X
B
– X
A
, Δy = Y
B
– Y
A
Następnie korzystając ze wzoru:
D
AB
= √Δx
2
+ Δy
2
I w ten sposób uzyskujemy odległość między punktami AB
Kontrolę obliczenia długości można wykonać z jednego ze
wzorów:
D
AB
= ΙΔxΙ cosφ
D
AB
= ΙΔyΙ sinφ
gdzie φ = arctg : Δy Δx (kąt między bokiem AB a kierunkiem
północy).
PRZYKŁAD OBLICZENIA DŁUGOŚCI
ODCINKA ZE WSPÓŁRZĘDNYCH
Oblicz odległość między punktami A i B
mając dane ich współrzędne.
Dane:
A ( 137,63m; 367,78m)
B ( 189,60m; 942,58m)
ROZWIĄZANIE
Δx = XB – XA = 51,97m
Δy = YB – YA = 574,80m
DAB = √ Δx2 + Δy2
DAB = √51,972 + 574,802
DAB = 577,14m
Kontrola
φ = arctg Δy : Δx
φ = arctg 574,80 : 51,97
φ = 94g,25967
DAB = ΙΔxΙ : cosφ
DAB = Ι51,97Ι : cos(94g,25967)
DAB = 577,14m
OBLICZANIE
WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW
NA PROSTEJ
Punkty na prostej są
to punkty osnowy
pomiarowej,
wytyczone na prostej
między punktami A i
B o znanych
współrzędnych.
Punkt posiłkowy n na prostej AB
Szukane:
n (X
n
, Y
n
)
Dane:
A (X
A
, Y
A
)
B (X
B
, Y
B
)
Pomierzone
:
d
An
d
AB
Zadanie obliczenia współrzędnych
punktów posiłkowych na prostej
należy zacząć od wyznaczenia
odległości ze współrzędnych między
punktami A i B, ze wzoru: D
AB
=
√ Δx
2
+ Δy
2
, gdzie Δx = X
B
– X
A
, Δy =
Y
B
– Y
A
. Następnie pomiędzy długością
pomierzoną d
AB
, a wyliczoną ze
współrzędnych D
AB
obliczamy
odchyłkę f, która musi spełniać
kryterium podane w Instrukcji G-4
takie, że f ≤ f
l
, przy czym f = Ιd
AB
–
D
AB
Ι. Jeżeli nasza odchyłka mieści się
w granicach dopuszczalnej, możemy
przystąpić do dalszych rachunków.
Obliczamy przyrosty:
Δx
An
= d
An
Δx : d
AB
Δy
An
= d
An
Δy : Dab
Współrzędne punktu posiłkowego leżącego na prostej wynoszą
zatem:
X
n
= X
A
+ Δx
An
Y
n
= Y
A
+ Δy
An
Kontrola obliczeń:
1) ponowne obliczenie współrzędnych punktu n na prostej,
wykorzystując tym razem dane współrzędne punktu B;
2) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych Δd jest równa
długości pomierzonej d
AB
:
∑Δd
i
= d
AB
gdzie Δd
i
= d
i
– d
i-1
.
PRZYKŁAD OBLICZENIA
WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU NA PROSTEJ
Oblicz współrzędne punktu
posiłkowego n znajdującego
się na prostej AB.
Dane:
A ( 623,33m; 740,87m)
B ( 729,65m; 973,56m)
Pomierzone:
dAn = 83,89m
dAB = 255,85m
•
ROZWIĄZANIE
•
Δx
AB
= X
B
– X
A
= 106,32m
Δy
AB
= Y
B
– Y
A
= 232,69m
D
AB
= √ Δx
AB2
+ Δy
AB2
D
AB
= √106,32
2
+ 232,69
2
D
AB
= 255,83m
f = Ιd
AB
– D
AB
Ι = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m
f
l
= 0,09m
Warunek f ≤ f
l
jest spełniony.
Δx
An
= d
An
Δx
AB
: d
AB
Δx
An
= 34,86m
Δy
An
= d
An
Δy
AB
: d
AB
Δy
An
= 76,30m
X
n
= X
A
+ Δx
An
= 623,33 + 34,86 = 658,19m
Y
n
= Y
A
+ Δy
An
= 740,87 + 76,20 = 817,17m
Kontrola
1) Δx
BA
= X
A
– X
B
= –106,32m
Δy
BA
= Y
A
– Y
B
= –232,69m
D
AB
= √ Δx
BA2
+ Δy
BA2
D
AB
= √ (–106,32)
2
+ (–232,69)
2
D
AB
= 255,83m
f = Ιd
AB
– D
AB
Ι = Ι255,85 – 255,83Ι = 0,02m
f
l
= 0,09m
Warunek f ≤ f
l
jest spełniony.
d
nB
=d
AB
– d
An
= 171,96m
Δx
nB
= d
nB
Δx
AB :
d
AB
Δx
nB
= – 71,96m
Δy
nB
= d
nB
Δy
AB :
d
AB
Δy
nB
= – 156,41m
X
n
= X
B
+ Δx
nB
= 729,65 – 71,96 = 658,19m
Y
n
= Y
B
+ Δy
nB
= 973,56 – 156,41 = 817,17m
2) Δd
An
= 83,89m
Δd
nB
= 171,96m
∑Δd
i
= 83,89 + 171,96 = 255,85
Zatem: ∑Δd
i
= d
AB
OBLICZANIE
WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTÓW
METODĄ BIEGUNOWĄ
Metoda biegunowa stanowi jedną z
podstawowych i powszechnie stosowanych
metod pomiaru szczegółów sytuacyjnych. W
nawiązaniu do dwóch punktów osnowy A i B oraz
pomierzonych kierunków do tych punktów i do
punktu P możemy wyznaczać współrzędne
punktu P.
Rozmieszczenie punktów w układzie współrzędnych
Szukane:
P (X
P
, Y
P
)
Dane:
A (X
A
, Y
A
)
B (X
B
, Y
B
)
S (X
S
, Y
S
)
Pomierzone:
kierunki: k
A
,k
B
, k
P
,
długości: d
SP
Chcąc nawiązać się do dwóch punktów osnowy A i B należy obliczyć kąt orientacji kreski
0˚ podziału limbusa w następujący sposób:
γ' = A
SA
− k
A
γ" = A
SB
− k
B
gdzie A
SA
, A
SB
- azymuty* boków SA i SB.
Sprawdzamy, czy odchyłka między kątami γ' i γ" mieści w granicy odchyłki dopuszczalnej
f
γ
= 2m
0
√2 : Ιγ' – γ"Ι ≤ f
γ
Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, wówczas:
γ = (γ' + γ’’) : 2
Obliczamy azymut boku SP ze wzoru:
A
SP
= k
P
+ γ
oraz przyrosty na podstawie długości pomierzonej oraz azymutu boku SP:
Δx
SP
= d
SP
cosA
SP
Δy
SP
= d
SP
sinA
SP
Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X
P
= X
S
+ Δx
SP
Y
P
= Y
S
+ Δy
SP
Kontrola obliczeń:
Porównanie długości pomierzonej d
SP
z wyliczoną
D
SP
= √ (X
P
− X
S
)
2
+ (Y
P
− Y
S
)
2
PRZYKŁAD OBLICZENIA WSPÓŁRZĘDNYCH
PUNKTU METODĄ BIEGUNOWĄ
Oblicz współrzędne punku P
metodą biegunową.
Dane:
A (1400,34m; 1398,22m)
B (534,15m; 1729,04m)
S (535,40m; 681,72m)
Pomierzone
kierunki:
kA = 23g,2719 ± 2cc
kB = 79g,3064 ± 2cc
kP = 64g,7378 ± 2cc
długości:
dSP = 341,43m
ROZWIĄZANIE
Δx
SA
= X
A
– X
S
= 864,94m
Δy
SA
= Y
A
– Y
S
= 716,50m
d
SA
= √____________ Δx
SA2
+ Δy
SA2
d
SA
= √________________ 864,94
2
+ 716,50
2
d
SA
= 1123,16m
φ
SA
= arctg Δy
SA
Δx
SA
φ
SA
= arctg 716,50 864,94
φ
SA
= 44
g
,04190
Δx
SA
= 864,94m >0
Δy
SA
= 716,50m >0
Zatem czwartak leży w I ćwiartce, więc A
SA
= φ
SA
A
SA
= 44
g
,04190
Δx
SB
= X
B
– X
S
= -1,25m
Δy
SB
= Y
B
– Y
S
= 1047,32m
d
SB
= √ Δx
SB2
+ Δy
SB2
d
SB
= √ (-1,25)
2
+ 1047,32
2
d
SB
= 1047,32m
φ
SB
= arctg Δy
SB
Δx
SB
φ
SB
= arctg 1047,32 -1,25
φ
SB
= -99
g
,92402
Δx
SB
= -1,25m <0
Δy
SB
= 1047,32m >0
Zatem czwartak leży w II ćwiartce, więc
A
SB
=200
g
,0000 + φ
SB
A
SB
= 200
g
,0000 + (-99
g
,92402) =
100
g
,07598
γ' = A
SA
− k
A
= 44
g
,04190 – 23
g
,2719 =
20
g
,77000
γ" = A
SB
− k
B
= 100
g
,07598 – 79
g
,3064
= 20
g
,76958
f
γ
= 2m
0
√_ 2= 5
cc
,7
Ι 20
g
,77000 – 20
g
,76958Ι = 4
cc
,2 ≤ f
γ
Powyższy warunek jest spełniony,
zatem:
γ = γ' + γ" 2
γ = 20
g
,77000 + 20
g
,76958 2
γ = 20
g
,76979
A
SP
= k
P
+ γ = 64
g
,7378 + 20
g
,76979 =
85
g
,50759
Δx
SP
= d
SP
cosA
SP
= 341,43•
cos(85
g
,50759) = 77,056m
Δy
SP
= d
SP
sinA
SP
= 341,43•
sin(85
g
,50759) = 332,621m
Ostateczne współrzędne szukanego
punktu P:
X
P
= X
S
+ Δx
SP
= 535,40 + 77,056 =
612,456m = 612,46
Y
P
= Y
S
+ Δy
SP
= 681,72 + 332,621 =
1014,341m = 1014,34
Kontrola
D
SP
= √(X
P
− X
S
)
2
+ (Y
P
− Y
S
)
2
D
SP
= 341,43m = d
SP
OBLICZANIE WSPÓŁRZĘDNYCH
PUNKTU ZA POMOCĄ WCIĘCIA
KĄTOWEGO WPRZÓD
Obliczenie współrzędnych punktu metodą wcięcia
kątowego w przód polega na utworzeniu konstrukcji
trójkąta o dwóch znanych punktach A, B i punkcie
wyznaczanym P oraz pomierzonych kątach α i β.
W pierwszej kolejności na podstawie szkicu
pomiarowego wykonujemy szkic umieszczając punkty
w układzie współrzędnych.
Obliczamy przyrosty Δx
AB
= X
B
– X
A
, Δy
AB
= Y
B
– Y
A
,
które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A
AB
oraz
długości* boku AB:
D
AB
= √Δx
AB2
+ Δy
AB2
Wcięcie kątowe w przód w układzie współrzędnych.
Szukane:
P (X
P
, Y
P
)
Dane:
A (X
A
, Y
A
)
B (X
B
, Y
B
)
Pomierzone:
α, β
Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość d
AP
:
d
AP
= D
AB
•sinβ : sin(α + β)
Wyliczamy azymut boku AP :
A
AP
= A
AB
+ α
oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku AP:
Δx
AP
= d
AP
cosA
AP
Δy
AP
= d
AP
sinA
AP
Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X
P
= X
A
+ Δx
AP
Y
P
= Y
A
+ Δy
AP
Kontrolą obliczeń jest ponowne wyliczenie współrzędnych punktu P na podstawie
punktu B i porównanie ich ze współrzędnymi punktu P obliczonymi na podstawie
punktu A.
Korzystając z twierdzenia sinusów obliczamy długość d
BP
:
d
BP
: sinα = D
AB
: sin(α + β)⇒ d
BP
= D
AB
•sinα sin(α + β)
Wyliczamy azymut boku BP:
A
BP
= A
AB
− β
oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku BP:
Δx
BP
= d
BP
cosA
BP
Δy
BP
= d
BP
sinA
BP
Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X
P
= X
B
+ Δx
AB
Y
P
= Y
B
+ Δy
AB
Dodatkową kontrolą jest wyznaczenie ze współrzędnych kąta* γ znajdującego się
między punktami APB i porównanie go z wartością obliczoną ze wzoru: γ =
200
g
,0000 − (α + β).
OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH PUNKTU
ZA POMOCĄ WCIĘCIA LINIOWEGO
Chcąc obliczyć współrzędne punktu P na podstawie
współrzędnych dwóch punktów A i B oraz
pomierzonych długości boków AP oraz BP
wykorzystujemy metodę wcięcia liniowego. W
pierwszej kolejności wykonujemy szkic umieszczając
punktu w układzie współrzędnych (Rys.1.).
Obliczamy przyrosty Δx
AB
= X
B
– X
A
, Δy
AB
= Y
B
– Y
A
,
które są niezbędne do wyznaczenia azymutu* A
AB
oraz
długości* boku AB:
D
AB
= √Δx
AB2
+ Δy
AB2
Szukane:
P (X
P
, Y
P
)
Dane:
A (X
A
, Y
A
)
B (X
B
, Y
B
)
Pomierzone:
d
AP
, d
BP
Wcięcie liniowe w układzie
współrzędnych
Do obliczenia kątów α, β i γ w trójkącie ABP korzystamy z
twierdzenia cosinusów:
D
AB
2
= d
AP
2
+ d
BP
2
–2d
AP
d
BP
cosγ ⇒ γ = arctg D
AB
2
–(d
AP
2
+
d
BP
2
) : –2d
AP
d
BP
d
AP
2
= D
AB
2
+ d
BP
2
–2D
AB
d
BP
cosβ ⇒ β = arctg d
AP
2
– (D
AB
2
+
d
BP
2
) : –2D
AB
d
BP
d
BP
2
= d
AP
2
+ D
AB
2
– 2d
AP
D
AB
cosα ⇒ α = arctg d
BP
2
– (d
AP
2
+
D
AB
2
) : –2d
AP
D
AB
Sprawdzamy, czy suma wyliczonych kątów jest równa
200g,0000.
W dalszej części obliczeń postępujemy tak, jak przy wcięciu
kątowym w przód.
Wyliczamy azymut boku AP:
A
AP
= A
AB
–α
oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku AP:
Δx
AP
= d
AP
cosA
AP
Δy
AP
= d
AP
sinA
AP
Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
X
P
= X
A
+ Δx
AP
Y
P
= Y
A
+ Δy
AP
Kontrolą obliczeń jest ponowne wyliczenie współrzędnych punktu P na podstawie
punktu B i porównanie ich ze współrzędnymi punktu P obliczonymi na podstawie punktu
A.
Wyliczamy azymut boku BP:
ABP = AAB + β
oraz przyrosty na podstawie długości oraz azymutu boku BP:
ΔxBP = dBPcosABP
ΔyBP = dBPsinABP
Ostateczne współrzędne szukanego punktu P:
XP = XB + ΔxAB
YP = YB + ΔyAB
OBLICZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH
PUNKTÓ METODĄ BIEGUNOWĄ
Metoda domiarów prostokątnych (rzędnych i odciętych)
służy przede wszystkim do obliczana współrzędnych
punktów z pomiarów sytuacyjnych.
Zadanie obliczenia współrzędnych punktów na domiarach
prostokątnych należy zacząć od wyznaczenia odległości
ze współrzędnych między znanymi punktami A i B, ze
wzoru: L
AB
= √Δx
2
+ Δy
2
, gdzie Δx = X
B
– X
A
, Δy = Y
B
– Y
A
.
Następnie pomiędzy długością pomierzoną l
AB
, a
wyliczoną ze współrzędnych L
AB
obliczamy odchyłkę f,
która musi spełniać kryterium podane w Instrukcji G-4
takie, że f ≤ f
l
, przy czym f = Ιl
AB
– L
AB
Ι. Jeżeli nasza
odchyłka mieści się w granicach dopuszczalnej, możemy
przystąpić do dalszych rachunków.
Szkic z pomiaru punktów metodą
rzędnych i odciętych w lokalnym
układzie współrzędnych (oś +l
pokrywa się prostą AB, a oś +h jest
do niej prostopadła i skierowana na
prawo).
Szukane:
i (X
i
, Y
i
)
n (X
n
, Y
n
)
Dane:
A (X
A
, Y
A
)
B (X
B
, Y
B
)
Pomierzone:
d
ii'
d
nn'
l
Ai'
l
An'
l
AB
Obliczając współrzędne punktu i, który znajduje się po prawej
stronie, korzystamy ze wzorów:
X
i
= X
A
+ Δx
Ai'
– Δx
ii'
Y
i
= Y
A
+ Δy
Ai'
+ Δy
ii',
gdzie:
Δx
Ai'
= l
Ai'
Δx : l
AB
Δy
Ai'
= l
Ai'
Δy : l
AB
Δx
ii'
= d
ii'
Δy : l
AB
Δy
ii'
= d
ii'
Δx : l
AB
Obliczając współrzędne punktu n znajdującego się po lewej
stronie, korzystamy ze wzorów:
X
n
= X
A
+ Δx
An'
+ Δx
nn'
Y
n
= Y
A
+ Δy
An'
– Δy
nn',
gdzie:
Δx
An'
= l
An'
Δx : l
AB
Δy
An'
= l
An'
Δy : l
AB
Δx
nn'
= d
nn'
Δy : l
AB
Δy
nn'
= d
nn'
Δx : l
AB
Kontrola obliczeń:
1) sprawdzenie, czy suma różnic odciętych
Δl jest równa długości pomierzonej l
AB
:
∑Δl = l
AB
2) sprawdzenie, czy suma różnic rzędnych
Δd jest równa 0:
∑Δd = 0
3) obliczenie współrzędnych punku B z
obliczonych współrzędnych punktów na
domiarach prostokątnych:
X
B
= X
i
+ Δx
Bi'
+ Δx
ii'
Y
B
= Y
i
+ Δy
Bi'
– Δy
ii',
gdzie:
Δx
Bi'
= (l
AB
– l
Ai'
)Δx : l
AB
Δy
Bi'
= (l
AB
– l
Ai'
) Δy : l
AB
Δx
ii'
= d
ii'
Δy : l
AB
Δy
ii'
= d
ii'
Δx : l
AB
X
B
= X
n
+ Δx
Bn'
– Δx
nn'
Y
B
= Y
n
+ Δy
Bn'
+ Δy
nn',
gdzie:
Δx
Bn'
= (l
AB
– l
An'
)Δx : l
AB
Δy
Bn'
= (l
AB
– l
An'
) Δy : l
AB
Δx
nn'
= d
nn'
Δy : l
AB
Δy
nn'
= d
nn'
Δx : l
AB
METODA ANALITYCZNA OBLICZENIA POLA
POWIERZCHNI ZE WSPÓŁRZĘDNYCH
WZORAMI GAUSSA
Metoda
analityczna bazuje
na punktach o
znanych
współrzędnych lub
miarach kątowych
i liniowych
pomierzonych
bezpośrednio w
terenie. Do
wyznaczenia pola
powierzchni
wzorami Gaussa
musimy znać
współrzędne
punktów
załamania konturu.
Rozmieszczenie punktów 1-2-3-4-5
załamania konturu w układzie
współrzędnych
Szukane:
P
Dane:
1 (X
1
, Y
1
)
2 (X
2
, Y
2
)
3 (X
3
, Y
3
)
4 (X
4
, Y
4
)
5 (X
5
, Y
5
)
Pole P wieloboku 1-2-3-4-5 obliczmy jednym ze wzorów
Gaussa (drugi wzór stanowi kontrolę):
•
–2P = ∑
1
n
(X
i+1
– X
i-1
) Y
i
2P = ∑
1
n
(Y
i+1
– Y
i-1
) X
i
gdzie:
n – ilość punktów załamania konturu,
i – numer punktu.
Dodatkową kontrolą jest sprawdzenie, czy:
∑
1
n
(X
i+1
– X
i-1
) = 0
∑
1
n
(Y
i+1
– Y
i-1
) = 0
KALKULATOR GEODEZYJNY
Program kalkulator
geodezyjne jest
programem
umożliwiającym
dokonanie
podstawowych
obliczeń
geodezyjnych.
BIBLIOGRAFIA
•
http://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/azymut.htm
•
lhttp://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/dlugosc.html
•
http://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/prosta.html
•
http://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/prosta.html
•
http://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/biegunowa.html
•
http://brasil.cel.agh.edu.pl/~11sjjurek/wckat.html
•