PROJEKTOWANIE 
DYSKRETNYCH UKŁADÓW 
MECHANICZNYCH - SYNTEZA

Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

 stanów rezonansowych maszyn i 

urządzeń

•

 tłumienia

•

 metod wyznaczania charakterystyki 

dynamicznej oraz dalszej 

syntezy

 układów 

dyskretnych

21-12-1

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

 – zadanie poszukiwania parametrów 

oraz struktury układów, spełniających zadane 
własności dynamiczne w postaci widma 
częstości.

21-12-1

3

Stany rezonansowe maszyn i urządzeń

Stany rezonansowe są to częstotliwości w 
których w urządzeniu powstają 
największe drgania. Ze względu na ich 
szkodliwe działanie, pożądany jest taki 
dobór częstotliwości drgań własnych, aby 
były one poza zakresem częstotliwości 
drgań generowanych przez urządzenie 
podczas prawidłowej pracy. Istnieją także 
przypadki, w których stany rezonansowe 
działają pozytywnie.

21-12-1

4

Tłumienie a stany rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań, 
co pozwala maszynie na wyjście ze 
stanu rezonansu. W maszynie 
pojawia się wiele częstotliwości 
drgań własnych.

21-12-1

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu 
mechatronicznego, należy najpierw 
wyznaczyć 

charakterystykę 

dynamiczną

.

21-12-1

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji, 
czyli określić czy dana funkcja 
będzie ruchliwością V(s), czy też 
powolnością U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie 
tłumienia.

3.

Wyznaczyć charakterystykę 
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci 
funkcji wymiernej z dokładnością do 
stałej H.

21-12-1

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy 
charakterystyki zgodnie z 
założeniami. Liczba możliwych 
struktur zależy od częstości 
rezonansowych i nałożonych na 
układ utwierdzeń.

21-12-1

8

Synteza powolności układów 
przytwierdzonych.

21-12-1

9

Przykład rozwiązania zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ 
podane są w postaci ciągu częstości 
rezonansowych i 
antyrezonansowych:

21-12-1

10

























zera

s

rad

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

s

rad

25

,

15

,

0

30

,

20

,

10

4

2

0

5

3

1













1

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja 
charakterystyczna jest powolnością 
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania do 
tłumienia dla dwóch przypadków:

1.

Tłumienie jest proporcjonalne do elementu 
inercyjnego

2.

Tłumienie jest proporcjonalne do elementu 
sprężystego

21-12-1

11

s

1

8

0

 

się

 

przyjmuje

 ,

m

Ns

2

,

h

hm

b

i

i





s

01

0

 

się

 

przyjmuje

 ,

 

s

1

 

2

 ,

m

Ns

2

,

λω

h

c

b

n

n

i

i











2

3

Charakterystyka dynamiczna

1.

Gdy spełnione jest założenie (

11.2

)

21-12-1

12

 















2

4

2

2

2

2

2

5

2

2

3

2

2

1

2

2

2

2

2

2

































hs

s

hs

s

s

hs

s

hs

s

hs

s

H

s

U

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

H

s

U

140625

6800

914

16

36000000

3920000

579600

22912

1529

24

2

3

4

5

2

3

4

5

6























4

4

Charakterystyka dynamiczna

2.

Gdy spełnione jest założenie (

11.3

)

21-12-1

13

 















2

4

4

2

2

2

2

2

2

5

5

2

2

3

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

2

































s

h

s

s

h

s

s

s

h

s

s

h

s

s

h

s

H

s

U

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

H

s

U

140625

14062

6

,

1201

5

,

42

36000000

5400000

760000

53500

2625

70

2

3

4

5

2

3

4

5

6























5

5

Charakterystyka dynamiczna

Przeprowadzając syntezę charakterystyk (

12.4

) 

i (

13.5

), należy podać syntezie powolność, 

opisującą drgania nie tłumione w postaci:

a następnie uwzględnić założenia dotyczące 
tłumienia (

11.2

) i (

11.3

)

21-12-1

14

 















2

4

2

2

2

2

2

5

2

2

3

2

2

1

2























s

s

s

s

s

s

H

s

U

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

H

s

U

140625

14062

6

,

1201

5

,

42

36000000

5400000

760000

53500

2625

70

2

3

4

5

2

3

4

5

6























6

6

Wstęp do właściwej syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania 
w postaci charakterystyk 
dynamicznych (

10.1-14.6

) poddaje 

się syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania 
elementu sprężystego

21-12-1

15

Przystępując do syntezy rozpatrywanych 
funkcji (

12.4

) i (

13.5

) określa się liczbę 

nałożonych  na układ utwierdzeń. Przy 
wyznaczaniu p elementów typu c/s należy 
rozpatrywaną charakterystykę w postaci 
(

14.6

) przy założeniach (

11.2

) i (

11.3

), 

pomnożyć przez, która w przypadku 
powolności (

14.6

) nie powinna przekroczyć 

p=3, ponieważ liczba częstości 
rezonansowych (biegunów) jest równa 3.

21-12-1

16

Synteza powolności z zastosowaniem algorytmu 
wyznaczania elementu sprężystego

1

1





p

p

s

s

Zakłada się, że liczba nałożonych na 
układ utwierdzeń n=2. Zatem funkcja 
charakterystyczna  (.) przyjmuje postać:

Dzieląc współczynnik stojący przy 
najniższej potędze licznika przez 
współczynnik stojący przy najniższej 
potędze mianownika otrzymuje się 
wartość górnej granicy przedziału, z 
której wyznacza się dwójnik typu 
sprężystego, czyli:

21-12-1

17

 

2

4

6

3

5

7

140625

850

36000000

490000

1400

'

s

s

s

s

s

s

s

H

s

U

















s

N

256

,

0

1



c

7

-

W następnym kroku mianownik powolności 
(

17.7

) zapisuje się jako:

Otrzymany w ten sposób wielomian mnoży się 
przez wartość przyjętej sztywności w następujący 
sposób:

Odejmując wielomian (.

9

) od licznika rozważanej 

powolności (

17.7

), otrzymuje się następujące 

wyrażenie:

21-12-1

18





s

s

s

s

140625

850

3

5









s

s

s

140625

850

180

3

5









s

s

s

s

10687500

337000

1220

3

5

7







8

9

1

0

Po wykonaniu powyższych działań powolność 
(

17.7

) można zapisać jako:

gdzie:

Z (.

11

) wynika, że pierwszym wyznaczonym 

elementem jest dwójnik typu sprężystego, czyli:

21-12-1

19

 

 

s

U

s

s

U

1

180

'





 

2

4

6

3

5

7

140625

850

10687500

337000

1220

'

s

s

s

s

s

s

s

s

U













s

s

c

180

1



1

1

1

2

-

Wyznaczoną powolność U1(s) poddaje się 
rozkładowi na ułamek łańcuchowy. Ostatecznie 
otrzymuje się charakterystykę dynamiczną w 
następującej postaci ułamka łańcuchowego:

Uwzględniając założenie (

11.2

), wyznacza się 

wartości dwójników typu tłumiącego:

21-12-1

20

 

s

m

s

c

c

s

s

m

c

s

s

m

s

c

s

U

3

4

3

2

2

1

1

1

1

1

1

1















m

Ns

762

.

1

m

Ns

854

.

1

m

Ns

600

.

1

3

2

1







b

b

b

1

3

1

4

Otrzymany układ dyskretny

21-12-1

21

n=3, p=2

m

1

m

2

m

3

c

1

b

1

c

2

c

3

c

4

b

3

b

2

Wartości otrzymanych dwójników są 
następujące:

Rozpatrując drugie założenie (

11.3

) dotyczące 

tłumienia, warunek proporcjonalności wartości 
tłumienia do wartości dwójników typu 
sprężystego, otrzymuje się:

21-12-1

22

m

Ns

762

.

1

,

m

Ns

854

.

1

,

m

Ns

600

.

1

m

N

017

.

176

,

m

N

471

.

209

,

m

N

000

.

370

,

m

N

000

.

180

kg

101

.

1

,

kg

159

.

1

,

kg

000

.

1

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1





















b

b

b

c

c

c

c

m

m

m

m

Ns

760

.

1

m

Ns

095

.

2

m

Ns

700

.

3

m

Ns

800

.

1

4

3

2

1









b

b

b

b

-

1

5

Otrzymany układ dyskretny

21-12-1

23

n=3, p=2

m

1

m

2

m

3

c

1

b

1

c

2

c

3

c

4

b

3

b

2

b

3

Otrzymane w ten sposób elementy mają 
następujące wyniki:

21-12-1

24

m

Ns

760

.

1

,

m

Ns

095

.

2

,

m

Ns

700

.

3

,

m

Ns

800

.

1

m

N

017

.

176

,

m

N

471

.

209

,

m

N

000

.

370

,

m

N

000

.

180

kg

101

.

1

,

kg

159

.

1

,

kg

000

.

1

4

3

2

1

4

3

2

1

3

2

1























b

b

b

b

c

c

c

c

m

m

m

-

Liczba możliwości

n=3 – liczba częstotliwości rezonansowych

21-12-1

25

3

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i badanie 
wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów mechanicznych 
o żądanym widmie częstotliwości w ujęciu grafów i liczb 
strukturalnych. Monografia, Politechnika Śląska, Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych 
mechanicznych układów drgających w ujęciu grafów i liczb 
strukturalnych. Politechnika Śląska, Gliwice 2001.

21-12-1

26

KONIEC