Teoria arbitrażu cenowego i ocena efektywności portfela

Założenia modelu APT

• Rynek

kapitałowy

jest

doskonały

(doskonała konkurencja, brak kosztów
transakcyjnych itp.) – stąd prawo jednej
ceny i arbitraż

• Inwestorzy mają jednolite oczekiwania
• Liczba aktywów dostępnych na rynku jest

bliska nieskończoności

• Stochastyczny proces generowania stóp

zwrotów z aktywów można opisać liniową
funkcją X czynników ryzyka.

Model wieloczynnikowy

...

a b

= + � + � + + � +

gdzie:
r –stopa zwrotu akcji (portfela akcji)
α – wyraz wolny równania – oczekiwana stopa zwrotu z akcji

gdy wszystkie czynniki ryzyka równe 0

– współczynnik wrażliwości stopy zwrotu akcji względem stopy zwrotu i-tego czynnika

– stopa zwrotu i-go czynnika

ε – składnik losowy

Warunki modelu wieloczynnikowego

[ ]

[ ]
[

]

[

]

i j

i k

k m

E F
E F
E F F

� �=

� �

Interpretacja modelu

wieloczynnikowego

• Stopa zwrotu z akcji (portfela) zależy w liniowy

sposób od stóp zwrotu pewnych czynników

• Model nie określa jakie to są czynniki
• Czynniki powinny mieć wpływ na stopy zwrotu

z akcji

• O sile zależności decyduje decydują wartości

współczynników wrażliwości

• Model wieloczynnikowy można traktować jako

uogólnienie

modelu

jednoczynnikowego

Sharpe’a

Identyfikacja czynników

modelu

• Wpływ czynnika na ceny aktywów powinien się

przejawiać w ich nieoczekiwanych ruchach

• Powinny

reprezentować

efekt

niedywersyfikowalny

(głównie

czynniki

makroekonomiczne)

• Dostępne regularne i dokładne odczyty wartości

czynników

• Zależność powinna być uzasadniona na gruncie

teorii ekonomii

Propozycje czynników – Chen, Roll,

Ross (1986)

• Nieoczekiwane zmiany inflacji,
• Nieoczekiwane zmiany poziomu GNP mierzone

poziomem indeksu produkcji przemysłowej,

• Nieoczekiwane

zmiany

poziomu

zaufania

inwestorów wywoływane zmiany poziomu premii
za ryzyko kredytowe na

rynku obligacji

korporacyjnych,

• Nieoczekiwane

przesunięcia

krzywej

dochodowości.

Cechy portfela

arbitrażowego

1,...,

� =

� �

�

Warunek 1 oznacza zerowy nakład netto na budowę portfela, warunek
2 niewrażliwość portfela na działanie wszystkich czynników ryzyka,
warunek 3 (przybliżony)niewrażliwość na ryzyko specyficzne.

Portfel arbitrażowy cd.

Portfel arbitrażowy musi oferować zerową stopę zwrotu, czyli:

Jeśli równanie powyższe dla jakiegoś portfela możliwego do utworzenia

na rynku nie jest spełnione istnieje możliwość dokonywania arbitrażu.

Analogiczne transakcje arbitrażowe będą wykonywane przez

wszystkich inwestorów. W ich efekcie ceny akcji podlegających
sprzedaży będą spadać, a więc ich oczekiwane stopy zwrotu będą
rosnąć. I odwrotnie ceny akcji nabywanych w ramach arbitrażu będą
rosnąć, w wyniku czego ich oczekiwane stopy zwrotu będą spadać.

Aktywność arbitrażowa będzie trwać dopóki wszystkie możliwości

arbitrażu nie zostaną wyeliminowane.

x r

� =

�

Ogólna postać modelu APT

W wyniku arbitrażu ustali się liniowa zależność

pomiędzy oczekiwanymi stopami zwrotu a
wrażliwościami, którą można opisać wzorem:

gdzie:
λ

– stopa wolna od ryzyka

– premia za ryzyko z tytułu działania i-go czynnika

...

r l

= + � + + �

Wyznaczanie parametrów

modelu

Do wyznaczenia parametrów modelu

można wykorzystać ogólną postać
równania modelu odniesioną do
konkretnych portfeli akcji:

...

r l

= + � + + �

Budowa k+1 portfeli akcji

Każdy z pierwszych k portfeli to portfel o

jednostkowej  wrażliwości  na  jeden  czynnik  ryzyka  i
zerowej  wrażliwości  na  wszystkie  pozostałe
czynniki.  Ostatni  portfel  jest  niewrażliwy  na
wszystkie czynniki ryzyka (portfel wolny od ryzyka).

1,1

1,2

0,.....,

1,.....,

...................................................

0,.....,

Wyznaczanie parametrów

modelu

Możemy zbudować następujący układ

równań, którego rozwiązaniem są
wartości parametrów modelu:

..................

r
r

= +

Zadanie 1

Załóż, że portfele A i B są dobrze zdywersyfikowane, zaś stopa zwrotu z

aktywów wolnych od ryzyka wynosi 4%. Posiadasz następujące dane
o obydwu portfelach:

Portfel Oczekiwana stopa zwrotu Beta
A 8% 1,00
B 6% 0,25

Co na podstawie powyższych informacji, zakładając, że do analizy

można ożyć jednoczynnikowy model arbitrażu cenowego, powiesz o
cenach portfeli A i B

A. Obydwa portfele są właściwie wycenione,
B. Obydwa portfele są zbyt tanie,
C. Obydwa portfele są zbyt drogie,
D. Układ cen pomiędzy portfelami A i B stwarza możliwości arbitrażu.

Zadanie 2

Rynek znajduje się w stanie równowagi opisanym przez

dwuczynnikowy model arbitrażu cenowego. Znane są następujące
informacje o trzech dobrze zdywersyfikowanych portfelach akcji:

Portfel Beta czynnika 1

Beta czynnika 2

Oczekiwana stopa

zwrotu

1,0

2,0

18%

0,0

1,0

0,0

12%

Na podstawie powyższych danych określ ile wynosi stopa zwrotu z

aktywów wolnych od ryzyka.

Zadanie 3

Na podstawie modelu APT proszę przy pomocy akcji OMV, LOTOS i PKN Orlen

stworzyć syntetyczną pozycję w akcji MOL. Zakładamy, że na cenę spółek
sektora paliwowego wpływ mają tylko dwa czynniki: cena ropy naftowej i
marża rafineryjna zaś inwestorzy mogą bez ograniczeń stosować krótką
sprzedaż i nabywać akcje na kredyt.

Wrażliwość spółek na oba czynniki ryzyka przedstawia się następująco:

OMV

LOTOS PKN Orlen

MOL

Cena ropy

1,5 0,5 0,1 0,6

Marża rafineryjna

0,4 0,9 0,6 0,4

A. Udział OMV (- 46%), udział LOTOS (+ 36%), udział PKN Orlen (+ 110%)
B. Udział OMV (+ 25%), udział LOTOS (+ 36%), udział PKN Orlen (+ 39%)
C. Udział OMV (+ 46%), udział LOTOS (- 36%), udział PKN Orlen (+ 90%)
D. Udział OMV (+ 20%), udział LOTOS (+ 50%), udział PKN Orlen (+ 30%)

Wskaźnik Sharpe’a

• Zwany też wynagrodzenie za zmienność. Wg

Sharpe’a  inwestor  jest  gotów  ponosić  większe
ryzyko,  pod  warunkiem  że  otrzymuje  w  zamian
relatywnie  wyższe  zyski.  Miara  efektywności
wywodzi się więc z równania linii CML:

R R

Interpretacja wskaźnika

Sharpe’a

Jest to iloraz nadwyżkowej stopy zwrotu oraz

całkowitego ryzyka portfela. Wskaźnik
Sharpe’a udziela trzech zasadniczych
informacji:

- określa nadwyżkowy zwrot na jednostkę

ryzyka,

- im wyższa wartość indeksu Sh tym lepiej

oceniany portfel,

- może służyć do tworzenia rankingów

portfeli.

Przykład

Dane są informacje na temat czterech portfeli inwestycyjnych

stopa zwrotu

odchylenie standardowe

0,09

0,16

0,10

0,18

0,14

0,24

0,20

0,30

Wyznacz wskaźniki Sharpe’a i zbuduj ranking portfeli jeśli wiadomo,

że stopa wolna od ryzyka wynosi 8%, stopa zwrotu z portfela
rynkowego 12%, a odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela
rynkowego 20%

0,12 0,08

0, 200

0, 20

0,09 0,08

0,063

0,16

0,10 0,08

0,110

0,18

0,14 0,08

0, 250

0, 24

0, 20 0,08

0, 400

0,30

Wskaźnik Sharpe’a – rewizja

1994

Rewizja wskaźnika dokonana w 1994

roku

przez

samego

autora

uwzględnia fakt, że stopa wolna od
ryzyka może ulegać zmianie w
okresie inwestycji.

(

)

(

)

E R R

Var R R

�

Semiodchylenie

standardowe

Semiodchylenie standardowe interpretowane jest

podobnie  jak  odchylenie  standardowe.  Jest  to
średnie  ważone  odchylenie  od  oczekiwanej  stopy
zwrotu,  ale  w  tym  przypadku  tylko  stóp  zwrotu
mniejszych  od  średniej.  Inaczej  pierwiastek
kwadratowy z semiwariancji















gdy

Wskaźnik Treynora

Miernik zaprezentowany w 1965 roku

przez Jacka Treynora. Wynagrodzenie
za wrażliwość. Wywodzi się z modelu
CAPM. Bazą jest linia SML:







Interpretacja wskaźnika

Treynora

Miara Treynora jest ilorazem dodatkowej stopy

zwrotu ponad stopę wolną od ryzyka i ryzyka
portfela mierzonego betą.

Wyższe wartości wskaźnika oznaczają lepsze

wyniki

zarządzania

portfelem.

Dodatnie

wartości wskaźnika wskazują portfele o stopie
zwrotu wyższej od stopy wolnej od ryzyka.

Treynor uwzględnia więc w odróżnieniu od

Sharpe’a tylko ryzyko systematyczne, co
wynika z przyjęcia założenia o doskonałej
dywersyfikacji portfela.

0,12 0,08

0,040

0,09 0,08

0,013

0,80

0,10 0,08

0,021

0,95

0,14 0,08

0,050

1,20

0,20 0,08

0,080

1,5

Interpretacja ujemnych wartości

wskaźnika Treynora

Ujemne wartości wskaźnika Treynora

mogą świadczyć o bardzo złych
wynikach

zarządzania,

albo…..o

bardzo

dobrych

wynikach

osiągniętych w trudnych warunkach
rynkowych.

Przykład

stopa zwrotu

Beta

0,06

0,60

0,06 0,08

( 0,033)

0,60

= -

Zarządzający osiągnął wynik gorszy niż stopa zwrotu wolna od
ryzyka więc wskaźnik Treynora przyjmuje wartość ujemną.

Przykład

Zarządzający zainwestował znaczną część kapitału w metale szlachetne,

których ceny charakteryzują się ujemną korelacją z cenami akcji.

stopa zwrotu

Beta

F 0,10

-0,40

0,10 0,08

( 0,05)

0,40

= -

Mimo, iż wskaźnik Treynora jest ujemny to osiągnięty wynik jest zupełnie dobry,
a portfel jest szczególnie atrakcyjny w warunkach recesji na rynku akcji.

Porównanie wskaźników

• Współczynnik Treynora wyznacza się w oparciu o

współczynnik beta, co oznacza, że uwzględnia się

ryzyko systematyczne

• Współczynnik Sharpe’a ocenia rentowność na

podstawie stopy zwrotu oraz dywersyfikacji

• Dla idealnie zdywersyfikowanego (pozbawionego

ryzyka niesystematycznego) portfela obydwa te

wskaźniki powinny dawać takie same rankingi

portfeli

• Słabo zdywersyfikowany portfel mógłby mieć

wysoki ranking według wskaźnika Treynora, a

niski według wskaźnika Sharpe’a

Alfa Jensena

Alfa Jensena opracowana w roku 1968,

również na bazie modelu CAPM.
Miernik dany jest następującym
wzorem:

(

)

�

= -

+ �

�

Interpretacja alfy Jensena

• Miara Jensena jest różnicą pomiędzy stopą zwrotu

osiągniętą  przez  zarządzającego  portfelem  a  stopą
zwrotu  z  portfela  (na  linii  SML)  o  takim  samym  ryzyku
systematycznym,  utworzonego  z  portfela  rynkowego  z
instrumentem wolnym od ryzyka.

• Dla inwestora najlepszy jest portfel o najwyższej alfie

Jensena.

• Miara Jensena nie jest odpowiednia do porównywania

różnych portfeli. Największą wartość poznawczą ma ten
miernik dla porównania dwóch inwestycji o takich
samych lub zbliżonych wartościach bety.

• Dla celów porównawczych można stosować miernik

zmodyfikowany – iloraz alfy Jensena i Bety.

Document Outline