Statystyka

Ćwiczenia 4

(Nie)zależność 

zmiennych, Własności 

wariancji i Wartości 

oczekiwanej

Rachunek prawdopodobieństwa- 

podstawowe pojęcia

• Zdarzenie – obserwowalny wynik
• Doświadczenie losowe- powtarzalny 

proces, który daje tylko jeden wynik

• Prawdopodobieństwo zdarzenia – 

względna częstość, z jaką zdarzenie A pojawi 
się 

w nieskończonej 

liczbie takich samych 

doświadczeń losowych 

• Model prawdopodobieństwa dla zdarzeń 

możliwych w takim samym stopniu:

� ( �)=

𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏�𝑤𝑦𝑛𝑖� ó 𝑤 𝑠𝑝𝑟𝑧𝑦𝑗�𝑗 ą𝑐𝑦𝑐h

𝑙𝑖𝑐𝑧𝑏�𝑤𝑠𝑧𝑦𝑠𝑡�𝑖𝑐h 𝑚� ż 𝑙𝑖𝑤𝑦𝑐h𝑤𝑦𝑛𝑖� ó𝑤

 

Prawa w probabilistyce

• Prawo dodawania prawdopodobieństw
•  prawdopodobieństwo wylosowania asa 

kier wynosi 1/52. Taka sama jest szansa 
wyciągnięcia asów pozostałych kolorów.

• Prawdopodobieństwo wylosowania 

któregokolwiek z nich (ALBO, ALBO) to:

1/52 + 1/52 +1/52 +1/52 = 4/52

(Zdarzenia te wzajemnie się wykluczają!)

P(A  B) = P(A) + P (B)

 

Prawa w probabilistyce

• Prawo mnożenia prawdopodobieństw
•  Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła 

wynosi ½. 

• Jeśli 2 razy rzucimy monetą lub kiedy 

rzucamy 2 monetami na raz…

• Prawdopodobieństwo tego że za 

pierwszym I za drugim razem wypadnie 
orzeł (lub na pierwszej I na drugiej 
monecie) wynosi :

   1/2*1/2 = 1/4

P(A  B) = P(A) * P (B)

 

(zdarzenia te muszą być niezależne)

Niezależność pomiaru – 

niezależność zmiennych 

Zdarzenia niezależne – na wynik jednego z 
doświadczeń losowych nie może mieć wpływu 
wynik żadnego z pozostałych i te doświadczenia 
nie mogą być ze sobą w żaden sposób 
powiązane

Własności  wariancji i wartości 

oczekiwanej

Wartość oczekiwana 

Wartość oczekiwana (przeciętna) – jest to 
wartość, wokół której skupiają się realizacje 
zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku 
wielokrotnego powtarzania eksperymentu.

Można o niej myśleć także:
 - typowa wartość dla jakiegoś rozkładu 
zmiennej losowej 
 - średnia z możliwych do uzyskania wartości 
tej zmiennej
Np. dla rzutu kostką: (1+2+3+4+5+6)/6 = 
3,5

Ćwiczenie 1

•

Rozpatrujemy doświadczenie rzutu kostką (K) 
i monetą (M) Oblicz wartość oczekiwaną (µ) i 
wariancję (σ

2

) zmiennych:

a)

K+M

b)

K-M

c)

M

1

+M

2

+M

3

+M

4

d)

2M

e)

K+2

Ćwiczenie 1 (2)

k

i

1

2

3

4

5

6

p

i

Rozkład rzutu kostką

Wszystkie możliwe 

wartości w zbiorze 

wyników rzutu 

kostką

Ćwiczenie 1 (2)

k

i

1

2

3

4

5

6

p

i

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

k

i

2

1

4

9

16

25

36

µ

σ

2 

 = (∑ x

i

2 

* pi) - µ

2

  

i=1

n

1. Wartość oczekiwana 

2. Wariancja

Ćwiczenie 1 (3)

m

j

0

1

p

j

Rozkład rzutu monetą

Ćwiczenie 1 (3)

µ

σ

2 

 = (∑ x

i

2 

* pi) - µ

2

  

i=1

n

1. Wartość oczekiwana 

2. Wariancja

m

j

0

1

p

j

1/2

½

m

j

2

0

1

Ćwiczenie 1 (4)

(k+m)

j

1

2

3

4

5

6

7

p

j

1/12 1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

(k+m)

j

2

1

4

9

16

25

36

49

Własności wariancji i wartości 

oczekiwanej I

• wartość oczekiwana sumy 

dwóch zmiennych losowych X 
i Y równa się sumie wartości 
oczekiwanych tych 
zmiennych: 

• μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y)

•  jeżeli dwie zmienne X i Y są 

niezależne, to wariancja sumy 
tych zmiennych jest równa:

• σ

2

(X + Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

Ćwiczenie 1 (4)

(k-m)

j

0

1

2

3

4

5

6

p

j

1/1

2

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/12

(k-m)

j

2

0

1

4

9

16

25

36

Własności wariancji i wartości 

oczekiwanej II

• wartość oczekiwana różnicy dwóch 

zmiennych losowych X i Y równa się 
różnicy wartości oczekiwanych tych 
zmiennych: 

• μ(X-Y) = μ(X) - μ(Y)

• jeżeli dwie zmienne X i Y są 

niezależne, to wariancja różnicy 
tych zmiennych jest równa:

• σ

2

(X - Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y)

Ćwiczenie 1 (5)

m

1

+m

2

+m

3

+m

4

0

1

2

3

4

p

j

(m

1

+m

2

+m

3

+m

4

)

2

Ile jest możliwych wyników?

2

n

 = 16

A może drzewko?

Ćwiczenie 1 (5)

m

1

+m

2

+m

3

+m

4

0

1

2

3

4

p

j

1/16  1/4

3/8

1/4

1/16

(m

1

+m

2

+m

3

+m

4

)

2

0

1

4

9

16

Ćwiczenie 1 (5)

2m

0

2

p

j

Rzucamy monetą i 
wynik mnożymy razy 2

Ćwiczenie 1 (5)

2m

0

2

p

j

½ 

½ 

(2m)

2

0

4

Własności wariancji i wartości 

oczekiwanej III

• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, 

to wartość oczekiwana iloczynu 
zmiennych jest równa iloczynowi wartości 
oczekiwanych tych zmiennych: 

• μ(XY) = μ(X)*μ(Y)

• wynika stąd również zależność: 

• μ(CX) = μ(C)*μ(X) = Cμ(X)

• wariancja iloczynu stałej i zmiennej 

losowej: 

• σ

2

(CX) = C

2

σ

2

(X);

Ćwiczenie 1 (6)

k

i 

+2

3

4

5

6

7

8

p

i

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

(k

i 

+ 2)

2

9

16

25

36

49

64

Własności wariancji i wartości 

oczekiwanej III

 

• wartość oczekiwana stałej równa się tej 

stałej:

• μ(C) = C;

• wariancja stałej równa się zeru: 

• σ

2

(C) = 0;

σ

2

(X  Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y);

Własności wariancji

•

wariancja stałej równa się zeru: 

•

σ

2

(C) = 0;

•

wariancja iloczynu stałej i zmiennej 
losowej: 

•

σ

2

(CX) = C

2

σ

2

(X);

•

jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, 
to wariancja sumy (różnicy) tych 
zmiennych jest równa:

•

σ

2

(X  Y) = σ

2

(X) + σ

2

(Y).

Wartość oczekiwana  - 

własności

wartość oczekiwana stałej równa się tej stałej: 

• μ(C) = C;
• wartość oczekiwana dwóch zmiennych losowych 

X i Y równa się sumie wartości oczekiwanych tych 
zmiennych: 

• μ(X+Y) = μ(X) + μ(Y);
• jeżeli dwie zmienne X i Y są niezależne, to 

wartość oczekiwana iloczynu zmiennych jest 
równa iloczynowi wartości oczekiwanych tych 
zmiennych: 

• μ(XY) = μ(X)*μ(Y)
• wynika stąd również zależność: 
• μ(CX) = μ(C)*μ(X) = Cμ(X)

Praca domowa

• Rozpatrujemy doświadczenie rzutu 

kostką (K) i monetą (M) Oblicz 
wartość oczekiwaną (µ) i wariancję 
(σ

2

) zmiennych:

a) 3K
b)4M
c) K+2
d)M+4