PROBLEM NIEPEWNOŚCI W
DZIAŁALNOŚCI
INŻYNIERSKIEJ I JEJ MODELOWANIE
Niedoskonałość
człowieka
Ograniczona wiedza
Niepewność wyników rozumowania,
obliczeń inżynierskich, trafności decyzji
Np. naprężeń σ i naprężeń
krytycznych σ
kr
PROBLEM NIEPEWNOŚCI W
DZIAŁALNOŚCI
INŻYNIERSKIEJ I JEJ MODELOWANIE
Niedoskonałość
człowieka
Ograniczona wiedza
Niepewność wyników rozumowania,
obliczeń inżynierskich, trafności decyzji
Np. naprężeń σ i naprężeń
krytycznych σ
kr
2
Zmniejszanie niepewności
w procesie projektowania
• stosowanie w obliczeniach współczynników
bezpieczeństwa
• wykorzystywanie do obliczeń modeli
probabilistycznych
naprężeń i naprężeń krytycznych
• przeprowadzanie badań prototypu i serii
informacyjnej
3
Obliczenia probabilistyczne
Probabilistyczna forma warunków
ograniczających
σ
sup
≤ R
e
σ
max
≤ Z
X(t) ≤ X
kr
y ≤ y
kr
. .
.
P{ …} ≡ R(t) - funkcja
niezawodności
Np. R = P{σ
sup
≤ R
e
}
σ
sup
, σ
max
, R
e
,
Z, …
zmienne
losowe
4
Probabilistyczny opis naprężeń
σ
sup
σ
max,i
σ
m,i
σ
min,
i
t
σ
Do probabilistycznych obliczeń na
wytrzymałość doraźną
rozkład prawdopodobieństwa σ
sup
w
postaci gęstości
prawdopodobieństwa f(σ
sup
)
5
Przykłady typowych rozkładów
w
i
x
f
x
x
1
x
2
Ex
P{x
1
x x
2
}
N
n
w
i
i
w – częstość; f – gęstość
prawdopodobieństwa
x → σ
sup
, σ
max
, R
e
,
Z ,…
6
f
x
x
0
F(x
0
)
F(x
0
)
f
x
x
0
Gęstość rozkładu normalnego
Gęstość rozkładu
Weibulla
F(x
0
) = P{x ≥ x
0
}
xo
o
x
x
f
d
)
(
Duże rozrzuty cech, właściwości także
właściwości
obiektów technicznych
mechanicznych
R
e
, R
m
, Z , H , h , t
rw
,
…,wymiary
f
R
e
ER
e
R
e
P{R
e
≤ R
emin
}
R
emin
Probabilistyczny opis właściwości
mechanicznych
<
P{R
e
≥ R
emin
} ≈
0,98- 0,99
7
8
Uwzględnianie losowości w obliczeniach
inżynierskich
•
operowanie opisami probabilistycznymi naprężeń
(lub obciążeń)
oraz cech i właściwości (np.mechanicznych)
• stosowanie w obliczeniach deterministycznych
współczynników
uwzględniających wymagany poziom niezawodności,
np.
- a
Rwym
w obliczeniach łożysk tocznych
- c
r
w obliczeniach zmęczeniowych
P{war. ograniczający} ≡ R(t)
Trwałość łożyska
tocznego
R(L)
1,0
0
0,9
0
0,3
2
R(L) = P{ L ≥
L}
- rozkład Weibulla
zm. L
a = 10/9 dla łoż. kulk.; a = 9/8 dla łoż.
wałeczkowych
10
Trwałość umowna ( katalogowa)
α = 3 dla łoż. kulk.; α = 10/3 dla łoż.
wałeczkowych
L
10
R(L)
0,90
L
1,00
0,60
L
wym
R(L
wym
)
Np.
L
wym
= 10 mln
obr.
11
L
10
L
10
R(L)
0,90
L
1,00
0,60
L
wym
12
C/P
z
L
10
L
10
R(L)
0,90
L
1,00
0,60
L
wym
13
C/P
z
L
10
L
10
R(L)
0,90
L
1,00
0,60
L
wym
R(L
wym
)
R(L
wym
) ≥ R
wym
,
gdzie R
wym
= …. (np. R
wym
=
0,93 )
14
Dobór łożyska
Warunki ograniczające, gdy R
wym
≤
0,90
• warunki geometryczne d ≥
d
o
, …
• warunek trwałości
L
10
≥
L
wym
Gdy L
10
≈ L
wym
R(L
wym
) ≈ 0,90 b.
mało , gdyż
R(L) ≈ ∏ R
i
(L) , gdzie i = 1,2,…,n
Np. dla n =4 i R
i
(L) = 0,90 R(L)
≈ 0,64 !!
1
15
2
Warunki ograniczające, gdy R
wym
> 0,90
•
warunki geometryczne
d ≥ d
o
,…
• warunek niezawodności
R(L
wym
) ≥
R
wym
Np. R
wym
=
0,99
L
10
R(L)
0,90
L
1,00
0,60
L
wym
R
wym
R(L
wym
)
16
Inna postać metody (wg FAG,
SKF )
R(L)
L
R
wym
L(R
wym
)
Jeśli R(L),to L(R)
Warunek trwałości (+ niezawodności)
L(R
wym
) ≥ L
wym
L
10
≥
L
wym
gdzie L(R
wym
) =
a
Rwym
∙
a
23
∙ L
10
17
R(L)
L
R
wym
L(R
wym
)
0,90
L
10
1,00
a
Rwym
= L(R
wym
) ∕ L
10
Np. dla R
wym
= 0,99
a
Rwym
=
0,21
a
23
- wsp. materiałowy stali i oleju oraz war.
eksploat.
(w tym rodzaj i lepkość oleju)
wykresy w katalogu
18
Dobór
łożyska, gdy obciążenie
niestałe
w czasie funkcjonowania
urządzenia
P
z
≠
const
obciążenie
zastępcze
równoważne P
r
●
●
●
19
Zadanie
Do podparcia wałka przekładni zębatej (p. rysunek) użyto dwóch
jednakowych łożysk poprzecznych kulkowych o nośnościach ruchowych
każdego z nich C = 5,85 kN. W strefie zazębienia występuje obciążenie
poprzeczne o dwóch składowych, związanych relacją F
r
= 0,364 F
w
. Przez
90% czasu funkcjonowania przekładni (liczonego w mln obrotów wałka)
siła obwodowa F
w
= 2 kN, a w pozostałym czasie F
w
= 4 kN.
Przewidywana trwałość pojedynczego łożyska L
wym
= 10 mln obr., a
wymagana wartość funkcji jego niezawodności w tym okresie powinna być
nie mniejsza niż R
wym
= 0,95. Sprawdzić prawidłowość doboru łożysk do
tych warunków.
Pozostałe dane: d
1
= 48 mm, l = 16 mm, L = 30 mm.
20
Zadanie
Narysować wykres funkcji niezawodności łożyska bardziej
obciążonego z dwóch łożysk, o których mowa w poprzednim
zadaniu i funkcjonujących w opisanych warunkach. Jakie są
dwa dominujące zjawiska fizyczne prowadzące do
uszkodzeń łożysk tocznych?
21
Zadanie
Łożysko poprzeczne kulkowe o nośności ruchowej
C = 3 kN jest obciążone siłą zastępczą P
z
= 1 kN.
Wymagana trwałość tego łożyska wynosi L
wym
= 27
mln obr. Przedstaw na wykresie funkcji
niezawodności tego łożyska, co stałoby się z jej
wartością, gdyby obciążenie zastępcze zmniejszyło
się do wartości P
z
´ = 0,5 kN.
Zadanie
Znana jest wartość trwałości umownej określonego
łożyska, wynikająca z jego obciążenia. Wynosi ona
5 mln obr. Z jakiego warunku można wyznaczyć
trwałość łożyska, oznaczoną symbolem L
5
?
Zaznacz ją na wykresie funkcji niezawodności
łożyska.
22
Zadanie
Łożysko wałeczkowe walcowe, podpierające czop
końcowy wałka ma nośność ruchową równą C. Siła
zastępcza P, obciążająca to łożysko, jest równa jego
nośności ruchowej. Należy wyznaczyć
prawdopodobieństwo nieuszkodzenia tego łożyska
w okresie L
wym
= 10
6
obrotów dla dwóch
następujących przypadków:
• przedstawionego powyżej,
• gdy siła zastępcza jest równa 80% nośności
ruchowej.
Wyniki zilustrować na wykresach funkcji
niezawodności łożyska.
23