Model hydrauliczny
Sieci wodociągowej
Model hydrauliczny
Sieci wodociągowej
Stan hydrauliczny sieci
Parametrami określającymi stan
hydrauliczny sieci wodociągowej są :
natężenia przepływów wody przez
elementy (odcinki) sieci
wodociągowej,
spadki linii ciśnień na tych
elementach,
oraz wynikające z nich rzędne linii
ciśnień
w węzłach sieci.
I-sze prawo Kirschhoffa
Dla każdego punktu sieci suma natężeń
przepływu jest równa 0.
Równania wynikające z 1 prawa opisują stan
hydrauliczny sieci o strukturze rozgałęźnej (bez
obwodów).
Liczba równań = w-1 ,
gdzie :
w - liczba węzłów,
a
w-1 - liczba
odcinków=
liczbie
zmiennych.
Model hydrauliczny sieci
rozgałęźnej
Dla węzła 2
q
12
- R2 = 0
Dla węzła 3
q
13
- R3 = 0
Postać algebraiczna równań
wynikających z I-szego prawa
Kirchhoffa
a
r
[w-1,l]
* q
[l,1]
= R ,
gdzie : a
r
- macierz incydencji
węzłów i odcinków
sieci.
a
wl
= 1 gdy, odcinek skierowany do
węzła
a
wl
= 0 brak incydencji odcinka i
węzła
a
wl
= -1
gdy, odcinek skierowany od
węzła
Sieć obwodowa
Zamknięcie nawet
jednego obwodu w
sieci rozgałęźnej
powoduje, że :
- liczba zmiennych q
ij
równa ilości
odcinków
jest większa niż
liczba równań
wynikających z 1-
szego prawa
Kirchhoffa
II-gie prawo Kirschhoffa
Dla każdego obwodu sieci suma spadków ciśnień
na odcinkach stanowiących obwód jest równa 0.
Równania wynikające z drugiego prawa
Kirschhoffa dopełniają układ równań opisujący
stan hydrauliczny sieci obwodowej.
Liczba równań = l-w+1,
gdzie:
l – liczba odcinków,
w – liczba węzłów,
l-w+1 – liczba obwodów.
Postać algebraiczna równań
wynikających z II-giego prawa
Kirchhoffa
B
[l-w+1,l]
* dh
[l,1]
= 0 ,
gdzie : b
- macierz incydencji
obwodów i odcinków
sieci.
b
ol
= 1 gdy, odcinek skierowany w
prawo
b
ol
= 0 brak incydencji odcinka i
obwodu
b
ol
= -1
gdy, odcinek skierowany w
lewo
Model hydrauliczny sieci
obwodowej
Dla węzła 2
q
12
- q
23
- R2 = 0
Dla węzła 3
q
13
+ q
23
- R3 = 0
Dla obwodu 1
dh
12
+ dh
23
-
dh
13
=
0
Metoda aproksymacji Newtona
obliczania stanu
hydraulicznego sieci.
1. q
12
- q
23
- R2 = 0
2.
q
13
+ q
23
- R3 = 0
3.
K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
= 0
Rozwinięcie w szereg
Taylora
Każdą ciągłą i różniczkowalną funkcję
n-tego stopnia możemy rozwinąć w
szereg Taylora w epsilonowm
otoczeniu punktu:
f(q
1
,q
2
,…,q
l
)=f(q
1
,q
2
,
…,q
l
)
o
+Sdf/dq
i
*dq
i
+
Sd
2
f/dq
i
2
*(dq
i
2
/2!)+….+ Sd
n
f/dq
i
n
*(dq
i
n
/n!),
gdzie q
i
= q
i o
+ dq
i
Iteracyjny model liniowy stanu
hydraulicznego sieci po
transformacji
1. q
12
o
- q
23
o
- R2 + dq
12
- dq
23
= 0
2. q
13
o
+ q
23
o
- R3 + dq
13
+ dq
23
= 0
3. (K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
+
2*(K
12
*q
12
o
*dq
12
+ K
23
*q
23
o
*dq
23
-
K
13
*q
13
o
*dq
13
)
= 0
gdzie q
ij
= q
ij o
+ dq
ij
Standardowa postać modelu
liniowego stanu hydraulicznego
sieci
1. dq
12
- dq
23
= R2 - q
12
o +
q
23
o
2. dq
13
+ dq
23
= R3 - q
13
o
- q
23
o
3. K
12
*q
12
o
*dq
12
+ K
23
*q
23
o
*dq
23
-
K
13
*q
13
o
*dq
13
=
-(K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
/2
Iteracyjny proces wyznaczania
stanu hydraulicznego sieci
(1/2).
1. Założyć początkowe wartości
natężeń
przepływu w odcinkach sieci.
2. Obliczyć parametry modelu, czyli :
K
ij
*q
ij
o
oraz K
ij
*q
ij
o
*q
ij
o
dla każdego odcinka sieci, oraz
(S K
ij
*q
ij
o
*q
ij
o
) dla każdego obwodu
3. Sprawdzić, czy
(S K
ij
*q
ij
o
*q
ij
o
) dla każdego obwodu <
założonej dokładności wyrównywania
ciśnień.
Iteracyjny proces wyznaczania
stanu hydraulicznego sieci
(2/2).
4. Jeżeli warunek z p.3 jest spełniony dla
każdego obwodu to wyznaczone
natężenia
przepływu określają stan hydrauliczny
sieci.
„STOP”
5. Jeżeli nie, należy przejść do p.6.
6. Rozwiązać układ równań liniowych
wyznaczając poprawki natężeń przepływu.
7. Obliczyć skorygowane natężenia
przepływu i
przejść do p.2.
Redukcja wymiarowości
modelu hydraulicznego sieci
Możliwe jest zredukowanie zadania
wyznaczania stanu hydraulicznego
sieci z „l” wymiarowego do „l-w+1”
wymiarowego.
W iteracyjnym procesie
obliczeniowym należy założyć takie
początkowe wartości natężeń
przepływu w odcinkach sieci, aby
spełnione było I-sze prawo
Kirschhoffa.
Wyznaczenie natężeń
przepływów spełniających I-sze
prawo Kirschoffa
1. dq
12
- dq
23
= R2 - q
12
o +
q
23
o
=0
2. dq
13
+ dq
23
= R3 - q
13
o
- q
23
o
=0
Stąd :
dq
12
= dq
23
oraz
dq
23
= -dq
13
czyli
dq
12
= dq
23
= -dq
13
= dQ
I
Zredukowany model
hydrauliczny sieci
Po wprowadzeniu poprawek
korygujących przepływy w
obwodach, równanie :
3. K
12
*q
12
o
*dq
12
+ K
23
*q
23
o
*dq
23
-
K
13
*q
13
o
*dq
13
=
-(K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
/2
przyjmuje postać :
(K
12
*q
12
o
+ K
23
*q
23
o
+
K
13
*q
13
o
)*dQ
I
=
-(K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
/2
Równanie Crossa wyznaczania
poprawek natężenia przepływu
Rozwiązując równanie :
(K
12
*q
12
o
+ K
23
*q
23
o
+ K
13
*q
13
o
)*dQ
I
=
-(K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
/2
Otrzymujemy
dQ
I
= -(K
12
*q
12
2
+ K
23
*q
23
2
-
K
13
*q
13
2
)
o
/
2(K
12
*q
12
o
+ K
23
*q
23
o
+ K
13
*q
13
o
),
Co możemy zapisać jako :
dQ
I
= - (S dh)/(S|dh
’
|)
