Związki fizyczne

 (równania konstytutywne)

Teoria Sprężystości i Plastyczności

Damian Kaproń
Karol Jarosiński

     gr. P

Równania równowagi

Trzy równania różniczkowe równowagi (związki 

między naprężeniami)

2

Równania geometryczne

Sześć równań geometrycznych Cauchy'ego (związki 

między odkształceniem a przemieszczeniem)

3

Związki fizyczne

Dla pojedynczego kryształu, w którym mamy do 

czynienia z anizotropią własności sprężystych, 

związki fizyczne przyjmują postać:

�

𝑚�

=�

𝑝𝑞𝑚�

∙ �

𝑝𝑞

 

�

𝑝𝑞

=�

𝑝𝑞𝑘�

∙ �

𝑘�

 

4

Związki fizyczne

Symetria własności ciała zmniejsza liczbę 

niezależnych stałych lub współczynników 

sprężystości w następujący sposób:

1. Jeżeli w punkcie ciała istnieje płaszczyzna 

symetrii X1, X2 to pozostaje tylko 13 

niezależnych stałych sprężystości

2. Jeżeli ciało posiada w każdym punkcie trzy 

wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii 

własności sprężystych to nazywa się je 

ortotropowym a występuje w nim 9 niezależnych 

stałych sprężystości

5

Ciało liniowo sprężyste

Dla ciała izotropowego tensor stałych sprężystości 

„c” lub współczynnik sprężystości „a” jest tensorem 

izotropowym, to znaczy składowe tego tensora nie 

powinny ulegać zmianom podczas transformacji 

obrotowej układu współrzędnych.

6

Prawo Hooke’a

Stałe sprężystości Lamego:

7

Zadanie 1

Dane jest pole przemieszczeń punktów bryły;

Znaleźć w punkcie A o współrzędnych x=0,1; 

y=0,3; z=0 wartość składowych tensora stanu 

naprężenia.

8

Zadanie 2

W ustalonym punkcie bryły dany jest tensor 

naprężenia ( w układzie x

i

)

Znaleźć w tym punkcie wartości tensora 

odkształcenia ( w układzie x

i

)

9

Zadanie 3

Dla tarczy znajdującej się w płaskim stanie 

odkształcenia dane są następujące 

składowe tensora odkształcenia :

Gdzie A, B, C, D, są znanymi stałymi. 

Wyznaczyć siły objętościowe X, Y.

10

Dziękujemy za uwagę

11