ŻEGLUGA
LOKSODROMICZNA
ZLICZENIE ANALITYCZNE
Wacław Morgaś - INiHM
ŻEGLUGA
LOKSODROMICZNA
ZLICZENIE ANALITYCZNE
Wacław Morgaś - INiHM
Zagadnienia
•
Loksodroma
•
Zliczenie matematyczne
•
Zliczenie matematyczne wg. średniej
szerokości – trójkąt drogowy
•
Zliczenie matematyczne wg. powiększonej
szerokości – trójkąt Merkatora
•
Zliczenie matematyczne złożone
1. LOKSODROMA
Okręt utrzymujący stały kurs przemieszcza się po
loksodromie, która jest linią przecinającą wszystkie
południki pod jednakowym kątem. Loksodromę
(gr.loksós – ukośna, dromos – linia) opisał w 1624 r.
holenderski astronom i matematyk Willebrord Snell
(1580-1626) znany jako Snellius.
Południki ziemskie nie są
równoległe, dlatego linia
przecinająca ich pod
jednakowym kątem nie jest
prostą ale jest logarytmiczną
spiralą – linią podwójnej
krzywizny asymptotycznie
dążącą do bieguna
ziemskiego.
Rys. Loksodroma na pow.
Ziemi
1.1. Trójkąt loksodromiczny i nawigacyjny
Loksodroma przechodząca przez dwa punkty na powierzchni kuli
Ziemskiej jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego zwanego
trójkątem loksodromicznym. Mały trójkąt loksodromiczny
przedstawiony na płaszczyźnie nazywany jest trójkątem nawigacyjnym
(drogowym). Elementami trójkąta loksodromicznego i nawigacyjnego
są:
l – zboczenie nawigacyjne,
– różnica szerokości geograficznej,
D – droga okrętu po loksodromie,
KR – kurs rzeczywisty (a ściślej, kąt drogi względem dna – KDd).
D
A
B
l
KDd
C
B
N
A
B
l
D
KDd
KDd
B
A
R
B
A
C
1.2. Równanie loksodromy
Z małego trójkąta ABC, który można przyjąć jako płaski
wynika:
• Przechodząc od elementarnie małych przyrostów do
nieskończenie małych otrzymamy równanie
różniczkowe:
• Całkując w przedziale zmian φ i λ standardową całkę:
• Otrzymujemy równanie loksodromy na kuli (1):
cos
cos
tgKDd
l
tgKDd
d
i
d
cos
d
tgKDd
d
2
1
2
1
cos
tan
d
KDd
d
2
45
ln
2
45
ln
1
0
2
0
1
2
tg
tg
tgKDd
1.2. Równanie loksodromy – cd.
Dla elipsoidy (z uwzględnieniem spłaszczenia Ziemi) (2):
gdzie: φ
1
, λ
1
– współrzędne punktu początkowego loksodromy P
1
;
– φ
2
, λ
2
– współrzędne punktu początkowego loksodromy P
2
;
– KDd – kąt drogi nad dnem lub kurs rzeczywisty loksodromy;
– e – pierwszy mimośród elipsoidy ziemskiej.
Z analizy równania loksodromy wynika, że:
• loksodroma przecina każdy południk nieskończoną
ilość razy, ale każdy raz na innej szerokości (spirala);
• gdy KDd = 0
0
(180
0
) to loksodroma pokrywa się z
południkiem;
• gdy KDd = 90
0
(270
0
) to loksodroma pokrywa się z
równoleżnikiem,
a przy φ
2
= φ
1
= 0
0
- z równikiem.
2
1
1
1
0
2
2
2
2
0
1
2
cos
1
sin
1
2
45
ln
cos
1
sin
1
2
45
ln
e
e
e
e
tg
e
e
tg
tgKDd
1.2. Równanie loksodromy – cd.
Wyrażenia w nawiasach kwadratowych równań (2) i (3)
są różnicami powiększonej szerokości w radianach na
kuli i elipsoidzie, a mianowicie:
ΔV = V
2
– V
1
(3)
Wzory do obliczania powiększonej szerokości w milach
morskich mają postać: - na kuli (4):
- na elipsoidzie (5):
Równanie loksodromy (1) i (2) z uwzględnieniem (3) ma
postać (6):
2
45
tan
lg
70447
.
7915
o
k
V
sin
1
sin
1
2
45
tan
lg
70447
.
7915
e
e
V
o
e
KDd
V
V
V
KDd
tan
lub
)
(
tan
1
2
1
2
2. ZLICZENIE MATEMATYCZNE
Zliczenie drogi okrętu prowadzone sposobem
wykreślnym na mapie nawigacyjnej nazywane jest
zliczeniem graficznym, a jeżeli jest realizowane w
oparciu o zależności matematyczne lub tablice –
analitycznym (matematycznym).
Zliczenie matematyczne jest to obliczanie
współrzędnych pozycji albo kursu i przebytej
drogi okrętu za pomocą zależności analitycznych
bez użycia mapy.
Zliczenie matematyczne zazwyczaj stosuje się:
• przy braku odpowiedniej mapy nawigacyjnej z dala od
brzegu gdy są dostępne mapy nawigacyjne w zbyt
małych skalach (mapy generalne),
• w czasie częstych zmian kursu (manewrowania
okrętu),
• do rozwiązywania specjalnych zadań nawigacyjnych,
• w komputerach nawigacyjnych (automatycznych
nakreślaczach drogi)
2. ZLICZENIE MATEMATYCZNE – kont.
Zliczenie matematyczne nazywane jest prostym, jeżeli
dotyczy jednego prostego (bez zmiany kursu) odcinka
drogi okrętu po loksodromie. Zliczenie matematyczne
złożone występuje przy zmianach kursu np. w czasie
manewrowania okrętu.
Zadania zliczenia matematycznego rozwiązuje się za
pomocą:
• średniej szerokości - trójkąt nawigacyjny,
• powiększonej szerokości - trójkąt Merkatora,
3. ZLICZENIE MATEMATYCZNE wg. ŚREDNIEJ
SZEROKOŚCI – TRÓJKĄT NAWIGACYJNY
Istota zliczenia analitycznego polega na obliczeniu
współrzędnych pozycji okrętu w określonym momencie czasu
wg znanych zależności:
φ
2
= φ
1
+Δφ oraz λ
2
= λ
1
+ Δλ
Współrzędne początkowe φ
1
i λ
2
są zazwyczaj znane, dlatego
zadanie zliczenia sprowadza się do obliczenia Δφ i Δλ. W tym
celu wykorzystywane są zależności wynikające z trójkąta
nawigacyjnego (drogowego)(rys. 3), a mianowicie (7):
Powyższe zależności służą do rozwiązywania zadań „wprost” i
zadań „odwrotnych” .
l
KDd
KDd
D
l
KDd
D
1
tan
sin
cos
Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie
Zadanie wprost ma miejsce wówczas, kiedy znane są
współrzędne pozycji wyjścia (początkowej) P
1
(
1
,
1
)
oraz kurs (KDd – kąt drogi nad dnem) i droga okrętu
(D), a należy obliczyć współrzędne pozycji przybycia
(końcowej) P
2
(
2
,
2
). Służą do tego zależności:
1
2
1
1
2
.
6
cos
.
5
2
.
4
sin
.
3
.
2
cos
.
1
sr
śr
l
KDd
D
l
KDd
D
Zadanie to można
rozwiązać przy pomocy
Tablic nawigacyjnych
(TN-89) wybierając z
tabeli 8 wartości i l
a następnie
przeliczając l na w
oparciu o tabelę 9.
Średnia szerokość
Rozwiązanie zadania wg średniej szerokości (φ
śr
) wymaga
przeliczania różnicy długości geograficznej (Δλ) na
zboczenie nawigacyjne (Δl) (i odwrotnie) z zależności:
Δl = Δλ cos φ
śr
i odwrotnie Δλ = Δl/cos φ
śr
(8)
Zadanie to można rozwiązać różnymi sposobami, na przykład:
60
0
Δλ=5
o
55
0
57
0
3
0’
Δl=150,0Nm
Δl=172,07Nm
Δl=161,19
Nm
A
B
φ
A
φ
B
φ
sr
λ
A
=010
0
E
λ
B
=01
5
0
E
P
N
D
C
Dane A: φ
A
= 55
0
N, λ
A
=
010
0
E
B: φ
B
= 60
0
N, λ
B
=
015
0
E
Rozwiązanie:
Mała różnica 161,19-161,04=0,15Nm (tj. ~0,1%) potwierdza zasadność
stosowania średniej szerokości geograficznej: φ
śr
=(φ
1
+φ
2
)/2 do obliczeń
na płaszczyźnie.
Dokładny wzór na szerokość średnią tzw. średnią szerokość matematyczną
φ
śrm
:
φ
śrm
=cos
-1
(Δφ/ΔV) (9)
można otrzymać z porównania zależności: (6) i (8) z uwzględnieniem (7), tj.:
Δλ = ΔV tan KDd i Δλ = Δl/cosφ
śr
gdy tan KDd = Δl/Δφ
c) φ
śrm
=cos
-1
(Δφ/ΔV) = cos
-1
(300/559,40165) = 57
o
34,125’
Δl = Δλ cos φ
śrm
= 300 cos 57
o
34,125’ = 160, 886 Nm
Różnica 160,89 – 161,19 = -0,30 (tj. ~0,2%) także potwierdza możliwość
stosowania średniej szerokości geograficznej (φ
śr
)
Nm
l
b
Nm
l
l
l
Nm
l
Nm
l
a
E
E
sr
B
A
sr
B
A
A
B
19
,
161
'
30
57
cos
300
'
30
57
2
60
55
).
04
,
161
2
0
,
150
07
,
172
2
0
,
150
60
cos
300
;
07
,
172
55
cos
300
).
'
300
5
010
015
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie – kont.
Rozwiązanie zadania zliczenia matematycznego wprost z
uwzględnieniem średniej szerokości matematycznej
φ
śrm
:
1
2
1
1
0
2
1
2
.
7
)
10
(
cos
.
6
cos
.
5
)
2
45
tan(
)
2
45
tan(
log
'
7045
,
7915
.
4
sin
.
3
.
2
cos
.
1
.
srm
k
srm
o
k
l
V
V
KDd
D
l
KDd
D
Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie
Zadanie odwrotne ma miejsce wówczas, kiedy znane
są współrzędne pozycji wyjścia P
1
(
1
,
1
) oraz pozycji
przybycia P
2
(
2
,
2
), a należy obliczyć kurs KR (KDd) i
drogę D łączącą te punkty.
Służą do tego
następujące zależności:
KDd
l
D
KDd
D
l
KDd
l
śr
śr
sin
lub
cos
.
6
)
11
(
tan
.
5
cos
.
4
.
3
2
.
2
.
1
1
1
2
2
1
1
2
Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie
– kont.
Rozwiązanie zadania z zastosowaniem średniej
szerokości matematycznej φ
śrm
KDd
D
l
KDd
l
V
V
srm
k
srm
o
k
cos
.
11
)
12
(
tan
.
10
cos
.
9
cos
.
8
)
2
45
tan(
)
2
45
tan(
log
7045
,
7915
.
7
1
1
1
0
2
4. ZLICZENIE MATEMATYCZNE WG POWIĘKSZONEJ
SZEROKOŚCI - TRÓJKĄT MERKATORA
Wzory trójkąta nawigacyjnego w żegludze praktycznej
stosuje się z wyłączeniem wysokich szerokości
geograficznych (rejonów polarnych), gdy:
3 – 5 lub D 300 – 500 n. mile
Dolne wartości (3
o
i 300 n. mile) odnoszą się do małych
szerokości geograficznych (rejonów podzwrotnikowych)
natomiast górne (5
o
i 500 n. mile) do szerokości
średnich.
Jeżeli powyższe warunki nie będą spełnione to obliczenia
w oparciu o wzory trójkąta nawigacyjnego będą
obarczone znaczącymi niedokładnościami i dlatego w
praktyce stosuje się wzory trójkąta Meraktora.
TRÓJKĄT MERKATORA
Trójkąt Merkatora powstaje w wyniku odwzorowania
trójkąta loksodromicznego na pobocznicę walca
(odwzorowanie Merkatora) posiada następujące
elementy (rys):
- różnica długości geograficznej,
V - różnica powiększonej szerokości,
KDd (KR) - kurs okrętu
D
l
K
R
V
)
13
(
tan
1
V
KDd
Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie
Rozwiązanie zadania wprost w oparciu o wzory trójkąta Merkatora:
Przedstawione rozwiązanie zadania w oparciu o wzory trójkąta Merkatora
stosuje powiększoną szerokość (V), która w tablicach nawigacyjnych
jest obliczana dla wybranej elipsoidy ziemskiej. Szerokość
geograficzna (φ
2
) pozycji docelowej (a w konsekwencji całe zadanie)
jest obliczana bez uwzględnienia spłaszczenia kuli Ziemskiej.
Dokładne rozwiązanie zadania wymaga obliczania długości łuku
południka elipsoidy Ziemskiej, np. wg wzoru:
S
[Nm]
=60,006994*Δφ
o
- 8,660102(sin2φ
2
– sin2φ
1
) (15)
1
2
1
1
2
2
1
2
.
5
.
4
)
14
(
)
(
)
(
.
3
.
2
cos
.
1
tgKDd
V
V
V
V
KDd
D
Rozwiązanie
zadania
wprost
w oparciu
o wzory
trójkąta
Merkatora na
elipsoidzie WGS84:
1
2
1
1
2
2
)
4
(
2
2
)
3
(
2
2
)
3
(
2
)
4
(
2
)
3
(
2
)
3
(
2
)
3
(
2
)
2
(
2
2
)
2
(
2
)
3
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
)
2
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2
2
)
1
(
2
2
1
2
)
(
)
84
(
1
.
8
.
7
)
(
)
(
.
6
.
5
60
]
[
2
sin
660102
,
8
006994
,
60
60
]
[
2
sin
660102
,
8
006994
,
60
60
)
16
(
[
2
sin
660102
,
8
006994
,
60
60
.
1
.
4
.
3
cos
.
2
]
[
2
sin
660102
,
8
006994
,
60
.
1
tgKDd
V
V
V
V
S
S
Nm
S
S
S
Nm
S
S
S
Nm
S
S
iteracyjn
ą
metodą
obliczamy
wzoru
z
S
S
S
KDd
D
S
Nm
S
o
o
o
o
o
o
o
o
o
WGS
Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie
Rozwiązanie zadania odwrotnego w oparciu o wzory trójkąta
Merkatora:
Przedstawione rozwiązanie zadania w oparciu o wzory trójkąta
Merkatora, podobnie jak w zadaniu „wprost” nie uwzględnia
spłaszczenia kuli Ziemskiej. Dokładne rozwiązanie zadania
wymaga obliczania długości łuku południka elipsoidy
Ziemskiej.
KDd
D
V
KDd
V
V
V
cos
.
5
tan
.
4
)
17
(
)
(
)
(
.
3
.
2
.
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po
loksodromie – kont.
Obliczenie kursu (KDd) i przebytej drogi (D) z
uwzględnieniem elipsoidalnego kształtu Ziemi:
KDd
S
D
Nm
S
V
KDd
V
V
V
o
WGS
cos
.
6
]
)[
2
sin
2
(sin
660102
,
8
006994
,
60
.
5
tan
.
4
)
17
(
)
(
)
(
.
3
.
2
.
1
1
2
84
1
1
1
2
2
1
2
1
2
O
5. ZLICZENIE MATEMATYCZNE ZŁOŻONE
Zliczeniem matematycznym złożonym nazywa się analityczne obliczanie
współrzędnych pozycji zakończenia manewrowania na podstawie znanych
wartości kursów i przebytych dróg. Stosuje się go gdy prowadzenie zliczenia
graficznego jest niemożliwe, niedokładne lub czasochłonne.
Załóżmy, że okręt z pozycji P
1
rozpoczął manewrowania kursami
zmiennymi i przebywając odpowiednie odcinki drogi przybył do pozycji P
6
(Rys.).
P
4
P
6
P
5
P
2
D
5
D
4
D
3
D
2
D
1
Δl
s
Δl
5
Δl
4
Δl
3
Δl
1
Δφ
4
Δφ
3
Δφ
1
KR
5
KR
4
KR
3
KR
2
KR
1
Δφ
s
Δφ
2
Δφ
5
Δl
2
P
1
P
3
Współrzędne pozycji zakończenia manewrowania można
obliczyć rozwiązując zadania wprost kolejnych trójkątów (tj. 5
-na rys.).
Prostszym sposobem jest rozwiązanie jednego trójkąta P
1
P
6
O:
Przyrosty współrzędnych (Δφ
s
i Δl
s
) obliczamy jako sumę
algebraiczną różnic szerokości (Δφ
i
) i zboczeń nawigacyjnych
(Δl
i
) poszczególnych trójkątów:
Zadanie rozwiązuje się przy użyciu Karty manewrowej (Rys.)
s
s
s
s
sr
s
l
1
2
1
1
2
sec
2
ZLICZENIE MATEMATYCZNE ZŁOŻONE –
kont.
n
s
n
s
l
l
l
l
l
...
...
3
2
1
3
2
1
Lp.
Godz
KK
cp
α
KDw
KDw
[system
ćwiart.]
OL
lub
V
Δlog
lub
T
S
[n.
mile]
Δφ
Δl
[+] N [-] S [+] E [-] W
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
φ
1
= ..........................;
λ
1
=............................; Σ
φ
sr
= φ
1
+0,5Δφ
s
=....................; Δλ=Δl
s
/cos
φ
sr
=........................;
Δφ
s
=...........
Δl
s
=............
φ
2
= φ
1
+Δφ
s
= ...........................; λ
2
=λ
1
+Δλ= .................................;
KARTA MANEWROWA NR..... /wzór/
d=........; K
w
=............; V
w
=...............
...............................................................
Temat następnego wykładu:
„ŻEGLUGA PO ORTODROMIE”
