PROJEKTOWANIE 
DYSKRETNYCH UKŁADÓW 
MECHANICZNYCH - SYNTEZA

Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

 stanów rezonansowych maszyn i 

urządzeń

•

 tłumienia

•

 metod wyznaczania charakterystyki 

dynamicznej oraz dalszej 

syntezy

 układów 

dyskretnych

21-12-20

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

 – zadanie poszukiwania parametrów 

oraz struktury układów, spełniających zadane 
własności dynamiczne w postaci widma 
częstości.

21-12-20

3

Stany rezonansowe maszyn i urządzeń

Stany rezonansowe są to częstotliwości w 
których w urządzeniu powstają 
największe drgania. Ze względu na ich 
szkodliwe działanie, pożądany jest taki 
dobór częstotliwości drgań własnych, aby 
były one poza zakresem częstotliwości 
drgań generowanych przez urządzenie 
podczas prawidłowej pracy. Istnieją także 
przypadki, w których stany rezonansowe 
działają pozytywnie.

21-12-20

4

Tłumienie a stany rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań, 
co pozwala maszynie na wyjście ze 
stanu rezonansu. W maszynie 
pojawia się wiele częstotliwości 
drgań własnych.

21-12-20

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu 
mechatronicznego, należy najpierw 
wyznaczyć 

charakterystykę 

dynamiczną

.

21-12-20

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji, 
czyli określić czy dana funkcja 
będzie ruchliwością V(s), czy też 
powolnością U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie 
tłumienia (jeśli układ ma mieć 
tłumienie).

3.

Wyznaczyć charakterystykę 
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci 
funkcji wymiernej z dokładnością do 
stałej H.

21-12-20

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy 
charakterystyki zgodnie z 
założeniami. Liczba możliwych 
struktur zależy od częstości 
rezonansowych i nałożonych na 
układ utwierdzeń.

21-12-20

8

Synteza powolności układów 
przytwierdzonych.

21-12-20

9

Przykład rozwiązania zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ 
podane są w postaci ciągu częstości 
rezonansowych i 
antyrezonansowych:

21-12-20

10





















zera

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

2

,

0

3

,

1

2

0

3

1









1

Hz

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja 
charakterystyczna jest powolnością 
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania odnośnie 
tłumienia:



w układzie brak jest tłumienia

21-12-20

11

Tworzenie charakterystyki

Kolejnym krokiem jest utworzenie 
charakterystyki w takiej postaci, aby 
dało się ją poddać syntezie jedną ze 
znanych metod

21-12-20

12

 











s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

4

9

10

3

2

4

2

2

2

2

3

2

2

1

2























2

Wstęp do właściwej syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania 
w postaci charakterystyk 
dynamicznych (

12.2

) poddaje się 

syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania 
elementu sprężystego

21-12-20

13

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

21-12-20

14

3

 



































9

6

5

,

2

6

1

1

9

6

4

1

4

9

6

4

9

10

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

9

5

,

2

1

4

,

2

1

6

1

1

5

,

2

9

4

,

2

1

6

1

1

5

,

2

9

6

1

6

1

1

2

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

























Ostatecznie otrzymuje się charakterystykę 
dynamiczną w następującej postaci ułamka 
łańcuchowego:

Porównując 

15.4

 z otrzymanym wcześniej 

ułamkiem łańcuchowym (

14.3, 15.5

) odczytuje 

się wartości poszczególnych parametrów

21-12-20

15

 

2

2

1

1

1

1

1

c

s

s

m

c

s

s

m

s

U









4

5

 

9

5

,

2

1

4

,

2

1

6

1

1

s

s

s

s

s

U









Otrzymany układ dyskretny

21-12-20

16

Wartości liczbowe:

m

1

m

2

c

1

c

2

m

N

5

18

,

m

N

6

kg

5

12

,

kg

1

2

1

2

1









c

c

m

m

6

Sprawdzenie wyniku

21-12-20

17

Wynik można sprawdzić np. za 
pomocą równań różniczkowych ruchu 
układu

Po przekształceniach uzyskuje się:





























0

m

0

m

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

1

x

c

x

x

c

x

x

x

c

x





7





0

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

1











c

c

m

c

m

c

m

c

m

m





8

Sprawdzenie wyniku

21-12-20

18

Szukając miejsc zerowych wyrażenia 

17.8

 otrzymuje się:

9

1

2

2

2

1









9

3

1

2

1









1

0

Liczba możliwości

n=2 – liczba częstotliwości rezonansowych

21-12-20

19

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i badanie 
wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów mechanicznych o 
żądanym widmie częstotliwości w ujęciu grafów i liczb strukturalnych. 
Monografia, Politechnika Śląska, Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych mechanicznych 
układów drgających w ujęciu grafów i liczb strukturalnych. Politechnika 
Śląska, Gliwice 2001.



Kordos M.: Lepsze ułamki. Artykuł miesięcznika Delta 07.2006

21-12-20

20

KONIEC