Belka prosta
przykład 1 (z objaśnieniami)
Mechanika ogólna
Belka prosta
przykład 1 (z objaśnieniami)
Mechanika ogólna
Oto nasza belka
(jak widać całkiem przyjemna)
Nasz plan działania
(krok po kroku)
Co robimy?
• 1. Sprawdzamy SW i
GN (statyczną
wyznaczalność i
geometryczną
niezmienność)
• 2. Liczymy reakcje w
podporach
• 3. Rysujemy wykresy
sił przekrojowych –
MTN (momenty, tnące,
normalne – osiowe)
Statyczna wyznaczalość
(inaczej warunek ilościowy)
Sprawdzamy czy układ (w tym padku bardzo prosty) jest SW, tzn czy nie jest
przesztywniony (za dużo więzi) lub czy nie jest mechanizmem (za mało więzi)
• Aby belka była SW
musi spełniać
równanie:
e=3t
Liczba więzi (w
przypadku podpory
przyjmujemy, że to
liczba reakcji w
podporach)
Liczba tarcz – w
przypadku belek prostych
belka jest jedną (całą)
tarczą.
A jak będzie w naszym
przypadku?
SW – ciąg dalszy
Patrzymy jakie mamy podpory (całe dwie)
Podpora przegubowo
przesuwna
ma
jedną reakcję (więź)
Podpora przegubowo
nieprzesuwna
ma
dwie reakcje (więzi)
(patrz
blog)
Nasza jedna tarcza
Podstawiamy do równania
e=3t
3=3∙1
Widzimy, że równanie jest zachowane, zatem układ
jest SW.
Geometryczna niezmienność
(warunek jakościowy)
Nie będziemy się rozwodzić nad całością zaganienia GN (bo potrzeba by na to całego artykułu), a
skupimy się tylko na naszym przypadku. Sprawdzimy GN, mówiąc łopatologiczne zobaczymy, czy nasza
tarcza jest tak połączona z ostoją, że się nie rusza.
• Wiemy (wiemy?), że jeżeli dwie
tarcze (w tym wypadku nasza
belka i ostoja) są poczłaczone
trzema więziami to możemy je
uznać za jedną tarczę (mówiąc
ogólnie)
• UWAGA! Więzi nie mogą:
– być do siebie równoległe
– schodzić się w jednym punkcie
Korzystamy z twierdzenia o dwóch tarczach (2T)
Jak to sprawdzany?
GN – ciąg dalszy
Sposbów na sprawdzenie jest kilka (każdy i tak wypracowóje najwygodnieszy dla
siebie). Moja propozycja to korzystanie (w dalszym ciągu) z reakcji podporwych
.
Nasze
podpory i ich
reakcje
Dalej rysujemy proste
zgodnie z wektorami
reakcji.
Widzimy, że więzi nie są równoległe, ani nie
przecinają się w jednym punkcie, zatem układ
jest GN.
Liczymy reakcje w podporach
(zgodnie z naszym planem działania)
Dla porządku wprowadzamy
oznaczenia (z czasem każdy
będzie oznaczał po swojemu –
gwarantuje)
• A
i
B
punty poporowe – w nich
reakcje poziome oznaczone
jako
H
(horizontal), a pionowe
jako
V
(vertical)
• 1
i
2
punkty charakterystyczne
– przyłożona siła skupiona
• Układ współrzędnych
(kierunek strzałki oznacza +)
• Tak przyjęte osie zwłaszcza z
początku wydają się dziwne,
ale z biegiem czasu zrobią się
wygodne.
Oznaczenia
A
B
V
A
H
A
V
B
1
2
x
y
Liczymy reakcje – ciąg dalszy
Mamy oznaczenia to
jedziemy.
• Rzut na oś poziomą
– ∑Px=0
H
A
+0=0
• Moment w punkcie B
– ∑M
B
=0
V
A
∙6-10∙4-20∙2=0
– 6
V
A
=80
V
A
=13,3
• Rzut na oś pionową
– ∑Py=0 -
V
A
+10+20-
V
B
=0
– V
B
=-13,3+30
V
B
=16,7
• Sprawdzenie – moment w punkcie
1
– ∑M1=0
V
A
∙2+20∙2-
V
B
∙4=0
– 0=0
UWAGA! Pamiętajmy – belka
prosta oznacza (ZAWSZE) 3
rówania.
Mamy
3 niewiadome i 3
równania
, więc rozwiązanie musi
się znaleźć.
A
B
V
A
H
A
V
B
1
2
x
y
Znaki momentów przy
reakcjach
Pamiętamy! Jak nie to blog :]
Rysujemy wykres MTN
(punkt 3 planu działania)
Dla wygody robimy tzw.
schemat statytyczny
, czyli nanosimy
na naszą belkę wszsytkie siły jakie na nią działają
13,3
16,7
Reakcja
H
A
wyniosła
zero, dlatego ją
pomijamy
13,3
16,7
20
10
Wykresy
M [kNm]
26,7
33,3
UWAGA!
Na następnych stronach
zasady rysowania
wykresów!
13,3
3,3
16,7
0
N [kN]
T [kN]
+
+
-
Wykres momentów
UWAGA! Wykres momentu
należy rysować zgodnie z
pewnymi zasadami.
Zwykle przyjmuje się włókna
uprzywilejowane i zwykle na
dole belki.
Proponuję robić to ciut inny
sposób: ZAPAMIĘTAJ –
wykres
momomentu rysujemy po
stronie wółkien rozciganych
(ZAWSZE!).
Rysowanie możemy zacząć od
dowolnej strony – spróbujmy
klasycznie od lewej.
Idąc od lewej będziemy liczyć
wartość momentu w każdym z
punktów, ale tylko z lewej
strony.
13,3
16,7
20
10
4
3
2
1
Jak wyznaczyć ten znak? Po której stronie wykre?
Dla przykładu będziemy wyznaczać momet w punkcie 2.
Pozornie robimy to jak przy reakcjach. Są jednak różnice.
Liczymy od lewej, zatem interesuje nas tylko wszystko na
lewo od punktu 2.
Wyobraź sobie, że nasza belka jest gruba (że nie jest
cienką prostą linią). Dalej co z nią robi nasze
13,3
?
Napiera. I co dalej robi? Rozciąga! I teraz rozciąga górę
czy dół naszej belki?
Jasne, że dół.
Dlatego
wykres
(dla
tego odcinka)
rysyjemy na dole
.
M2 = 13,3 ∙ 2 = 26,7
M [kNm]
26,7
Wykres momentów – ciąg dalszy
∑M
1
=
0
(od lewej nie działa tu żadna siła,
13,3
działa na zerowym
ramieniu)
∑M
2
=
13,3∙2
=
26,7
(interesuje nas tylko to co
na lewo
od punktu 2, mamy tylko siłę
13,3
na ramieniu 2
)
∑M
3
=
13,3∙4 - 10∙2
=
33,3
(j/w; mamy
13,3 na
ramieniu 4
i siłę
10 ma
ramieniu 2
)
∑M
4
=
13,3∙6 - 10∙4 - 20∙2
=
0
(wszystko j/w;
moment
Nam „
spadł” do zera
, co
potierdza że wykres jest
narysowany
prawidłowo)
13,3
16,7
20
10
M [kNm]
26,7
4
3
2
1
33,3
To oczywiście przykład prostej belki, nie ma w niej przyłożonych
momentów, sił na wsporniku, czy obciążenia rozłożonego. Jednak to
podstawy, które trzeba znać
Uwaga! Liczyliśmy nasze momenty od lewes strony. Można przecież również liczyć od
prawe, a wyniki i tak będą identyczne i poprawne. Przykład: ∑M
3
=
16,7
∙ 2
=
33,3
(też
rozciąga włókna dolne)
Drobne nieścisłości wynikają tylko i wyłączne z przyjętych zaokrągleń i są absolutnie
dopuszczalne.
Wykres sił tnących
W siłach tnących należy mocno zwracać uwagę na znak, ponieważ zależnie od strony „z
której idziemy” (od której liczymy) siły tnące inaczej przyjmują wartości.
Oto nasz przekrój:
13,3
16,7
20
10
4
3
2
1
α
α
T
T
Takie zwroty sił oznaczają wartości
dodatnie
(plusy)
+
Oznacza to, że idąc
od lewej
dodatnie są
siły, które skierowane są
do góry
. Idąc
od prawej
dodatnie są te skierowane
w
dół
.
Przykład. Sprawdzamy siły Tnące w
punkcie 1.
∑Px
1
=
+ 13,3
W punkcie 1 zadziała nam tylko
13,3
(od
lewej strony); wektor siły skierowany
jest ku górze, zatem na wykresie
zaznaczamy, na tym odcinku siły
przyjmują
wartości dodatnie
.
13,3
+
Wykres sił Tnących– ciąg dalszy
∑Px
1
=
13,3
W tym punkcie działa tylko
13,3
∑Px
2
=
13,3 - 10
=
3,3
Interesuje nas tylko to co na lewo od punktu 2,
mamy tylko siłę
13,3
i tak rysujemy wykres – linia
ciągła; dochodzimy do punku 2 i mamy siłę
10
, a
strzałkę w dół, zatem minus. W takim przypadku
mamy do czynienia ze skokiem siły – o jej wartość w
punkcie 2 stąd mamy
3,3.
∑Px
3
=
13,3 – 10 - 20
=
16,7
Sytuacja jak w punkcie 2 (opiszę w inny sposób);
obliczamy wartość sił T nieskończenie blisko punktu
3 (ale nie w samym punkcie) – wynosi
3,3
.
Natomiast już w punkcie 3 mamy siłę na minusie
20.
Zatem ponownie mamy skok siły, tym razem o 20,
co daje nam
16,7
(mówiąc obrazowo z prawej strony
punktu 3).
∑Px
4
=
13,3 - 10 - 20 + 16,7
=
0
13,3
20
10
4
3
2
1
13,3
3,3
16,7
T [kN]
+
+
-
Podobnie jak w 3; tutaj wartość siły maksymalnie blisko punktu 4 jest równa
16,7
; Po dodaniu siły
(
16,7
na plusie, bo strzałka do góry) siły T redukują się do zera. Świadczy to o prawidłowym
wykonaniu wykresu sił T.
16,7
Uwaga! „Strony po których
rysujemy wykres są dowolne (nie jak
w momentach), należy jednak
zaznaczyć po której stronie
zaznaczamy plusy a po której
minusy)
Wykres sił osiowych (normalnych)
W siłach osiowych (inaczej nazywanych normalnymi) mamy do czynienia z podobnym
znakowaniem niezależnie od strony po której mamy przekrój.
Oto nasz przekrój:
α
α
N
N
Takie zwroty sił oznaczają wartości
dodatnie
(plusy)
+
Oznacza to, że siły dziłające
od przekroju
mają wartości
dodatnią
, natomiast
działające w stronę przekroju ujemną
.
W naszym przykładzie siły N mają wartość zero, więc nie mamy czego rysować;
jednak postępujemy z nimi analogicznie jak z siłami T.