MASOWY MOMENT 

BEZWŁADNOŚCI 

WALCA

KATARZYNA KRUK gr 29-CR-A2

 DARIUSZ KATANA gr 29-CR-A2

.

   

 

Moment bezwładności

 to miara 

bezwładności

 

ciała w 

ruchu obrotowym

 względem określonej, ustalonej osi 

obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch 
obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego 

prędkość kątową

Twierdzenie Steinera

 

Twierdzenie to mówi, że jeśli znamy moment 
bezwładności I

o

 danego ciała względem pewnej osi 

przechodzącej przez środek masy tego ciała to aby 
obliczyć moment bezwładności I względem dowolnej 
innej osi równoległej do niej należy do momentu I

o

 

dodać iloczyn masy ciała i kwadratu odległości d 
między tymi osiami czyli md

2

:

  

  W  ruchu  obrotowym  bryły  sztywnej  jej  kształt  jest  w 

zasadzie  bez  znaczenia,  gdyż  jej  ruch  jest  określony  przez 
jej osie bezwładności. Każdej bryle, niezależnie od tego, jak 
nieregularny  jest  jej  kształt  i  niejednorodna  gęstość, 
odpowiada  elipsoida  bezwładności.  Na  ogół,  jest  to 
elipsoida  trójosiowa,  a  jej  osie  noszą  nazwę  głównych  osi 
bezwładności. Długość każdej z tych osi jest proporcjonalna 
do momentu bezwładności względem tej osi.  

Głównymi  osiami  bezwładności  nazywamy  trzy  osie 
przechodzące  przez  środek  masy  C  i  mające  takie 
kierunki, że:
   I  -  moment  bezwładności  względem  tej  osi  jest 
największy;
 II - prostopadła do osi I i taka, względem której moment
      bezwładności ciała jest mniejsza
 III - prostopadła do obu osi I. i II.

             Obrót  bryły  sztywnej  wokół  dowolnej  osi  przechodzącej  przez 
środek  masy  można  zawsze  rozłożyć  na  trzy  równoczesne  obroty  wokół 
głównych osi bezwładności. Taki rozkład nie jest możliwy dla jakichkolwiek 
innych  trzech  osi  prostopadłych  względem  siebie.  Najprostszymi 
rodzajami  ruchu  bryły  sztywnej  jest  ruch  obrotowy  względem  jednej  z 
głównych  osi  bezwładności.  Ruch  taki  jest  stabilny  tylko  wtedy,  gdy 
odbywa  się  wokół  osi,  dla  której  moment  bezwładności  jest  największy. 
Ruch wokół osi II., dla której moment bezwładności jest najmniejszy, jest 
także  stabilny,  ale  wtedy  najmniejsze  zaburzenie  ruchu  powoduje,  że 
pojawia się para sił odśrodkowych, która stara się doprowadzić do obrotu 
wokół osi I. ciała. Ruch wokół osi III. jest zawsze niestabilny

walec o masie M i o promieniu wewnętrznym r, a 
zewnętrznym R

:

MOMENT  BEZWŁADNOŚCI  WALCA  

WZGLĘDEM  DOWOLNEJ  OSI

 
 

 
 

 
 

 
 

Jeżeli  masa  m jest rozłożona w sposób ciągły w objętości  V, to 
moment 

bezwładności 

ciała 

względem 

dowolnej 

osi 

(przechodzącej przez objętość ciała lub poza nią) obliczamy na 
podstawie ogólnego równania:
 
 

gdzie  r  jest  odległością  elementu  masy  dm  od  osi  obrotu,  ρ  - 
lokalną  gęstością  ciała,  zaś  dV  -  objętością  zajmowaną  przez 
element masy dm.

 
 

dV – przyrost 
objętość
p – gęstość
dm – przyrost 
masy

 
Jeżeli  moment  bezwładności  liczymy  względem  osi  walca,  to 
standardowo  dzielimy  go  na  nieskończenie  cienkie  cylindry  o 
grubości dx i masie dm.

dx - przyrost 
grubości
dm - przyrost masy

MOMENT  BEZWŁADNOŚCI  WALCA  WZGLĘDEM  OSI

Moment bezwładności takiego 
cienkiego cylindra wynosi dI = x

2

 

dm

Moment bezwładności całego walca 
wyniesie

 Jeżeli  ta  nowa  oś  jest  równoległa  do  osi  przechodzącej  przez 
środek  masy  i  jest  od  niej  oddalona  o  odległość  d,  to  wtedy 
możemy  zastosować  twierdzenie  o  osiach  równoległych  (tzw. 
twierdzenie Steinera): 
Moment  bezwładności  bryły  o  masie  M  liczony  względem  osi 
przechodzącej  przez  jej  środek  masy  wynosi  I

0

,  to  moment 

bezwładności  I  liczony  względem  innej  osi  równoległej  do 
poprzedniej i oddalonej od niej o d jest równy

TWIEDZENIE O OSIACH 

RÓWNOLEGŁYCH

I

Dowód twierdzenia Steinera

. Wybierzmy płaską płytkę o 

masie M (każdą bryłę trójwymiarową możemy pociąć na stos 
takich „talarków”). Oś obrotu przechodzi przez środek masy C 
i jest prostopadła do płaszczyzny płytki. Moment bezwładności 
płytki względem tej osi oznaczymy przez I

0

. Szukamy 

momentu bezwładności I względem osi przechodzącej przez 
punkt D i równoległej do osi przechodzącej przez środek masy 
(punkt C). Odległość między oboma osiami wynosi d.

Celem jest znalezienie momentu bezwładności I płytki względem 
osi przechodzącej przez D

 

Wybieramy w otoczeniu dowolnego punktu na płytce element 
masy dm. Przy oznaczeniach, jak na rysunku, moment 
bezwładności I

0

 względem osi przechodzącej przez C wyniesie

 
Po pomnożeniu obu stron równania przez dm i po scałkowaniu po 
całej powierzchni płytki otrzymujemy

czyli

Należy zauważyć, że odległość y jest mierzona od środka 
masy, a całka  jest tożsama z całką, jaka występuje we 
wzorze na współrzędną środka masy. Jej wartość musi 
wynosić zero, ponieważ określa ona odległość środka masy od 
tego samego środka masy. Inaczej mówiąc, ponieważ 
odległość y jest mierzona od środka masy C to każdy iloczyn 
(y dm) jest równoważony przez iloczyn ( –y dm) o przeciwnym 
znaku. Zatem, z powodu zerowania się całki , otrzymaliśmy 
szukaną zależność