Zastosowanie analizy wymiarowej i teorii podobieństwa do zagadnień przejmowania ciepła

Warunki

brzegowe

rozwiązywaniu

problemów

transportu

ciepła

masy

oraz

problemów

odkształceń

Łukasz Łach

Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej

Kraków, 05 styczeń 2011 r.

Wykaz ważniejszych oznaczeń

T              - temperatura,
K                            -  macierz  funkcji  rozkładu  współczynnika
przewodzenia ciepła,
Q             - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w
wyniku

plastycznego odkształcania się

metalu lub w wyniku przemian

fazowych

zachodzących w materiale,
ρ - gęstość metalu w temperaturze T,
c

- ciepło właściwe w tejże temperaturze,

α - współczynnik wymiany ciepła,
T

- temperatura otoczenia

v - wektor prędkości.

Transport ciepła i masy

Większość  zjawisk  zachodzących  w  procesach
przetwórstwa  materiałów  jest  aktywowanych
cieplnie,  a  zatem  numeryczna  symulacja  tych
procesów  musi  uwzględniać  pole  temperatury.
Transport  masy  (dyfuzja)  również  odgrywa
dominującą  rolę  w  zmianach  jakie  zachodzą  w
strukturze  odkształcanego  i/lub  poddawanego
obróbce  cieplnej  materiału.  Transport  ciepła  i
masy  opisany  jest  jednakowym  równaniem
różniczkowym  cząstkowym,  a  różne  są  tylko
współczynniki

tego

równania

zależne

własności materiału.

Równanie Fouriera

Określanie  pola  temperatur  możliwe  jest  poprzez
rozwiązanie  uogólnionego  równania  dyfuzji  –  równania
Fouriera.  Wielkością  podlegającą  dyfuzji  jest  w  tym
przypadku ciepło. W ogólnej postaci równanie to zapisane
jest następująco:

gdzie:
T - temperatura,
K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia
ciepła,
Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku
plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku
przemian fazowych zachodzących w materiale,
ρ - gęstość metalu w temperaturze T,
c

- ciepło właściwe w tejże temperaturze,

v – wektor prędkości.

Warunki brzegowe

Równanie przewodzenia ciepła musi spełniać
odpowiednie

warunki

brzegowe.

Brzeg

odkształcanego

materiału

zmienia

swoją

temperaturę w wyniku:

konwekcji (unoszenia ciepła),

promieniowania,

przewodzenia.

Warunek ten jest przyjmowany, jeśli cały brzeg lub
jego część posiada znaną temperaturę określoną
poprzez znaną, zależną od czasu funkcję f(t):

Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta)

Rys.1. Przykład warunku brzegowego
I rodzaju.

Warunek brzegowy drugiego rodzaju
(warunek Neumanna)

Warunek jest przyjmowany, gdy znana jest funkcja
określająca natężenie strumienia cieplnego na
brzegu obszaru:

Rys.2. Przykład warunku brzegowego
II rodzaju.

Warunek  jest  przyjmowany,  gdy  następuje
swobodny,  niczym  nie  skrępowany  przepływ
ciepła  przez  powierzchnię  brzegową  ciała.
Opiera  się  on  na  bilansie  natężenia  strumieni
cieplnych  przepływających  przez  powierzchnię
brzegową:

Warunek graniczny trzeciego rodzaju (warunek Fouriera)

gdzie: α - współczynnik wymiany
ciepła,

temperatura

otoczenia

Rys.3. Przykład
warunku
brzegowego III
rodzaju.

Stosowalność warunków brzegowych

W  procesach  przetwórstwa  materiałów  praktycznie  nie  występuje
warunek  brzegowy  Dirichleta.  Dlatego  do  celów  śledzenia  zmian
temperatury  wyrobów  w  trakcie  tych  procesów  w  wielu  następujących
po  sobie  operacjach  bardzo  często  należy  zastosować  połączony
warunek brzegowy drugiego i trzeciego rodzaju zadany na całym brzegu
obszaru, w postaci:

W powyższym równaniu funkcja q może reprezentować strumień ciepła
przekazywany do materiału w wyniku pracy sił tarcia na powierzchni
styku z narzędziem:

gdzie: τ - naprężenie tarcia, Δv – prędkość poślizgu między
odkształcanym materiałem i narzędziem.

Wprowadzanie warunków brzegowych w MES

Wprowadzenie warunków brzegowych następuje poprzez wykonanie
odpowiednich modyﬁkacji macierzy współczynników układu równań oraz
wektora prawych stron.

Macierz współczynników
elementu

⇗

Globalna macierz współczynników

∥

⇗