Autor: Janusz Górczyński

1

Hipotezy statystyczne

Definicja, sformułowanie i 

weryfikacja

 

Autor: Janusz Górczyński

2

Definicja

Hipotezą statystyczną jest dowolne zdanie orzekające o 
parametrach populacji lub jej rozkładzie. Prawdziwość 
hipotezy jest oceniana na podstawie wyników próby 
losowej.

Hipoteza statystyczna może orzekać o parametrach 
populacji i takie hipotezy nazywamy hipotezami 
parametrycznymi.

Pozostałe hipotezy statystyczne (te, które nie dotyczą 
parametrów), nazywamy hipotezami 
nieparametrycznymi.

 

Autor: Janusz Górczyński

3

Hipotezy parametryczne

Przykład 1.
Interesuje  nas  wydajność  pracy  pracowników 
pewnego zakładu produkcyjnego. Zakładamy, że 
modelem  tej  cechy  może  być  zmienna  losowa 
normalna o nieznanych parametrach m i . 
Przypuszczamy, 

że 

średnia 

wydajność 

(w populacji)  jest  równa  znanej  wartości  m

0

. 

Tym 

samym 

sformułowaliśmy 

hipotezę 

statystyczną dotyczącą parametru m:

H m m

0

0

: 

 

Autor: Janusz Górczyński

4

Hipotezy nieparametryczne

Przykład 2.
 W poprzednim przykładzie założyliśmy, że 
interesująca nas cecha (wydajność pracy 
pracowników) może być modelowana zmienną 
losową normalną. Możemy więc sformułować 
hipotezę dotyczącą rozkładu tej cechy:

H X

N m

0

: ~ ( ; )



 

Autor: Janusz Górczyński

5

Weryfikacja hipotezy

Hipoteza  statystyczna  musi  być  na  podstawie 
wyników próby zweryfikowana. 
Testem 

statystycznym 

nazywamy 

regułę 

postępowania,  która  każdej  możliwej  próbie 
przyporządkowuje decyzję odrzucenia hipotezy lub 
nie daje podstaw do podjęcia takiej decyzji.
Proces weryfikacji hipotezy statystycznej obejmuje 
z  jednej  strony  jej  sformułowanie  (jako  tzw. 
hipotezy  zerowej),  z  drugiej  strony  musimy 
sformułować hipotezę alternatywną oznaczaną z 
reguły symbolem H

1

.

 

Autor: Janusz Górczyński

6

Weryfikacja hipotez 
statystycznych

H m m H m m

0

0

1

0

:

:





Rozpatrzmy hipotezę parametryczną z 
przykładu 1, gdzie wypowiadaliśmy się o 
możliwej wartości średniej generalnej. 
Odpowiednią hipotezę zerową i alternatywną 
możemy zapisać jako:

Na podstawie wyników próby losowej chcemy 
teraz skonstruować taki test statystyczny, który 
da możliwość podjęcia decyzji co do 
prawdziwości hipotezy zerowej.

 

Autor: Janusz Górczyński

7

Weryfikacja hipotez 
statystycznych (c.d.)

x

s

m

x

t

0





x m





0

0

x m

 

Przy konstrukcji testu skorzystamy z faktu, że 
statystyka:

ma, przy prawdziwości H

0

:m=m

0

,  rozkład t-

Studenta z liczbą stopni swobody v = n - 1.
Załóżmy, że  H

0

:m=m

0

 jest prawdziwa. 

Jeżeli tak, to m 



 m

0 

= 0 oraz                     

(ponieważ             ). Tym samym wartość 
statystyki t powinna niewiele odbiegać od zera 
(jeżeli H

0

 jest prawdziwa).

 

 

Autor: Janusz Górczyński

8

Weryfikacja hipotez 
statystycznych (c.d.)

m m



0

x

s

m

x

t

0





P t t

v

(

)

,









t

v



,

W  sytuacji,  gdy  wartości  statystyki  t  będą 
odbiegać od zera dość znacznie, to powinniśmy 
zacząć wątpić w prawdziwość naszego założenia 
(o tym, że                ).

Pozostaje do rozstrzygnięcia kwestia, kiedy 
można uznać, że wyniki naszej próby świadczą 
przeciwko prawdziwości hipo-tezy zerowej. 
Wykorzystamy do tego celu fakt, że dla każdego

znajdziemy  taką  wartość            ,  dla  której 
spełniona jest równość

 

Autor: Janusz Górczyński

9

Weryfikacja hipotez 
statystycznych (c.d.)

t

v



,

(

;

) (

;

)

,

,

  



 

t

t

v

v





(

;

)

,

,

 t

t

v

v





Tym samym wartość          wyznacza nam 
obszar krytyczny dla naszej hipotezy H

0

:

Jeżeli wartość empiryczna statystyki t znajdzie 
się w tym obszarze, to H

0

 musimy odrzucić 

jako zbyt mało prawdopodobną.

Obszar                      jest obszarem 
dopuszczalnym dla H

0 , 

mówimy, że wyniki naszej 

próby nie przeczą hipotezie zerowej. Proszę 
zauważyć, że nie jest to równoważne zdaniu, że 
hipoteza zerowa jest prawdziwa! (my jej tylko nie 
możemy odrzucić).

 

Autor: Janusz Górczyński

10

Błędy weryfikacji

Wyniki próby mogą być takie, że uznamy za fałszywą i 
odrzucimy  hipotezę  H

0

  ,  która  w  rzeczywistości  jest 

prawdziwa. Jest to tzw. błąd I rodzaju, a prawdopodo-
bieństwo jego popełnienia jest równe .
Możliwa  jest  także  sytuacja  odwrotna:  wyniki  próby 
nie pozwoliły na odrzucenie H

0 

, która w rzeczywistości 

była fałszywa. Popełniamy wtedy tzw. błąd II rodzaju, 
a jego prawdopodobieństwo jest równe .
Zwiększenie  liczebności  próby  powoduje  zmniejszenie 
prawdopodobieństwa .

 

 

Autor: Janusz Górczyński

11

Błędy weryfikacji 
cd.

Brak podstaw 

do odrzucenia 

H

0

 

Odrzucenie 

H

0

 

H

0

 

prawdziwa 

P-stwo 

P-stwo 
Błąd I rodzaju

H

0

 fałszywa 

P-stwo 
Błąd II rodzaju

P-stwo 
Moc testu





1









1

 

Autor: Janusz Górczyński

12

Hipoteza o średniej 
generalnej m

H m m

0

0

: 

H m m

1

0

: 

t

v n



,   1

Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny o 
nieznanych parametrach

 

m

 

i

 



. 

Na podstawie n-

elementowej próby losowej chcemy zweryfikować 

hipotezę zerową 

wobec alternatywy 

Procedura testowa:

1. Ustalamy poziom istotności 

2.  Obliczamy  wartość  empiryczną  statystyki  t-

Studenta 

3. Odczytujemy z tablic statystycznych wartość 

krytyczną statystyki 

x

emp

S

m

x

t

0

.





 

Autor: Janusz Górczyński

13

Hipoteza o średniej 
generalnej m (c.d)

Wnioskowanie:
Jeżeli                    ,  to H

0

 odrzucamy na 

korzyść H

1

.

Jeżeli                    , to nie mamy podstaw do 
odrzucenia H

0

.

t

t

emp

v

.

,





t

t

emp

v

.

,





 

Autor: Janusz Górczyński

14

Hipoteza o średniej 
generalnej m (c.d.)

H m m

0

0

: 

H m m

0

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

H m m

1

0

: 

(

,

)

,

   t

v

2



(

,

)

,

t

v

2



 

t

t

emp

v

 

2



,

t

t

emp

v



2



,

Hipoteza                     może być także 

weryfikowana przy inaczej skonstruowanej 

hipotezie alternatywnej (                    lub           

              ). Procedura weryfikacyjna przebiega 

podobnie, zmienia się tylko obszar krytyczny:

Hipoteza 
zerowa

Alternatywa 
(jednostronna)

Obszar krytyczny

H

0

 odrzucamy, 

jeżeli:

 

Autor: Janusz Górczyński

15

Hipoteza o równości dwóch  
średnich generalnych

Procedura testowa:
1. Ustalamy poziom istotności 
2.  Obliczamy  wartość  empiryczną  statystyki  t-
Studenta
 

3. Odczytujemy z tablic statystycznych wartość 
krytyczną statystyki 

X

N m

1

1

~ ( ; )



X

N m

2

2

~ ( ; )



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

x x

s

emp

r

.





1

2

t

v n n



,   

1

2

2

Niech                            oraz                             . Na 

podstawie odpowiednich prób losowych chcemy 

zweryfikować hipotezę: 
                         wobec 

 

Autor: Janusz Górczyński

16

Hipoteza o równości dwóch 
średnich generalnych (c.d.)

Wnioskowanie o prawdziwości
                        wobec                  

Jeżeli                     , to H

0

 odrzucamy jako zbyt mało 

prawdopodobną.

Jeżeli                      , to nie mamy podstaw do 

odrzucenia H

0

.

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

t

emp

v

.

,





t

t

emp

v

.

,





 

Autor: Janusz Górczyński

17

Hipoteza o różnicy średnich 
generalnych (c.d.)

Niech                              oraz                             . Na 
podstawie odpowiednich prób losowych chcemy 
zweryfikować hipotezę: 
Hipoteza alternatywna może być jednostronna (         
               lub                       )
Procedura 

testowa 

przebiega 

podobnie 

jak 

poprzednio, 

zmieniają 

się 

jedynie 

obszary 

krytyczne.
Hipoteza zerowa                     Hipotezy alternatywne

Obszar krytyczny

X

N m

1

1

~ ( ; )



X

N m

2

2

~ ( ; )



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



H m m

1

1

2

:



(

,

)

,

   t

v

2



(

,

)

,

t

v

2



 

 

Autor: Janusz Górczyński

18

Inny sposób weryfikacji hipotezy 
o równości średnich. NIR

Hipoteza                                

 

przy                         

       jest odrzucana wtedy, gdy

:

Iloczyn                  nazywamy najmniejszą 
istotną różnicą (least significant difference) i 
oznaczamy skrótem NIR (LSD).

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



t

t

emp

v

.

,





x x

s

t

x x

s

t

x x

t s

r

v

r

v

v r

1

2

1

2

1

2























,

,

,

t s

v r



,

 

Autor: Janusz Górczyński

19

Najmniejsza istotna różnica

Hipotezę               

           

przy alternatywie                  

    będziemy odrzucać wtedy, gdy:

NIR (LSD) jest taką różnicą wartości danej  cechy 
w dwóch populacjach, którą jeszcze można uznać 
za losową (przypadkową). 
Różnice większe od NIR są już spowodowane 
własnościami danych populacji (nie są 
przypadkowe).

 

H m m

0

1

2

:



H m m

1

1

2

:



x

x

NIR

1

2





 

Autor: Janusz Górczyński

20

Test istotności dla frakcji

Niech  zmienna  X  ma  w  populacji  rozkład  zero-

jedynkowy  z  prawdopodobieństwem  sukcesu  p. 

Parametr  ten  można  interpretować  jako  wskaźnik 

struktury w populacji.
Interesuje nas weryfikacja hipotezy

 

zerowej:

                             wobec 
Procedura weryfikacyjna wykorzystuje rozkład N(0, 1):

1. Obliczamy                                    gdzie 

2. H

0

 odrzucamy, jeżeli

 

H p p

0

0

: 

H p p

1

0

: 

z

p p

p

p

n

emp.



(

)







0

1

p

k
n



z

z

emp.





 

Autor: Janusz Górczyński

21

Test istotności dla różnicy 
frakcji

Rozważmy dwie zmienne zero-jedynkowe z 

parametrami odpowiednio p

1

 i p

2

. Interesuje nas 

weryfikacja                     przy alternatywie                      

  .

Niech               oraz                oznaczają odpowiednio 
frakcje elementów wyróżnionych w obu próbach.

Wiadomo, że

Jeżeli                                jest prawdziwa, to

 

gdzie  p oznacza wspólną wartość dla obu zmiennych.

H p

p

0

1

2

:



H p

p

1

1

2

:



p

k
n

1

1

1



p

k

n

2

2

2





 ~

;

(

)

(

)

p

p

N p

p

p

p

n

p

p

n

1

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

1





















H p

p

p

0

1

2

:







 ~

; (

)

p

p

N

p

p

n

n

1

2

1

2

0

1

1

1



























 

Autor: Janusz Górczyński

22

Test istotności dla różnicy frakcji 
(c.d.)

Jako ocenę wspólnego prawdopodobieństwa sukcesu 

dla obu zmiennych przyjmuje się wyrażenie:

Ostatecznie statystyka

ma rozkład N(0, 1).
Hipotezę                           przy                          

odrzucamy,
jeżeli 
 

p

k k
n n






1

2

1

2

z

p

p

p

p

n

n

emp























(

)

1

2

1

2

1

1

1

H p

p

0

1

2

:



H p

p

1

1

2

:



z

z

emp.





 

Autor: Janusz Górczyński

23

Test istotności dla wariancji

Niech                       , interesuje nas weryfikacja 
hipotezy
                           przy alternatywie                        . 
W praktyce nie formułuje się H

1

 jako dwustronnej czy 

lewostronnej, co wynika z faktu, że duża wariancja jest 
niekorzystna.

Weryfikację hipotezy zerowej przeprowadzamy w 
oparciu o n-elementową próbę wykorzystując fakt, że 
statystyka

                ma rozkład            z liczbą stopni swobody  v 
= n – 1.

X

N m

~ ( ;

)



2

H

0

2

0

2

:







H

1

2

0

2

:







(

)

n

s

 1

2

2





2

 

Autor: Janusz Górczyński

24

Test istotności dla wariancji 
(c.d.)

Jeżeli prawdziwa jest H

0

, to statystyka

ma rozkład       z liczbą stopni swobody v = n - 1.

Wnioskowanie:
Jeżeli                             , to H

0

 odrzucamy na 

korzyść H

1

.

Jeżeli                              , to nie mamy podstaw 

do odrzucenia H

0 .





emp

n

s

2

2

0

2

1





(

)



2







emp

v n

2

1

2



 

,







emp

v n

2

1

2



 

,

 

Autor: Janusz Górczyński

25

Test istotności dla dwóch 
wariancji

Niech                             oraz               . 
Na podstawie odpowiednich prób losowych chcemy 
zweryfikować                        przy alternatywie

Statystyka

ma  rozkład Fishera-Snedecora z liczbami stopni 
swobody

                  oraz

                 .

               .

X

N m

1

1

1

~ ( ;

)



X

N m

2

2

2

~ ( ;

)



H

0

1

2

2

2

:







H

1

1

2

2

2

:







F

s

s



1

2

1

2

2

2

2

2





u n

 

1

1

v n

 

2

1

 

Autor: Janusz Górczyński

26

Test istotności dla dwóch 
wariancji (c.d.)

Jeżeli                         jest prawdziwa, to również 
statystyka 
               

ma rozkład Fishera-Snedecora z

 

liczbami stopni 

swobody
                  oraz                      .
Z uwagi na konstrukcję tablic statystycznych, które 
zawierają wartości  tylko dla prawostronnego obszaru 
krytycznego, wartość empiryczną statystyki F  
budujemy tak, aby była większa od 1 (w liczniku 
umieszczamy większą wariancję z próby).

H

0

1

2

2

2

:







F

s
s



1

2

2

2

u n

 

1

1

v n

 

2

1

 

Autor: Janusz Górczyński

27

Test istotności dla dwóch 
wariancji (c.d.)

Wnioskowanie:
1. Obliczamy wartość empiryczną statystyki

2.  Dla  ustalonego    odczytujemy  z  tablic  wartość 

krytyczną 

                        gdzie  u  i  v  są  odpowiednio  liczbami  stopni 

swobody  dla  średnich  kwadratów  w  liczniku  i 
mianowniku

.

3. Jeżeli                           , to                    odrzucamy na 

korzyść 

 

F

s
s

emp



1

2

2

2

F

u v



, ,

F

F

emp

u v





, ,

H

0

1

2

2

2

:







H

1

1

2

2

2

:







 

Autor: Janusz Górczyński

28

Hipotezy nieparametryczne

Hipotezy  tego  typu  dotyczą  z  reguły  zgodności 
rozkładu  empirycznego  z  rozkładem  określonym 
przez  hipotezę  lub  zgodności  rozkładów  pewnej 
cechy  w  kilku  populacjach  bez  określania,  o  jaki 
rozkład chodzi. Z tego też powodu testy służące do 
weryfikacji  takich  hipotez  nazywamy  testami 
zgodności.
Do  najczęściej  stosowanych  testów  zgodności 
należą:
 

2

 (chi-kwadrat) Pearsona

  (lambda) Kołmogorowa-Smirnowa
w  Shapiro-Wilka

 

Autor: Janusz Górczyński

29

Test zgodności

 

Niech hipotezą zerową będzie przypuszczenie, 
że cecha X ma w populacji rozkład określony 
dystrybuantą F

0

(x):

                                        wobec 
Statystyka

przy prawdziwości H

0

 ma asymptotyczny rozkład 

       z liczbą stopni swobody v = k -u - 1.



2

H F x

F x

0

0

: ( )

( )



H F x

F x

1

0

: ( )

( )





2

2







(

)

n n

n

j

j

t

j

t

j



2

 

Autor: Janusz Górczyński

30

Test zgodności            (c.d.)

Wielkość                 jest teoretyczną liczebnością w 
j-tym przedziale, k jest liczbą przedziałów 
klasowych, a u liczbą parametrów szacowanych z 
próby.

Wartość empiryczną statystyki

 

porównujemy z wartością krytyczną 
wnioskując analogicznie jak w pozostałych 
hipotezach.

n

np

j

t

j





2



emp

j

j

t

j

t

j

n n

n

2

2







(

)



 ,v k u

   1

2

 

Autor: Janusz Górczyński

31

Test zgodności Chi-kwadrat

Elementem kluczowym przy wykorzystaniu 
statystyki Chi-kwadrat jest wielkość

))

;

(

(

2

1

j

j

t

j

x

x

x

P

p





Która jest teoretycznym 
prawdopodobieństwem wystąpienia 
obserwacji w j-tym przedziale przy założeniu 
prawdziwości H0.

 

Autor: Janusz Górczyński

32

Test 

2

 zgodności kilku 

rozkładów

Obserwujemy  tę  samą  cechę  w  kilku  populacjach. 
Interesuje nas odpowiedź na pytanie, czy rozkłady te 
są  takie  same  (co  pociąga  za  sobą  równość 
parametrów!).
Jeżeli  dystrybuantę  danej  cechy  w  i-tej  populacji 
oznaczymy jako F

i

, to hipoteza zerowa ma postać:

Zastosowanie  testu  

2

  wymaga  zestawienia  próby  w 

postaci  tabeli  dwukierunkowej.  W  jednym  kierunku 
umieszczamy  poziomy  danej  cechy,  w  drugim 
populacje. 

H F

F

F

k

0

1

2

:

...

  

 

Autor: Janusz Górczyński

33

Test 

2

 zgodności kilku 

rozkładów (c.d.)

Klasy

      Numer populacji

cechy X

1

2

....

k

   1

n

11

n

21

....

n

k1

   2

n

12

n

22

....

n

k2

   :

n

ij

   r

n

1r

n

2r

....

n

kr

 

Autor: Janusz Górczyński

34

Test 

2

 zgodności kilku 

rozkładów (c.d.)

Statystyka testowa ma postać:

gdzie

Przy prawdziwości H

0

 statystyka ta ma rozkład 



2 

Pearsona z liczbą stopni swobody v=(k-1)(r-1).

Wnioskowanie przebiega analogicznie jak przy 
innych hipotezach.







2

2

1

1













n

n

n

ij

ij

t

ij

t

j

r

i

k

n

n n

n

ij

t

i

j









 

Autor: Janusz Górczyński

35

Podejmowanie decyzji 
weryfikacyjnych na podstawie 
krytycznego poziomu istotności

Dotychczas 

podejmowaliśmy 

decyzje 

weryfikacyjne  poprzez  zbadanie,  czy  wartość 
empiryczna  statystyki  testowej  znajduje  się  w 
obszarze  krytycznym  danej  hipotezy  (przy  z  góry 
ustalonym poziomie istotności ).
W  pakietach  statystycznych  stosuje  się  inne 
podejście  polegające  na  obliczeniu  dla 
konkretnej 

statystyki 

z 

próby 

prawdopodobieństwa  odrzucenia  hipotezy 
zerowej. 

Prześledźmy 

to 

na 

przykładzie 

weryfikacji hipotezy

H m m wobec H m m

0

0

1

0

:

:





 

Autor: Janusz Górczyński

36

Krytyczny poziom istotności 
(c.d.)

Dla wartości empirycznej statystyki  t

emp

 wyznaczonej 

na podstawie n-elemnetowej próby obliczane jest 
prawdo-podobieństwo otrzymania wartości statystyki 
testującej co najmniej tak dużej, jak ta uzyskana z 
próby, czyli

Kryterium odrzucenia hipotezy zerowej jest 
relacja wyznaczonego prawdopodobieństwa do 
przyjętego poziomu istotności .

Jeżeli          , to 

 

H

0

 odrzucamy

.

Jeżeli            , to nie mamy podstaw do odrzucenia 
H

0

.

p P t t

emp





(

)

p



p

