©M     

Funkcje trygonometryczne 

dowolnego kąta.

 

©M     

x

y

Umieszczamy kąt w układzie współrzędnych

REGUŁY:



 

wierzchołek  kąta  ( 0

0 

   360

0 

)  jest 

początkiem      układu  współrzędnych,



x

p

 

odcięta

y

p

   rzędna

r -  
promień  
wodzący 

P(x

p

,y

p

)  

.



 

pierwsze ramię kąta  pokrywa się z dodatnią 

półosią x



 drugie ramię kąta odkładamy w kierunku 

przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i 
nazywamy  ramieniem  wodzącym

 

©M     

Jeżeli P(x

p

,y

p

) jest punktem  na ramieniu 

wodzącym kąta, a r jest promieniem 
wodzącym punktu  P, to

wartości stosunków                          nie  
zależą od wyboru punktu P.

y

x

,

x

y

,

r

y

,

r

x

p

p

p

p

przykład

Ramię wodzące kata  przechodzi przez punkt A(-

2,-5), to    jest kątem należącym do III ćwiartki. 

Promień  wodzący                                 a wymienione 
 stosunki są równe                      

29

25

4

r







2

5

x

y

,

5

2

y

x

,

29

5

r

y

,

29

2

r

x

A

A

A

A

A

A













Jeżeli P(x

p

,y

p

), to 

2

p

2

p

y

x

r





 

©M     

Sinusem  kąta  nazywamy 

stosunek rzędnej dowolnego  
(różnego  od wierzchołka)  punktu 
wybranego na ramieniu wodzącym 
kąta  do promienia wodzącego tego 
punktu.

x

y

x

p

 

y

p

   

r

y

sin

p







r

P(x

p

,y

p

)  

.

 

©M     

Cosinusem  kąta  nazywamy 

stosunek odciętej dowolnego  
(różnego  od wierzchołka)  punktu 
wybranego na ramieniu wodzącym 
kąta  do promienia wodzącego tego 
punktu.

x

y

x

p

 

y

p

   

r

x

cos

p







r

P(x

p

,y

p

)  

.

 

©M     

Tangensem  kąta  nazywamy 

stosunek rzędnej dowolnego  
(różnego  od wierzchołka)  punktu 
wybranego na ramieniu wodzącym 
kąta  do odciętej tego punktu.

x

y

x

p

 

y

p

 

  

p

p

x

y

tg 





r

 założenie:  x

p

  0, więc funkcja 

tangens nie jest określona dla 
kątów 90

o

 i 270

0

. 

P(x

p

,y

p

)  

.

 

©M     

Cotangensem  kąta  nazywamy 

stosunek odciętej dowolnego  
(różnego  od wierzchołka)  punktu 
wybranego na ramieniu wodzącym 
kąta  do rzędnej tego punktu.

x

y

x

p

 

y

p

   

p

p

y

x

ctg 



założenie:  y

p

  0, więc 

funkcja cotangens nie jest 
określona dla kątów 0

o

, 180

0

 i 

360

0

 .

r



P(x

p

,y

p

)  

.

 

©M     

Znaki funkcji trygonometrycznych w 
poszczególnych  ćwiartkach układu  
współrzędnych.



I

II

III

IV

sin

+

+





cos

+





+

tg

+



+



ctg

+



+



W pierwszej ćwiartce  same plusy, w drugiej 
 tylko sinus, w trzeciej tangens  i  cotangens 
a w czwartej cosinus.

 

©M     

Wartości  funkcji trygonometrycznych  dla 

wybranych kątów.



0

0

90

0

180

0

270

0

360

0

sin

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-1

0

1

tg

0

nie  

istnie

je

0

nie  

istnie

je

0

ctg

nie  

istnie

je

0

nie  

istnie

je

0

nie  

istnie

je

 

©M     

x

y

x

y

1

1

.

P

A

60

0

1

1

1

45

0

.

P

x

y

1

1

30

0

.

P

Oblicz wartości funkcji 
trygonometrycznych na  
podstawie rysunków 
wiedząc, że  wysokość 
trójkąta równobocznego o  
boku 

a wynosi              

natomiast przekątna  
kwadratu

 

2

3

a

2

a

 

©M     



30

0

45

0

60

0

sin

cos

tg

1

ctg

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

3

2

3

3

3

3

3

3

3

 

©M     

 

1

 

2

x

y

1

1

Skonstruować kąt  , wiedząc, że

1.

 

4

3

sin 



2.

3

1

cos







przyjmujemy, że y

p

 = 3   i   

r = 4

przyjmujemy, że x

p

 = -1   i   

r = 3

y = 

3

1

x

y

1

 

1

 

2

x = 

-1

 

©M     

3.

 

2

1

tg 



4.

 

3

ctg







1

x

y

1

1

x

y

1

przyjmujemy, że y

p

 = 1   i   

x

p

 = 2

lub 

y

p

 = -1   i   x

p

 = -2

przyjmujemy, że x

p  

=3  i y

p

 

= -1

lub  

x

p

  = -3  i y

p

 = 1



1

 

2

y 

=1

x = 2

y  = 

-1

x =3

 

1

 

2

 

©M