Fizyka II

 

 

 

Zagadnienia

• Elektromagnetyzm
• Elementy mechaniki kwantowej
• Elementy fizyki ciała stałego

 

 

Elektromagnetyzm

• Elektrostatyka
• Prąd stały
• Magnetyzm
• Zjawiska elektro-magnetyczne

 

 

Elektrostatyka

• Ładunek elektryczny
• Prawo Coulomba
• Pole elektryczne
• Natężenie pola 
• Potencjał pola i napięcie

 

 

Ładunek elektryczny

- 

Elektryzowanie przedmiotów przez pocieranie

- Przyciąganie , odpychanie dwa rodzaje elektryczności

- Ładunek elektryczny q

- Dodatni (szkło, skóra), ujemny (futro, ebonit)

-[q] – 1 C (kulomb) -= 1 A s

 

 

Elektroskop

 

 

Elektryzowanie przez tarcie i 

przez indukcję

 

 

Prawo Coulomba

 

 

 

 

Siła Coulomba

12

3

12

2

1

0

12

12

2

12

2

1

2

1

r

r

q

q

4

1

r

r

r

q

q

k

F















q

1

q

2

r

12

+

-

+

-

 

 

Superpozycja sił Coulomba

 

 

Pole elektryczne

 

 

Pole 

elektryczne

 

 

Pole ładunku punktowego

 

 

Pole ładunków jednakowego 

znaku

 

 

Dipol elektryczny

 

 

Jak można zobaczyć linie 

pola?

 

 

Obraz pola ładunków 

jednoimiennych

 

 

Obraz pola dipola 

elektrycznego

 

 

Pole dipola magnetycznego

 

 

Porównanie dipoli elektr. i 

magnet.

 

 

Natężenie pola

 

 

 

 

Jak liczyć natężenie pola 
gdy ładunek nie jest punktowy?

 

 

 

 

 

 

Potencjał 
pola

     Napięcie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dipol w jednorodnym polu 

elektryczny

 

 

 

 

Elektrostatyka

• Prawo Gaussa
• Przewodnik izolowany
• Pojemność elektryczna 
• Kondensatory
• Dielektryki
• Energia pola elektrycznego

 

 

 Definicja pola

Pole możemy zdefiniować na dwa sposoby

:

• matematycznie 

 jako 

przestrzenny rozkład  
                             liczb   

(pole 

skalarne),
  

lub przestrzenny rozkład wektora,

  

(pole wektorowe)

 

• fizycznie 

 jako przestrzenny 

rozkład 

                   wielkości fizycznej 

Zajmijmy się w dalszym ciągu polami 
fizycznymi

.

Wiemy, że wielkości fizyczne mogą być 
skalarne, wektorowe, a nawet tensorowe. 
Zobaczmy poniższe przykłady. 

 

 

W danym punkcie przestrzeni pole 
opisane jest przez pewną funkcję:   

)

,

,

(

z

y

x

f

f 

Pole może być płaskie lub przestrzenne.
Stałe wartości pola są wyznaczone przez 

izopowierzchnie

lub 

izolinie

.

  

Pole wektorowe  scharakteryzowane jest przez
wektor pola 

)

(r

v 



.

Liniami pola wektorowego nazywamy linie 
wyznaczające kierunek pola. 
Wektor pola jest w każdym punkcie styczny do 
linii pola.

 

 

v

S

dS









S

S

d

v







Pojęcia matematyczne przydatne do 
opisu pola

Strumień wielkości wektorowej

Strumień wielkości wektorowej

 

v przez 

powierzchnię ds. reprezentowanej przez wektor 
dS. normalny skierowany na zewnątrz 
powierzchni zamkniętej powierzchni jest równy

 

iloczynowi składowej normalnej wektora v przez 
pole powierzchni dS

 

 

dS

dS

dS

v

v

v

v













0

v 
S

60

o

½ v 
S

 

 

Gradient  pola

                  

Jeśli chcemy wyznaczyć 

przyrost funkcji

                  pola skalarnego  

)

(r

s 

przy zmianie
 

 

położenia 

r

d

 

to w układzie kartezjańskim

gdzie

)

,

,

(

z

y

x

f

s 

, 

przyrost ten 

jest

sumą iloczynów pochodnych funkcji 

f

względem współrzędnych i 
różniczek współrzędnych.

dz

z

f

dy

y

f

dx

x

f

ds



















 

 

Przyrost ten możemy przedstawić jako iloczyn skalarny dwóch
wektorów,

r

d

gradf

ds







gdzie 

0

0

0

z

dz

y

dy

x

dx

r

d















a

0

0

0

z

z

f

y

y

f

x

x

f

f

grad

























Aby uzyskać gradient funkcji musimy na nią podziałać pewnym
operatorem, który nazywamy

  - 

nabla.

0

0

0

z

z

y

y

x

x





























 

 

f

f

grad







Dla przypomnienia zdefiniujmy sobie jeszcze dwie pozostałe

wielkości przy pomocy których możemy scharakteryzować

pole fizyczne.

Są to:

Diwergencja

i

rotacja

 

 

Dywergencja funkcji wektorowej

Dywergencję wektora pola

  v(r) 

otrzymamy, jeśli dodamy dodamy do siebie 
pochodne składowych wektora względem 
odpowiednich współrzędnych.

z

v

y

v

x

v

v

div

z

y

x





















Pamiętając, że wektor 

0

0

0

z

v

y

v

x

v

v

z

y

x















,

możemy napisać, że

v

v

div













 

 

Strumień wektora    
powierzchnię zamkniętą 
jest powiązany
z dywergencją tego 
wektora 
następującą zależnością:

dV

v

v

dV

v

div

S

d

v

S













S





W oparciu o ten wzór możemy stwierdzić, że 

dywergencja

 jest

przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego.

 

 



















S

V

S

S

d

v

S

d

v

dV

v

div

V











1

lim

0

1

 

 

Cyrkulacja (krążenie) pola wektorowego.

Niech     będzie dowolnym polem wektorowym, a 

ds

v

s

d

v

C

t



















v

s

d

s

d

s

d

v

v

v



s

d

niech będzie styczną 
do

      zaznaczonej 
krzywej

 



wtedy całkę 
     krzywoliniową

nazywamy 

cyrkulacją pola wektorowego 

po krzywej 
zamkniętej.

t

v

 

 

Rotacja pola wektorowego.

Rotacją pola wektorowego     

nazywamy iloczyn wektorowy

Operatora wektorowego      i wektora pola      .





v

v

v

rot

 

v













Rotacja       jest wektorem, którego 
składowe są równe:

v

0

x

0

z

0

z

z

)

y

v

x

v

(

y

)

x

v

z

v

(

)

z

v

y

v

(

v

rot













































y

x

y

x

 

 

 

 

 

 

Przewodnik izolowany

 

 

 

 

Wyznaczanie natężenia pola 

elektrycznego od obiektów o wysokiej 

symetrii

.

•Jednorodna przewodząca kula

•Jednorodny nieskończony pręt

•Nieskończona naładowana płaszczyzna

 

 

Pojemność 
elektryczna

Kondensatory

 

 

 Pojemność 
elektryczna

 Pole nieskończonej naładowanej 
warstwy

x

z

y

+


E

1

dS

1

S

1

E

2

dS

2

S

2

-ładunek 

powierzchniow
y

 

 

Natężenie pola elektrycznego pochodzące od 
nieskończonej naładowanej warstwy możemy 
wyznaczyć dwoma sposobami, metodą superpozycji, 
oraz w oparciu o prawo Gaussa.

Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień 
jest równy

0



Q





Linie natężenia pola elektrycznego są prostopadłe 
do naładowanej  płaszczyzny, wobec tego całkowity 
strumień wynosi:

)

(

2

2

1

1











S

S

d

E

S

d

E











Widzimy z 
rysunku, że

2

1

2

1

,

E

E

S

d

S

d

















Całkowity strumień jest więc 
równy:

 

 

0

0

2









S

Q

S

E











Czyli:

0

2







E



Pole pochodzące od tej warstwy wygląda 
następująco:

y

z

0

0

ˆ

2

y

E









0

0

ˆ

2

y

E











 

 

Pole między dwoma naładowanymi 
warstwami + i -

Zastanówmy się jaka jest wartość pola pomiędzy 
dwoma przeciwnie naładowanymi warstwami.

+

-

0

2





0

2





0

2





0

2





y

0





0

0

 

 

Kondensator

 

płaski

+Q

-Q

Eˆ

Zajmijmy się układem dwóch płasko-równoległych 
przewodników (elektrod) o powierzchni S 
położonych w odległości d od siebie. Elektrody są 
naładowane odpowiednio ładunkami +Q i –Q.
Układ taki nazywamy kondensatorem płaskim. 

d

S

Gęstość 
powierzchnio
wa ładunku 
wynosi:

 = Q/S

Pole wewnątrz elektrod  z pominięciem efektów 
brzegowych jest jednorodne.

  Niech różnica potencjałów pomiędzy elektrodami 
wynosi V.

 

 

Oznaczmy tą różnicę 
przez 

)

(

2

)

(

1









V

V

V

.

Z zależności pomiędzy potencjałem a natężeniem 
pola elektrycznego otrzymujemy, że:

d

V

d

V

V

E











)

(

2

)

(

1

Widzimy więc, 
że:                     
    

d

E

V





, a korzystając z 
obliczonej 

 poprzednio wartości natężenia pola 
elektrycznego pomiędzy dwoma naładowanymi 
płaszczyznami otrzymujemy: 

S

d

Q

V







0



 

 

Wprowadźmy pojęcie pojemności 

kondensatora 

jako

 

współczynnika we wzorze:

V

C

Q





Pojemność kondensatora płaskiego 
wynosi więc:

d

S

C





0



V

d

S

Q





0



 

 

Kondensator kulisty

Rozpatrzmy układ dwóch współśrodkowych czasz 
kulistych naładowanych odpowiednio ładunkami 
+Q i –Q.

-Q

+
Q r

1

r

2

E

d
S

Pole elektryczne dla 
takiego układu jest polem 
radialnym, więc

)

(r

E

E







Policzmy strumień pola 
elektrycznego 
przechodzącego przez 
powierzchnię kuli w 
środku „0” i promieniu R

2

1

r

R

r





.

E

R

S

d

E

S

d

E











2

4









R

 

 

Z prawa Gaussa 
otrzymamy:

2

0

0

2

4

4

R

Q

E

Q

E

R













dla dowolnego R z podanego poprzednio 
przedziału.

Różnica potencjałów V=V

1 

– V

2 

 wartość:

2

1

1

2

0

0

2

0

4

1

4

4

2

1

2

1

2

1

r

r

r

r

Q

r

Q

r

dr

Q

dr

E

V

r

r

r

r

r

r

r

















 



























Zgodnie z wzorem otrzymujemy na pojemność 
kondensatora  złożonego z dwóch czasz kulistych 
wyrażenie:

 

 

1

2

2

1

0

4

r

r

r

r

C









Z wyrażenia tego widać, że gdy                   
pojemność kondensatora kulistego, inaczej 
mówiąc pojemność przewodnika będącego kulą 
jest równa:





2

r

1

0

4

r

C







Jednostką pojemności w układzie SI jest 
FARAD.





2

4

1

2

1

1

1

1

A

s

kg

m

V

C

F









Pojemność kuli ziemskiej, R~6.4 10

6

 m, C = 710 

F, a kula o pojemności 1F ma promień 9 10

6 

km.

 

 

Pow.

+Q

-Q

a

b

l

r

Kondensator cylindryczny.

Kondensator cylindryczny składa się z dwóch 
współśrodkowych cylindrów o p promieniach a i b.

Stosując Prawa 
Gaussa dla 
dowolnej 
odległości r od 
środka walców 
otrzymujemy, że 

0

2





Q

rl

E





Na wartość potencjału otrzymamy więc 
wyrażenie:

 

 





















































a

b

l

Q

a

b

l

Q

b

a

l

Q

dr

r

l

Q

dr

rl

Q

Edr

V

a

b

a

b

a

b

ln

2

ln

ln

2

ln

ln

2

1

2

2

0

0

0

0

0



























a

b

l

V

Q

C

ln

2

0



Pojemność kondensatora cylindrycznego 
wynosi więc:

 

 

Łączenie kondensatorów
Połączenie równoległe

+Q

1

-Q

4

C

1

V

1

V

2

C

2

C

3

C

4

+Q

2

+Q

3

+Q

4

-Q

2

-Q

3

-Q

1

Potencjał V = V

1 

– V

2 

 jest taki sam na każdym 

kondensatorze.

Ładunek, który znajduje się na każdym z 
kondensatorów

V

C

Q

i

i





, a całkowity ładunek





i

i

Q

Q

.

Otrzymujemy więc













i i

i i

C

V

V

C

Q

. Czyli





i

i

C

C

 

 

Połączenie szeregowe

V

1

+Q

+Q

+Q

+Q

 -Q

-Q

-Q

-Q

V

C

1

C

2

C

3

C

4

V

2

V

3

V

4

Ładunki na okładkach kondensatorów połączonych 
szeregowo są jednakowe. Całkowita różnica 
potencjałów jest równa sumie różnic potencjałów 
między okładkami poszczególnych kondensatorów    
                   .





i i

V

V

i

i

C

Q

V 

Wiemy, że                                
czyli







1

/

1

i

C

Q

V

.





i

i

C

C

1

1

 

 

Ziemia jako kondensator 
kulisty

Mimo, że wydaje się nam, że Ziemia jest ładunkowo 
obojętna, to doświadczenie uczy, że tak nie jest. Na 
Ziemi zachodzi szereg zjawisk charakterystycznych 
dla ciał naładowanych. Znane nam są wszystkim 
wyładowania atmosferyczne w czasie burz, ale jak 
jest w czasie gdy nie ma burz.
Okazuje się, że w atmosferze istnieje pionowe pole 
elektryczne o natężeniu E ~ 100V/m. Co 1 m 
wysokości potencjał wzrasta o 
100 V. Ładunek Ziemi jest ujemny.

Warunkiem istnienia pola jest:

1. Obecność jonów w atmosferze,

2.    Rozdzielenie istniejących ładunków przez 

jakiś mechanizm.

Ad. 1.  Przypuszczano, że obecność jonów w 
atmosferze związana jest z naturalna 
promieniotwórczością. Wtedy liczba  

 

 

jonów powinna być największa przy powierzchni 
Ziemi. Stwierdzono jednak, że liczba jonów rośnie z 
wysokością i osiąga maksimum na wysokości 
powyżej 50 km, na wysokości gdzie rozciąga się 
tzw. jonosfera. 

  

Jonizacja jest wywoływana przez 

promieniowanie kosmiczne.

Ad 2. Ziemia ma ładunek ujemny a potencjał 
powietrza jest dodatni.

+ + + + + + + + + + 

50 km

400000 
V

Prąd
10

-2

 jonu/(s m

2)

Stale więc 
płynie prąd 
ładunków 
dodatnich z 
atmosfery do 
Ziemi.

Całkowity prąd 
ma moc ok. 700 
MW

 

 

 Materia w polu 
elektrycznym

Na każdy ładunek umieszczonej w polu 
elektrycznym materii działa siła wynikająca z 
prawa Coulomba. Ze względu na różną ruchliwość 
ładunków w różnych materiałach można 
zaobserwować następujące zjawiska:

a). 

W przewodniku

 ruchliwe elektrony 

zostają przesunięte w stosunku do dodatnich 
atomów, co daje rozdzielenie ładunków 
dodatnich od ujemnych, czyli tzw. 

zjawisko 

indukcji. 

b). 

W izolatorach

 nośniki ładunku zostają 

przesunięte tylko nieznacznie, obserwujemy 
tzw. 

polaryzację.

Rozważmy przewodnik umieszczony w polu 
elektrycznym. Znajdujące się w nim swobodne 
elektrony będą przesuwały się w określonym 
kierunku.

 

 

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-
-
-
-
-
-
-

+
+
+
+
+
+
+

Eˆ

.

ˆ

Cond

E

Doprowadzi to do nagromadzenia się na ściankach 
przewodnika tzw. ładunku indukcyjnego. Ładunek 
ten generuje wewnątrz przewodnika pole 
elektryczne skierowane przeciwnie do pola 
zewnętrznego.

Przesuwanie się ładunku trwa tak długo, aż 
wypadkowe pole wewnątrz przewodnika osiągnie 
wartość zero.

 

 

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-
-
-
-
-
-
-

+
+
+
+
+
+
+

Eˆ

.

ˆ

Cond

E

ładunki 
indukcyjne

Zastanówmy się teraz jak wygląda sytuacja, gdy w 
polu elektrycznym umieścimy materiał nie 
przewodzący ładunku.

Doświadczenie uczy nas, że jeśli pomiędzy dwa 
ładunki wprowadzimy izolator, to maleje siła 
kolumbowska działająca pomiędzy ładunkami.

 

 

Omówmy ten problem na przykładzie kondensatora 
płaskiego.

C

1

C

2

powietrz
e

dielektr
yk

Po włożeniu dielektryka pomiędzy okładki 
kondensatora płaskiego, na pewno nie zmienił się 
ładunek na okładkach a jednak zmalał potencjał jak 
wskazał elektroskop. Zgodnie ze wzorem musiała 
wzrosnąć pojemność kondensatora. Równocześnie 
spadek potencjału na okładkach oznacza spadek 
natężenie pola elektrycznego wewnątrz okładek.  

 

 

 Materia w polu 
elektrycznym

Zastanówmy się nad faktem wzrostu pojemności 
kondensatora, do wnętrza którego włożyliśmy 
dielektryk. Jak wytłumaczyć fakt zmniejszenia się 
natężenia pola elektrycznego wewnątrz 
kondensatora.

– –

 – 

– –

 – 

– –

 – 

– –

 

– –

+  +

  +

  +

  +

   

+  

+  

+  

+ 

–  

–  

–  

–  

 – 

 – 

 – 

 – 

 

–  

 – 

 

+ +

 +

 +

 +

 +

 +

 +

 

+ +

 +

 +

E

0

E

A

Według prawa Gaussa strumień 
natężenia pola elektrycznego 
jest bezpośrednio związany z 
ładunkiem wewnątrz 
powierzchni A dla której ten 
strumień liczymy. Zmniejszenie 
się natężenia pola oznacza że 
wypadkowy ładunek wewnątrz 
powierzchni A jest mniejszy niż 
wtedy gdy nie ma tam 
dielektryka. Wynika stąd, że  na 
powierzchni  dielektryka 
wewnątrz powierzchni A muszą 
być ładunki                ujemne.



pol

 

 

Ładunków jest mniej niż dodatnich, gdyż pole nie 
znika zupełnie. Na drugiej powierzchni izolatora 
wytwarza się ładunek dodatni.
Ładunek pojawiający się na izolatorze umieszczonym 
w polu elektrycznym nazywamy ładunkiem 
polaryzacyjnym.

Pojawianie się tego ładunku związane jest z 
indukowaniem się i uszeregowaniem dipoli 
elektrycznych w dielektryku, lub tylko 
uszeregowaniem istniejących dipoli.

Gdybyśmy pomiędzy okładki kondensatora włożyli 
przewodnik, to ładunek polaryzacyjny byłby 
identyczny jak ten na okładkach. Pole wewnątrz 
przewodnika byłoby równe 0. Pole istniałoby tylko w 
małych szczelinach między okładkami a 
przewodnikiem.

– –

 – 

– –

 – 

– –

 – 

– –

 

– –

+  

+  

+  

+  

+  

 +

  +

  +

  +

 

–  

–  

–  

–  

 – 

 – 

 – 

 – 

 

–  

 – 

 

+ +

 +

 +

 +

 +

 +

 +

 

+ +

 +

 +

E

0

E

Również w tym 
przypadku 
zaobserwujemy wzrost 
pojemności 
kondensatora.

 

 

Wektor polaryzacji P

W izolatorach w przeciwieństwie do przewodników 
ładunki nie mogą się swobodnie poruszać. Jednak w 
atomach i cząsteczkach może nastąpić 
przemieszczenie się ładunku pod wpływem pola 
elektrycznego.

-

-

- - -

-

-

-

-

-

+

-

- -

-

-

-

-

-

--

-

+



E

Na wskutek 
działania pola 
nastąpiło 
przesunięcie 
ładunków o 

.

Pod wpływem pola elektrycznego następuje 
również przesunięcie jonów w kryształach.

Istnieją również cząsteczki posiadające moment 
dipolowy wynikający z ich struktury. Dipole te 
polaryzują się pod wpływem pola E.

 

 

Przykładem struktur posiadających moment 
dipolowych są np. CO, SO

2

, H

2

O, HCl, NH

3

, C

2

H

5

OH.

H

+

H

+

H

+

-

O

105

0

Cl

-

p

e

 =3.4·10

-30

 C·m

p

e 

=6.2·10

-30

 C·m

Jeśli w przypadku atomu czy cząsteczki ładunek 
przesunie się o , to moment dipolowy  będzie 

równy p = q .
Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N atomów 
które mogą polaryzować,  to moment dipolowy na 
jednostkę objętości







q

N

P 

 

 

Wektor P nazywamy wektorem 
polaryzacji.

+Z
e

-Ze



Zastanówmy się od czego 
ten wektor zależy. 
Przesunięty o  ładunek Ze 

oddziaływuje tylko z częścią 
chmury elektronowej  o 
promieniu .

E

F

1

F

2

Natężenie pola elektrycznego pochodzące od 
ładunku polaryzacyjnego ma wartość:

3

2

3

2

a

Ze

a

Ze

Q

E

pol

pol





























Ze jest ładunkiem 
całej kuli o 
promieniu a.

Promień 
a

 

 

Równowaga nastąpi wtedy gdy                     . 
Oznacza to, że

E

E

 

pol







E

a

Ze



3





.

Widać więc, że moment dipolowy jest 
proporcjonalny do natężenia zewnętrznego pola 
polaryzującego. Jest tak przynajmniej dla  
niedużych pól.

Ładunek polaryzacyjny

Wewnątrz dielektryka wprowadzonego do 
kondensatora pojawi się ładunek 
polaryzacyjny.
Rozważmy płytkę dielektryka umieszczoną w 
jednorodnym polu elektrycznym

 

 

E

E

–  –  –  –  –  –  –  –  –  –

+  +  +  +  +  +  +  
+  +  +



±  ±  ±  ±  ±  ±  ±  
±  ±  ±

P

Pole 
powierzchni    
            A

Widzimy, że na wskutek polaryzacji dielektryka w 
polu elektrycznym następuje przesuniecie się 
ładunku.  Na powierzchni A pojawia się ładunek 

N

q

A

q

A











.

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

 

 

Gęstość powierzchniowa ładunku 
polaryzacyjnego wynosi więc:

N

q

A

N

q

A

pol













.

Jest to dokładnie bezwzględna wartość wektora 
polaryzacji| |P| , czyli

P

pol







Widzimy więc, że gęstość powierzchniowa 
ładunku na powierzchni dielektryka jest równa 
wartości wektora polaryzacji w jego wnętrzu.

Rozważmy jeszcze raz naładowany kondensator 
wypełniony dielektrykiem. 

 

 

– –

 – 

– –

 – 

– –

 – 

– –

 

– –

+  

+  

+  

+  

+  

 +

  +

  +

  +

 

–  

–  

–  

–  

 – 

 – 

 – 

 – 

 

–  

 – 

 

+ +

 +

 +

 +

 +

 +

 +

 

+ +

 +

 +



pol



swob

A

W celu znalezienia wypadkowego natężenia pola 
elektrycznego, zastosujmy do zaznaczonej czerwonej 
powierzchni Prawo Gaussa .

0







A

A

A

E

pol

swob











0







pol

swob

E





 

 

0





P

E

swob







.

Pamiętamy, że wektor polaryzacji dielektryka P 
zależy od natężenia zewnętrznego pola 
elektrycznego E. Tą zależność zapisuje się zwykle 
w postaci:

E

P





0







Wielkość 



 nazywamy 

podatnością

 elektryczną 

dielektryka.

Podatność elektryczna nie zawsze musi być 
liczbą.W wielu przypadkach jest wielkością 
tensorową. Gdy mamy cząsteczkę o wyróżnionej 
osi symetrii ( nie sferę), to można się 
spodziewać się innego przesunięcia ładunku 
wzdłuż osi

 

 

Cząsteczki niż w kierunku prostopadłym do niej. 
Zachodzi to np. dla cząsteczki CO

2

.

O

O

C

Może być tak, 
że:

E

P

E

P









2

0

||

1

0

||

















E

E

||

E



P

P



P

||

Widzimy więc, że 
wektor polaryzacji może 
nie być równoległy do 
wektora pola 
elektrycznego.

 

 

z

y

x

z

y

x

E

P

,

,

0

,

,











Gdzie,























zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx





















,

,

,

,

,

,

Element 

xz

 oznacza, że składowa E

x

 natężenia 

pola elektrycznego daje przyczynek do składowej 
P

z

 wektora polaryzacji, itp..

Zwykle tensor podatności elektrycznej jest 
symetryczny, tzn.


xy 

= 

yx

,  

xz

 =  

zx

 ,  

zy

 =  

yz

 .

 

 

Tensor ten jest więc opisany przez sześć  elementów.
Można znaleźć układ współrzędnych w którym  jest tensorem 

diagonalnym. 

W oparciu o te wzory możemy napisać:

0

0







E

E

swob





Po krótkich przekształceniach 
otrzymujemy:

























1

1

0

swob

E

Widzimy więc, że E < E

swob

. Wielkość 









1

Wielkość  nazywamy

 

stałą dielektryczną lub 

przenikalnością elektryczną ośrodka.

 

 

Możemy napisać wyrażenie na pojemność 
kondensatora płaskiego wypełnionego 
dielektrykiem.

d

A

A

d

d

E

A

V

Q

C

swob

0

0

)

1

(





















 

 

Równania elektrostatyki w 
dielektrykach

Prawo Gaussa w formie całkowej ma następującą 
postać:

0

0





















A

swob

pol

swob

a

A

d

P

Q

Q

Q

A

d

E









Można to również 
zapisać tak:

0

0





swob

A

Q

A

d

P

E



























Forma różniczkowa Prawa Gaussa wygląda 
następująco:

0

0











P

div

E

div

swob

pol

swob













.

 

 

Po przekształceniu ostatniego wzoru otrzymujemy:  

0

0







swob

P

E

div





























 

0

1









swob

E

div

E

div











,

oraz







A

swob

Q

A

d

E

0









.

 

 

Wektor przesunięcia D

Ze względów historycznych przyjęło się 
wprowadzać wektor D zwany wektorem 
przesunięcia  zdefiniowany następująco:

P

E

D











0



Wprowadzając do tego wzoru wyrażenie na 
polaryzację możemy napisać:

E

E

E

E

D











0

0

0

0

)

1

(

























Należy pamiętać, że   i  są tensorami.

Współczynnik 

 

(

 (1+)

)

 

nazywamy

 

względną przenikalnością dielektryczną 
ośrodka. 

 

 

Wszystkie dotychczasowe rozważania  nie 
wpływają na zachowawczość pola E . Dalej 
słuszne jest równanie rot E = 0. Równanie to 
razem z prawem Gaussa w formie różniczkowej 
pozwala wyznaczyć pole E z dokładnością do 
stałej addytywnej.









A

swob

swob

Q

A

d

D

D

div









 

 

Dielektryk z trwałymi momentami 
dipolowymi

Przyłożone pole elektryczne może uszeregować 
dipole. To porządkujące działanie pola jest 
niszczone przez ruchy termiczne. Można więc 
przypuszczać, że stopień uporządkowania 
dielektryka polarnego będzie określony przez 
relację pomiędzy energią potencjalną uzyskiwaną 
przez działania zewnętrznego pola o natężeniu E, a 
energią kinetyczna ruchu termicznego.

Energia potencjalna dipola umieszczonego w polu 
o natężeniu E jest dane przez :



cos

PE

E

P

E

pot















 

 

kT

E

Np

P

3

2

0





Zgodnie z wzorami (P=

0

E) i  (1+=), 

otrzymujemy, że:

kT

Np

0

2

0

3

1









.

Polaryzacja dielektryka polarnego jest 
proporcjonalna do przyłożonego natężenia pola 
elektrycznego i odwrotnie proporcjonalna do 
temperatury. 

Zależność polaryzacji od 1/T 

nazywamy prawem Curie.

Widzimy również, że dla dielektryków polarnych 
podatność dielektryczna czy też stała dielektryczna 
jest malejącą funkcją temperatury T.

 

 

1/T



1

Ten kąt jest miarą 
polaryzacji, gdyż

2

0

)

1

(

p

T









Pomiar  dla różnych temperatur pozwala ustalić 

czy mamy do czynienia z dielektrykiem polarnym 
czy nie.

 

 

Gęstość energii pola elektrycznego

 

 

Gęstość energii pola

 

elektrycznego

Rozważmy jednorodne pole elektryczne zawarte 
pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego 
naładowanego ładunkiem Q. Przeniesienie z 
okładki na okładkę ładunku dQ wymaga   
                                                             wykonania 
pracy dW.        

-Q

+Q

V

L

dQ

+



Jeżeli przeniesiemy z ujemnej 
płyty ładunek +dQ na dodatnią 
płytę, to wykonamy pracę 
przeciwko polu elektrycznemu 
równą

V

dQ

L

L

V

dQ

l

d

E

dQ

dW

l

























Na wskutek przeniesienia ładunku z 
okładki ujemnej na dodatnią napięcie na 
kondensatorze wzrośnie o dV.

A 

powierzchnia

 

 

-
(Q+dQ
)

L

dQ

+



+
(Q+dQ)

V+dV

Wobec tego 

dQ = C dV. 

Możemy więc napisać:

dW = C V dV . 

Po całkowaniu, 
otrzymujemy:

      

C

Q

CV

dV

V

C

W

V

2

2

0

2

1

2

1













Wykonana praca została zmagazynowana w 
kondensatorze jako energia potencjalna (W = U

 

). 

Może ona zostać wykorzystana do wykonania 
pracy przez kondensator.
Czyli,

2

2

1

V

C

U





Pamiętając, że 

C =

0 

A/L, a 

V=L E, 

2

0

}

{

2

1

E

L

A

U















 

 

Możemy więc wyliczyć gęstość energii pola 
elektrycznego, która wynosi:

E

E

L

A

E

U

p













0

2

1



i dalej:

E

D

U









2

1

Ponieważ dowolne pole można na małym obszarze 
traktować jako jednorodne, wzór ten stosuje się 
również do pól niejednorodnych.

d

Linie 
ekwipotencja
lne

mikro-objętość pola , którą 
można uważać za mały 
kondensator.

 

 

Pomiędzy okładkami kondensatora działają siły, 
które można wykorzystać do dokładnego pomiaru 
napięcia.

-Q

+
Q

A

F

x

dx Wirtualne rozsunięcie 

okładek o dx powoduje 
zmniejszenie  energii 
pola. Ładunek spływa z 
powrotem do baterii.
Wiemy, że energia pola 
jest równa

V

2

2

1

V

C

U





.

 

 

Prąd elektryczny

Natężenie prądu, wektor gęstości prądu

Prawo zachowania 
ładunku

Model przewodnictwa elektrycznego

 

 

Prąd elektryczny                           
         

Natężenie prądu, wektor gęstości 

prądu

Opuszczamy rozważanie stabilnych rozkładów 
ładunków i od tej chwili pozwalamy im się 
poruszać.

W 
elektrostatyce:

1. Powierzchnie przewodników są powierzchniami 

ekwipotencjalnymi,

2. Ładunki są rozmieszczone na powierzchni i 

spoczywają,

3. Wewnątrz przewodników natężenie pola E jest 

równe zero,

Połączmy przewodnikiem dwa naładowane 
elektroskopy  i zobaczmy co się dzieje.

 

 

+Q

-Q

V

1

V

2

Po połączeniu elektroskopów następuje w 
krótkim czasie wyrównanie ładunków. Co 
natomiast dzieje się z potencjałem?

t=0

V

0 

= V

1 

– V

2 

Przypadek 

statyczny

2 powierzchnie 

ekwipotencjalne

t=duże

V

0 

= 0

Przypadek 
statyczny

1 powierzchnia 

ekwipotencjalna

t=t’

V

0

 maleje

Przypadek 
niestatyczny

Potencjał zależy 

od miejsca 

pomiaru

V

3

 

 

Oznacza to, że 

w czasie przepływu ładunku mamy 

do czynienia ze spadkiem potencjału

, czyli, że 

w 

przewodniku pojawia się pole elektryczne. 

Przepływ ładunków przewodniku zarówno 

dodatnich jak i ujemnych nazywamy prądem 

elektrycznym.

Na rysunku na poprzedniej stronie poruszają się 
elektrony i zachodzi to z prawej strony na lewą.

Prąd elektryczny charakteryzowany jest przez 
swoje 

natężenie,

 

które definiujemy jako całkowity 

ładunek przepływający przez daną powierzchnię 
w jednostce czasu

.

dt

dQ

I 

Jednostką natężenie prądu jest amper. [1 
A=1C/1sek]. 

 

 

Do pomiaru natężenia prądu wykorzystuje się 
wszelkie efekty wywoływane przez płynący prąd. 
Nośnikami prądu w metalach są elektrony, a w 
gazach i elektrolitach – jony.

dA

A

j

Ważną wielkością 
charakteryzującą 
prąd elektryczny jest 

wektor gęstości 
prądu j

. 

Jego 

kierunek jest 
określony

przez 

ruch ładunków 

dodatnich.

Wartość wektora j ,| j | jest równa 
ładunkowi przepływającemu przez 
jednostkę powierzchni dA 
prostopadłej do j na jednostkę czasu.

Przez element powierzchni dA przepływa w czasie dt 
ładunek

 

 

dt

A

d

j

dt

A

d

j

dA

j

dQ























)

,

cos(

n

n

dA

dI

dt

dA

dQ

j





|

|



Przy czym

)

,

cos( A

d

j

dA

dA

n







Jednostką gęstości prądu w układzie SI 
jest [A/m

2

].

W oparciu o wzór znajdujemy na natężenie prądu 
przepływającego przez całą powierzchnię A 
wyrażenie;

A

d

j

dt

dQ

I

A













 

 

Prawo zachowania ładunku

W jaki sposób sformułować prawo zachowania 
ładunku, kiedy mamy przepływ prądu. 



A

dA

j

j

j

j

j

j

j

j

Wiemy ile na sekundę 
przepływa ładunku przez całą 
powierzchnie przewodnika, 
mianowicie







 









d

j

div

A

d

j

A

Gauss











A

A

d

j





W oparciu o twierdzenie 
Gaussa mamy:

 

 

Na jednostkę czasu w przewodniku ubywa       
                  ładunku.                                          
                                  Bilans ładunku wynosi 
więc:















d

t























d

t

d

j

div



Wyrażenie to jest ważne dla każdej objętości , a 
więc również dla objętości d. Otrzymujemy więc 
równanie, które nazywamy 

równaniem 

ciągłości:

0









t

j

div





Dla prądu o stałym natężeniu I=0 wektor gęstości 
też jest niezależny od czasu.                         Tyle 
samo ładunku wpływa co wypływa z danej                
             objętości.

0



j

div



 

 

Model przewodnictwa elektrycznego

Pamiętamy, że nośnikami ładunków mogą być 
elektrony, jak również jony dodatnie i ujemne. 
Najlepszymi przewodnikami są metale w których 
znajduje się wiele swobodnych elektronów.

Zastanówmy się nad mechanizmem przewodzenia 
prądu w metalicznym przewodniku.

•  Każdy atom siatki oddaje średnio jeden elektron 
do całej sieci (elektrony przewodnictwa). 
Elektrony te zachowują się jak gaz. Gęstość tego 
gazu jest bardzo wysoka. Do elektronów jako 
fermionów stosuje się statystyka Fermiego- 
Diraca.

•  Przyjmuje się, że prędkość elektronu przed 
zderzeniem nie wpływa na prędkość po zderzeniu. 
Oznacza to, że zderzenia „wymazują pamięć” 
elektronów. Oznaczmy średni czas pomiędzy 
dwoma kolejnymi zderzeniami przez .

 

 

E

Jądro 
atomowe

Co zachodzi w czasie przepływu prądy w 
przewodniku. W przewodniku istnieje pole 
elektryczne . Elektrony w czasie ruchu w polu 
elektrycznym zderzają się głównie z elektronami 
związanymi w atomach. Tor przypadkowego 
elektronu jest przedstawiony na poniższym 
rysunku.

E



Na elektrony działa siła             
          .

E

e

F









 

 

Na ukierunkowany ruch elektronów pod wpływem 
pola elektrycznego nakładają się izotropowe ruchy 
termiczne

E

x

x

0

x

1

x

2

x

3

v

x0



v

0



v

1



v

2



1

/

2

b

2

1

/

2

b

2

1

/

2

b

2

Pomiędzy kolejnymi zderzeniami następującymi po 
średnim czasie  elektron porusza się w kierunku osi 

x ruchem jednostajnie przyśpieszonym.

 

 

Ruch elektronu odbywa się zgodnie z II zasada 
dynamiki Newtona,

m

E

e

b

dt

x

d

E

e

dt

x

d

m











2

2

2

2

.

Licząc kolejne odcinki przebyte między zderzeniami, 
otrzymujemy,

2

2

1

)

1

(

1

2

2

1

1

1

2

2

2

1

0

0

1













b

v

x

x

b

v

x

x

b

v

x

x

N

x

N

N

x

x























Sumujemy te równania po N zdarzeniach, przy 
czym N>>1.

 

 

W wyniku 
otrzymujemy:

2

2

1

0

0





b

N

v

x

x

N

i

xi

N











Ze względu na izotropowy rozkład kierunków ruchów 
termicznych, pierwszy wyraz po prawej stronie jest 
równy zero, gdyż tyle samo cząstek może mieć 
prędkości –v

x 

jak i +v

x

. Średnia prędkość elektronów 

w kierunku x (prędkość dryfu) jest więc równa:

E

m

e

b

N

x

x

v

N

D

















2

2

1

0









.

Zdefiniujmy jeszcze czas relaksacji jako <

R

> = /2. 

Wtedy

E

m

e

v

R

D









 

 

Ruchliwością nośników prądu nazywamy:

E

v

m

e

D

R













.

Mimo, że ruch pod wpływem siły eE powinien być 
przyśpieszony, ze względu na występujące 
zderzenia, nie ma przyśpieszenia. Średnia 
prędkość dryftu jest stała. Ruch elektronu wygląda 
tak, jakby istniała siła tarcia. Wpływ zderzeń na ruch 
ilustruje poniższa animacja.

W rzeczywistości poprzez zderzenia sieci 
dostarczana jest energia, tzw. „

ciepło Joule’a”

 . 

 

 

Równanie  możemy też interpretować następująco. 
W sieci w której poruszają się elektrony działa na 
nie poza siłą przyspieszającą F = eE, również siła 
tarcia

R

D

v

m

R











.

Zachodzi więc równowaga F + R =0.                       
                         Z tego faktu wynika jednostajny 
ruch elektronów.

Na podstawie definicji wektora gęstości prądu oraz 
średniej prędkości dryfu, możemy wyrazić wektor 
gęstości prądu jako: 

dl = <v

D

> 

dt

dA

n

d

V

dI

D

D

V

n

n

v

v

d

dQ

dl

dl

dt

dA

dQ

dA

dI

j























 

 

Znajdujemy więc, że                                              , 
przy czym pamiętamy, że
ruchliwość 

E

E

m

e

j

R





















R

m

q











.

Równanie na gęstość prądu możemy więc 
zapisać jako:

E

j











Tym wzorem sformułowaliśmy

 

prawo 

Ohma

 . 

Współczynnik  określa 

przewodnictwo właściwe

, które jest 

odwrotnością oporu właściwego 

el 

przewodnika.

Należy pamiętać, że przewodnictwo właściwe może 
być

 

wielkością tensorową.

.

 

 

W przypadku gdy nośnikami ładunku nie są 
elektrony, możemy w podanych wzorach zastąpić 
ładunek e przez q.

Omówmy jeszcze ogólny przypadek, kiedy w 
przepływie prądu poza ładunkami ujemnymi q = -e, 
są również zaangażowane ładunki dodatnie q = +e. 
Pole E nadaje tym ładunkom prędkości dryfu w 
przeciwnych kierunkach.

E

m

e

E

v

E

m

e

E

v

R

D

R

D



























































Można w tym miejscu zaznaczyć, że czas dryfu 
można wyrazić przez średnią drogę swobodną i 
średnią prędkość ruchu cieplnego ładunków.















/

R

 

 

Wektor gęstości prądu wyrazi się więc 
następująco:

E

e

n

e

n

v

e

n

v

e

n

j

D

D

































)

(





Wielkości n

+

e=

0

+

 oraz n

-

e=

0

- 

określają gęstości 

ładunków. Otrzymujemy na przewodnictwo 
właściwe następujące wyrażenie;

)

(

)

(

2





























m

n

m

n

e

n

n

e

R

R











W oparciu o podaną poprzednio definicję czasu 
dryfu, możemy napisać, że

 

 

Techniczna postać prawa Ohma. Opór elektryczny

I(A)

Ogniwo       
V         

R

L

A

Powyższy rysunek przedstawia najprostszy 
obwód elektryczny – opór R zasilany przez 
baterię o napięciu V. Dla przewodnika ważne 
jest prawo Ohma. Mamy więc 

L

V

A

I

E

j













 

 

Poprzedni wzór możemy przekształcić do postaci 
nazywanej zwykle prawem Ohma.

R

V

A

L

V

I







1

Z równania tego wynika wzór na opór 
przewodnika.

A

L

R

0





Dla układu o dowolnej geometrii możemy opór 
policzyć z wzoru:





















A

A

A

d

E

l

d

E

A

d

j

l

d

E

R























 

 

Trywialną konsekwencją prawa Ohma są wyrażenia 
na wypadkowy opór połączenie równoległego i 
szeregowego oporników.

1

i

N

1

i

N





i

i

R

R

1

1





i i

R

R

 

 

Jak już wspomniano, najprostszy obwód składa się 
z baterii na zaciskach której panuje napięcie V

Є

, 

oraz z jednego lub wielu oporów./

+  -

V

Є

V

1

V

2

I

W układzie tym płynie prąd o natężeniu I = V

Є

/R, 

gdzie R jest całkowitym oporem . Prąd ten jest 
spowodowany przez siłę elektromotoryczną V

Є

, 

która również dostarcza energii zużytej na 
pokonanie oporu przewodników. Ze względu na to, 
że pole elektryczne jest zachowawcze,

 

 









0

s

d

E





Gdzie  biegnie wzdłuż całego obwodu. 

Wynika z tego, że

0

2

1









V

V

V

.

Wynika z tego, że w obwodzie 
zamkniętym suma wszystkich spadków 
potencjałów jest równa zero.

 

 

Siła elektromotoryczna

Przy omawianiu prawa Ohma zakładaliśmy, że 
między końcami rozważanego przewodnika istnieje 
stała różnica potencjałów. Siły kulombowskie 
zawsze będą dążyły do wyrównania się potencjałów 
w przewodniku, likwidując tą różnicę. Utrzymanie 
różnicy potencjału wymaga istnienia 
dodatkowych sił zewnętrznych. Muszą one 
wykonywać pracę na przemieszczanie ładunków. 

Pracę sił zewnętrznych przypadającą na 
jednostkę ładunku dodatniego nazywamy siłą 
elektromotoryczną.

Є = W/Q

Rozważmy następujący 
układ:

 

 

+  -

I

R

Przeniesienie ładunku z jednej zacisku baterii 
na drugi wymaga wykonania pracy:

l

d

E

Q

l

d

E

Q

W

zewn

kul



























Pierwsza całka ze względu na zachowawczość pola 
elektrycznego (krążenie wektora E znika). Wobec 
tego siła elektromotoryczna 
jest równa:

l

d

E

zewn















1

2



 

 

Sformułujmy prawo Ohma dla przypadku, 
obecności w obwodzie siły elektromotorycznej.

)

(

zewn

kul

E

E

j















Pomnóżmy obydwie strony równania przez 
element długości dl
styczny do wektora gęstości prądu j. Otrzymamy 
wtedy:

l

d

E

l

d

E

l

d

j

zewn

kul



























1

2



12

 

 

Scałkujmy to równanie pomiędzy punktami 1 a 2 
(patrz poprzedni rysunek) przewodnika, wiedząc, 
że 

dl

A

I

l

d

j









Otrzymamy wtedy:

l

d

E

l

d

E

A

dl

I

zewn

kul























2

1

2

1

2

1

1



Całka po lewej stronie reprezentuje opór 
odcinka przewodu pomiędzy punktami 1 a 2. 
Wynik jest następujący:

12

12

2

1

12

U

V

V

IR











 

 

Wzór ten wyraża uogólnione 

Prawo 

Ohma 

dla dowolnego odcinka 

obwodu. Jeśli obwód jest zamknięty, 
potencjały punktów 1 i 2 są takie 
same..

Zwykle źródło siły elektromotorycznej, którym może 
być ogniwo, bateria itp.. posiada własny opór 
wewnętrzny 

R

w

. 

Oznaczając opór przewodników 

włączonych do obwodu przez 

R

z 

, 

mamy:













w

z

w

z

IR

IR

R

R

I

)

(

 

 

Wyrażenie IR

z 

określa spadek napięcia na oporze 

zewnętrznym, możemy więc napisać,

w

IR

U







Równocześnie w zamkniętym obwodzie suma 
wszystkich spadków potencjału jest równa zero.

0





n

n

V

Jeżeli w obwód byłoby włączonych więcej 
oporów i sił elektromotorycznych, wtedy w 
oparciu o prawo Ohma











n

i

i

i

n

i

i

R

I

1

1



(*)

 

 

Obwód taki jest przedstawiony na poniższym 
rysunku.



1



2



3

R

1

R

2

R

3

I

1

I

3

I

2

Wzór (*) stanowi sformułowanie tzw. 

Drugiego Prawa 

Kirchoffa

,

 

które mówi, że

 

w dowolnym oczku obwodu suma iloczynów natężeń 

prądu i oporów odpowiednich odcinków obwodu jest 

równa sumie sił elektromotorycznych występujących 

w tym obwodzie.

 

 

Z kolei 

Pierwsze Prawo Kirhoffa

 dotyczy 

węzłów, w których spotykają się elementy obwodu.

I

1

I

2

I

3

I

n

Prawo to mówi, że 

algebraiczna suma 
natężeń prądów 
schodzących się w 
węźle jest równa zero

.

0

1







n

i

i

I

 

 

Łączenie ogniw

Zależność oporu metali od temperatury.

Prawo Wiedemana - Franza

Prawo Joule’a - Lenza

 

 

Zależność oporu metali od 
temperatury.

Zgodnie z rozważaną poprzednio hipotezą 
przenoszenia ładunku, jako nałożenia się 
uporządkowanego ruchu elektronów w polu E, 
oraz ruchu związanego ze zderzaniem się

elektronów z cząstkami poruszającymi się ruchami 
termicznymi, oraz faktem, że energia cząstek 
wzrasta wraz z temperaturą, opór powinien rosnąć 
wraz z temperaturą. Jest tak rzeczywiście.
Możemy powiedzieć, że opór właściwy metali 
zmienia się następująco:

 

 





)

(

1

0

0

T

T 











Wskaźnik     

0

 odpowiada temperaturze 0

0

C, czyli 

273 K. Współczynnik temperaturowy oporu  

można wyliczyć z wyrażenia:

273

1

273

273







T

K

K









Współczynnik temperaturowy oporu właściwego 
niewiele różni się od wartości 1/273 K

-1 

, co 

oznacza, że jest podobny do temperaturowego 
współczynnika rozszerzalności gazów.



 

 

Metal                   Półprzewodnik        
Nadprzewodnik

T

T

T







Powyższa tabela przedstawia przebieg oporów z 
temperaturą dla różnych materiałów.

Współczynnik temperaturowy oporu zależy w dużym 
stopniu od czystości materiału. Bardzo małe 
domieszki zwiększają opór właściwy, a przez 
odpowiednie stopy można uzyskać słabą zależność 
oporu od temperatury.

Współczynnik  nie jest stały i zależy od 

temperatury. Najsilniej z temperaturą rośnie opór 
ferromagnetyków.

 

 

Prawo Wiedemana - Franza

Omawiając zależność oporu, czy też przewodnictwa 
właściwego od temperatury, należy wspomnieć o 

związku pomiędzy przewodnictwem cieplnym a 
przewodnictwem elektrycznym

.  Związek ten 

został odkryty w r. 1853 przez Wiedemana i Franza i 
jest znany pod ich nazwiskami jako 

Prawo 

Wiedemana – Franza .

Jeżeli przez 



 oznaczymy współczynnik 

przewodnictwa cieplnego, a przez 

 

współczynnik przewodnictwa elektrycznego, to 
dla stałej temperatury T,

const







Oznacza to, że 

dobre przewodniki ciepła są też 

dobrymi przewodnikami elektryczności.

Później Lorenz stwierdził, że stosunek ten jest 
proporcjonalny do temperatury bezwzględnej

 

T.

 

 





LT



L oznacza Liczbę Lorenza

 , która można 

wyznaczyć w oparciu o teorię przewodnictwa i 
zjawisk transportu. Okazuje się, że ;

2

2

8

2

2

/

10

228

.

2

3

K

V

e

k

L









Prawo Joule’a - Lenza

Drugim podstawowym prawem dotyczącym przepływu 
prądu elektrycznego poza prawem Ohma jest 

Prawo 

Joule’a – Lenza. 
Prawo to określa wielkość energii wydzielonej w 
przewodniku w czasie przepływu w nim prądu.

 

Jeżeli ładunek dQ jest przenoszony przez różnicę 
potencjałów U, to jest wykonywana praca:

 

 

Rdt

I

dt

UI

UdQ

dW

2









Moc wydzielana w przewodniku wynosi więc:

R

I

I

U

dt

dW

P











2

(**)

Równanie(**) stanowi sformułowanie Prawa 
Joule’a-Lenza.

Możemy również zdefiniować gęstość objętościową 
mocy wydzielonej w przewodniku.

I

A

U

L

2

2

2

2

j

L

A

R

A

I

L

A

R

L

A

I

R

L

A

P

w















 

 

W oparciu o prawo Ohma I = U/R mamy:

j

E

L

A

R

R

L

E

A

j













Ostatecznie otrzymujemy na gęstość mocy 
wyrażenie:

2

E

j

E

w









Gęstość mocy wydzielanej w przewodniku w 
czasie przepływu prądu jest proporcjonalna do E

2 

.

 

 

H

2

S

O

4

NH

4

Cl

Zn

Zn

Cu

C

-

-

+

+

MnO

2

 

+C

Łączenie ogniw

Ogniwa możemy łączyć podobnie jak opory. 
Sposób połączenia zależy od tego, czy chcemy 
aby w obwodzie płynął  duży, albo aby napięcie 
 było wysokie.

 

 

a) Łączenie szeregowe

n

i

i

w

i

w

w

i

i

i

nR

R

R

n



















wted
y

z

w

i

R

nR

n

I

i







Gdy R

z

 >> nR

w 

, dostajemy większą siłę 

elektromotoryczną, oraz większe natężenie.

 

 

b). Łączenie 
równoległe

i

w

w

i

R

n

R

1









Natężenie prądu będzie 
równe:

n

R

R

I

i

w

z

i







Gdy R

z

 >> nR

w, 

prąd jest taki sam jak dla 

jednego ogniwa.
Gdy R

z 

<< R

w, 

prąd jest n razy większy.

 

 

c). Łączenie mieszane

n

m

W każdym szeregu mamy n baterii, i połączonych 
równolegle m szeregów. Każda bateria ma opór 
wewnętrzny R

wi

.

Siła elektromotoryczne 
wynosi;

i

n







Є

i

.

 

 

Całkowity opór takiego połączenia wynosi;















m

R

n

R

i

w

Natężenie prądu, które popłynie w obwodzie, gdy 
włączymy baterię w obwód o oporze R

z, 

będzie 

równe;

z

w

i

R

R

m

n

n

I

i







Gdy mamy łącznie (m · n) ogniw, uzyskamy 
maksymalny prąd , gdy;

z

w

R

R

n

m



 

 

Najprostsze obwody elektryczne

  A. Dzielnik 
napięcia.

 B. Mostek 
Wheatstone’a

 C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły 
elektromotorycznej

 D. Prosty układ 
RC

 

 

A. Dzielnik napięcia.

A

V

R

R

x

U

R

U

I 

I

x

x

R

I

U





R

R

U

U

x

x





 

 

A

R

R

1

U

I

’

R

A

R

2

I

A

U

A’

W przypadku gdy 
obciążymy dzielnik 
oporem R

A 

napięcie 

U

a 

ulegnie zmianie na 

U

A’

 , przy czym

'

1

'

'R

I

U

A



gdzi
e

)

/(

)

(

2

'

1

'

1

1

'

1

R

R

U

I

R

R

R

R

R

A

A









  Napięcie U

A’

 będzie więc 

równe:

A

A

A

A

A

A

A

R

R

R

R

R

U

R

R

R

R

R

R

R

R

R

U

R

I

U

1

1

2

1

1

1

1

2

'

1

'

'

)

(

1

















 

 

B. Mostek Wheatstone’a

Mostek Wheatstone’a jest najbardziej znanym 
układem do pomiaru oporu elektrycznego.

G

A

B

R

0

R

x

C

U

I

1

I

D

I

1

I=
0

I

2

I

2

R

1

R

2

Opór mierzony wpinamy pomiędzy punktami  C i B. R

0 

jest 

znanym oporem.

 

 

Suwak na oporze AB przesuwamy tak długo, aż  w gałęzi CD nie
popłynie prąd. Oznacza to równość potencjałów w punktach C i D.
Rozważając oczko ACD  otrzymujemy;

2

1

1

0

2

1

1

0

0

I

R

I

R

I

R

I

R







.

Z kolei rozważając oczko CBD otrzymujemy;

2

2

1

2

2

1

0

I

R

I

R

I

R

I

R

x

x







.

Dzieląc drugą linijkę tych równań przez siebie, 
otrzymujemy;

1

2

0

R

R

R

R

x



 

 

G

A

B

C

I

02

I

0

D

I

02

I

01

I

0

R

1

R

2

C. Kompensacyjna metoda pomiaru siły 
elektromotorycznej

U

0

U

x 

R

wx

I

x

I

x

I

x2

I

x1

I

x2

Metoda ta jest podobna do wyznaczania oporów 
w oparciu o mostek Wheatstone’a.

U

x 

– szukana SEM

U

0 

– znana 

SEM

R

g

R

w0

-

+

 

 

Zmieniamy ustawienie suwaka na oporze AB tak 
długo, aż w galwanometrze przestanie płynąć 
prąd. Wtedy wiemy, że;

02

I

I

x



Prąd w każdej gałęzi jest algebraiczną sumą 
prądów pochodzących od każdej siły 
elektromotorycznej oddzielnie, przy czym muszą 
zostać uwzględnione opory wewnętrzne 
wszystkich ogniw. Musimy również uwzględnić 
opór galwanometru.

Dla prądów związanych z szukaną siłą 
elektromotoryczną otrzymamy w oparciu o 
Prawa Kirchoffa;

0

)

(

)

(

1

1

0

2

2

1

1

2

1

















R

I

R

R

I

U

R

I

R

R

I

I

I

I

x

w

x

x

x

wx

g

x

x

x

x

.

 

 

Dla prądów wywołanych przez siłę 
elektromotoryczną U

0 

otrzymamy; 

0

1

01

0

2

0

1

01

02

02

01

0

)

(

0

)

(

U

R

I

R

R

I

R

I

R

R

I

I

I

I

w

wx

g

















Z układu podanych równań można znaleźć I

x1

 i I

x2

 w 

funkcji oporów i U

x 

, oraz I

01 

i I

02 

w funkcji tych 

samych oporów i U

0

.

Z warunku znikania prądu w galwanometrze

x

I

I 

02

otrzymujemy,

0

2

1

0

1

U

R

R

R

R

U

w

x







.

.

Gdy R

w0

 << R=R

1

+R

2, 

metoda ta jest dokładna.

 

 

G

A

B

C

I

2

I

0

D

I

2

I

1

I

0

R

1

R

2

U

0

U

x 

R

wx

U

0 

– znana 

SEM

R

g

R

w0

+ -

Zakładając kierunki prądu takie jak na rysunku, 
oraz że opór wewnętrzny galwanometru R

g 

= 0, 

możemy napisać

Zakładając wypadkowe prądy w poszczególnych gałęziach mamy;

 

 

x

wx

w

U

R

I

R

I

U

R

I

R

R

I

I

I

I

















1

1

2

0

1

1

0

2

0

2

1

0

)

(

Ustawiając suwak w punkcie D tak, aby przez 
galwanometr nie płynął prąd, czyli I

2

 = 0, mamy

0

1

0

0

2

1

0

1

1

1

1

0

)

(

w

x

w

x

R

R

R

U

U

R

R

R

U

I

R

I

U

I

I



















 

 

D. Prosty układ RC

G

R

U

C

K

I

Jeśli zamykamy obwód 
kluczem K, to w chwili t=0 
łączymy nie naładowany 
kondensator ze źródłem siły 
elektromotorycznej U.

W oparciu o II Prawo 
Kirchoffa mamy;

U

0







IR

U

U

C

Oznaczając chwilowe 
natężenie

Prądu w obwodzie

 I

, oraz chwilowe napięcie na 

okładkach kondensatora przez

 U

C

, otrzymamy:

-

+

+ -

 

 

C

Q

U

dt

dQ

I

C





0







dt

dQ

R

C

Q

U

Po przekształceniu i podzieleniu przez R 
otrzymamy:

Rozwiązanie tego równania ma postać:

0

1







R

U

Q

RC

dt

dQ

Po podstawieniu do poprzedniego równania 
otrzymamy:

)

1

(

1

t

RC

C

e

CU

Q







 

 

Ponieważ :

C

Q

U

C

C

/



napięcie na kondensatorze, będzie się więc 
zmieniało zgodnie z równaniem:



















t

RC

C

e

U

U

1

1

Iloczyn RC ma wymiar czasu i jest nazwany 
czasem 

relaksacji

.

,

.

Wstawiając wyrażenie na czasową zależność 
napięcia na kondensatorze do naszego 
wyjściowego równania, otrzymamy wzór na 
czasową zależność natężenia prądu ładującego 
kondensator.

 

 

t

RC

e

R

U

I

1





U

t

Przebieg napięcia na 
kondensatora w 
czasie ładowania.

U

C

I

t

U/R

Przebieg natężenia 
prądu w obwodzie w 
czasie ładowania  
kondensatora.

 

 

Półprzewodniki

 

 

Półprzewodniki

Przewodnictwo ciał stałych zależy od wzajemnego 
położenia pasma walencyjnego i pasma 
przewodnictwa, oraz od liczby elektronów, które 
mogą dojść do pasma przewodnictwa.
W półprzewodniku typowy rozkład energii pasma 
walencyjnego i przewodnictwa wygląda 
następująco.

• • • • • • • • • 
• • • •

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° 
° ° 

Pasmo 
walencyjne

Pasmo 
przewodnictwa

E

P

E

D

E

F

E

A

E

W

E-przerwa

      energetyczna

 

 

Oznaczenia energii na osi pionowej są następujące:

E

W

 

- górna energia pasma walencyjnego,

E

A

 

 - energia poziomu energetycznego akceptorów,

E

F

  - energia Fermiego,

E

D

 -  energia poziomu energetycznego donorów,

E

P

 

-  najniższa energia pasma przewodnictwa.

E = E

P

 – E

W

 – szerokość przerwy energetycznej

Szerokość przerwy energetycznej dla germanu(Ge)  
wynosi 0.66eV. 

Donory

Sb

P

As

Li

E

P

-

E

D

(eV)

0.009

7

0.0120 0.0127 0.009

Akceptor

y

Al

Ga

In

B

E

A

-

E

W

(eV)

0.010

2

0.0108 0.0112 0.0100

 

 

Rodzaje półprzewodników

Półprzewodniki klasyfikuje się w zależności od 
koncentracji donorów (N

D

) i akceptorów (N

A

). 

Wpływają one na koncentrację nośników 
nadmiarowych (elektronów) typu n (ujemnych) i 
niedomiarowych(dziur), typu p (dodatnich).

Rozróżniamy więc następujące półprzewodniki:

A). 

samoistne

, dla których N

D

=N

A

=0. Posiadają 

one własne przewodnictwo, czyli odpowiednią 
koncentrację elektronów i dziur. Koncentracja ta 
jest proporcjonalna do,

)

2

exp(

~

2

3

kT

E

T

n

p

n

opt









 

 

Następstwem takiej zależności koncentracji jest 
zależność temperaturowa przewodnictwa 
właściwego czystych półprzewodników.

)

2

exp(

~

)

(

kT

E

T







B). 

Typu-n

 

z N

D

>>0 i N

A

=0. Dla tego typu 

półprzewodników nośnikami są elektrony, 
których istnieje duży nadmiar n>>p. W niskich 
temperaturach współczynnik przewodnictwa 
właściwego zależy od energii stanów 
donorowych E

D

.









kT

E

E

T

P

D

2

/

exp

~

)

(





 

 

Nośnikami są dziury. Występuje w nich niedomiar 
elektronów n<<p. W niskich temperaturach 
współczynnik przewodnictwa właściwego zależy od 
temperatury zgodnie z zależnością;









kT

E

E

T

A

W

2

/

exp

~

)

(





Przewodnictwo półprzewodników typu n i p 
jest w wysokich temperaturach takie jak typu 
samoistnego.

C). 

Typu-p

 

z N

D

 =0 i N

A

>>0 Dla tego typu 

półprzewodników

 

 

Złącze typu n-p

p

n

Złącze n-p

Koncentracja
donorów i
akceptorów

Koncentracja

dziur

 i

elektronów

dziury

elektrony

Gęstość 
ładunk
u

potencjał

Dzięki dyfuzji 
elektronów  z n do p i 
dziur z p do n powstaje 
w warstwie przejściowej 
strefa ujemnego i 
dodatniego ładunku 
przestrzennego 
stanowiącego 

warstwę 

zaporową

. W warunkach 

równowagi 
termodynamicznej nie 
płynie prąd elektryczny. 

Na wysokość bariery U 

możemy wpływać przez 
przyłożenie napięcia do 
złącza n-p.

U

p

n

 

 

Pole magnetyczne

 

 

Pole magnetyczne

Podstawowe informacje 

doświadczalne

Poza polem elektrycznym E istnieje również pewne 
inne pole wektorowe B, które możemy określić jako 
pewien stan przestrzeni. Pole to jest wytwarzane 
przez np. stałe magnesy i wszelkiego rodzaju prądy 
elektryczne. Można go uwidocznić przez np. igłę 
kompasową, opiłkami żelaza, oraz siłą, którą to pole 
działa na poruszające się ładunki.
Nauka o magnesach stałych rozwijała się 
niezależnie, lecz prawie równolegle z 
elektrostatyką. Bazowała ona na znanych 
materiałach magnetycznych.
 Jaka jest 

ewidencja doświadczalna

 dotycząca pól 

magnetycznych.  

Stwierdzono, że w magnesach naturalnych efekty 
magnetyczne są najsilniejsze na końcach magnesu, 
nazywanych

 

 

biegunami. Obserwacje można przeprowadzić przy 
pomocy 

igły magnetycznej

 lub 

opiłków żelaza.

Biegunów magnesu nie da się wyizolować, tak 
jak można rozdzielić ładunki elektryczne. 

 

 

N

S

N

S N

S

N

S

Wokół magnesów stałych 
rozchodzą
 się linie pola 
magnetycznego, 

podobnie jak było to dla pola 
elektrycznego. Zobaczymy 
jednak, że linie pola 
magnetycznego są 
zamknięte.

 

 

Bieguny magnetyczne występują zawsze parami 
(dwa  przeciwne) o tej samej wielkości.

Dla biegunów magnetycznych możemy analogicznie 
do ładunków w elektrostatyce, zdefiniować wielkość 
charakteryzującą siłę tych biegunów. Oznaczmy tą 
wielkość przez M, którą możemy nazywać masą 
magnetyczną.

2

0

2

1

4

r

M

M

F







Oddziaływanie biegunów magnetycznych odbywa 
się zgodnie z równaniem;

.

Wielkości M

1,2

, określają siłę biegunów 

magnetycznych, r odległość pomiędzy nimi, a 

0 

oznacza przenikalność magnetyczną próżni, przy 
czym.



o

= 4·10-7 V s A

-1

 

m

-1

 

 

Z zależności siły działającej pomiędzy biegunami 
magnetycznymi wynika, że możemy zastosować 
tutaj dobrze nam znany formalizm dotyczący 
grawitacji i elektrostatyki, wprowadzając m.in. 
natężenie i potencjał pola magnetycznego. 

r

r

Q

Q

F





3

0

2

1

4





Elektrostatyka

Magnetostatyka

Siła

r

r

M

M

F





3

0

2

1

4





Natężenie
Pola 

r

r

Q

E





3

0

1

4





)

/

(

4

3

0

1

m

A

r

r

M

H









 

 

Geograficz
na 
Północ

Geograficzne 
Południe

Magnetycz
ne 
Południe

Magnetycz
na 
Północ

Ziemskie 
pole
magnetyc
zne

Ziemskie 
pole
magnetyc
zne

Ziemia posiada również własne pole magnetyczne. 
Bieguny magnetyczne nie pokrywają się z 
biegunami geograficznymi.

 

 

Powiedzieliśmy, że pole magnetyczne wytwarzane 
jest również przez wszelkiego rodzaju prądy 
elektryczne. Pole magnetyczne wpływa na 
poruszające się ładunki elektryczne, działając na 
nie siłą.

Wprowadzone w tabelce natężenie pola 
magnetycznego jest wielkością, którą uwzględnia 
się ze względów historycznych podobnie jak wektor 
przesunięcia w elektrostatyce. Drugą wielkością 
charakteryzującą pole magnetyczne jest wektor 
indukcji magnetycznej B.

H

B





0





Okazało się, że właściwe pole magnetyczne 
opisane jest przez wektor indukcji magnetycznej 
B, a wektor natężenia pola magnetycznego 
opisuje tą część pola, która jest wytwarzana

 

 

przez makroskopowe prądy elektryczne o 
natężeniu I, dipoli atomowych i prądów okrężnych 
ośrodka materialnego. 

Jednostkami natężenia pola magnetycznego H, 
oraz indukcji magnetycznej B w układzie SI są 
odpowiednio:

 

 

2

1

1

1



















m

s

V

T

Tesla

B

m

A

H





W podanym kształcie równanie ogranicza się do 
próżni. Będziemy również rozważali zachowanie 
się tych pól w obecności materii. 

Wróćmy w tej chwili do doświadczalnej ewidencji 
siły, którą pole indukcji magnetycznej wywiera 
na poruszające się ładunki.

 

 

Znane są następujące fakty doświadczalne dotyczące 
oddziaływania
pola indukcji magnetycznej na poruszające się 
elektrony:

a). Poruszające się elektrony są odchylane ,
b). Działająca na ładunki siła F jest prostopadła do 
kierunku wskazywanego przez igłę magnetyczną, 
czyli do kierunku wektora B,
c). Siła F prostopadła do prędkości ładunku v,
d). Siła F ~ | v |,
e). Wartość
 siły F ~ q. 

Wszystkie te wyniki doświadczalne zebrał 
Hendrik Lorentz(1853-1928) definiując siłę 
nazwaną obecnie 

siłą Lorentza

)

(

B

v

q

k

F















W układzie SI stała proporcjonalności 

(k

* 

=1

).

 

 

Równanie to jest równocześnie definicją wektora 
indukcji magnetycznej B przez znane wielkości, 
siłę F, ładunek q, oraz prędkość v.

W ogólnym przypadku na cząstkę o ładunku q 
poruszającą się w jakimś układzie współrzędnych 
działa siła:

)

(

B

v

q

E

q

F















Zauważając, że  przewodnik z prądem zawiera 
poruszające się ładunki, możemy rozszerzyć 
prawo Lorentza 

I

dl

B

l

d

I

dt

v

dt

dq

v

dq

B

v

dq

F

d





























)

(