„Dlaczego liczby są piękne? 

To jak pytać, dlaczego 

dziewiąta symfonia 

Beethovena jest piękna. 

Jeżeli nie rozumiesz dlaczego, 

nikt ci ni może powiedzieć. Ja 

wiem, że liczby są piękne. 

Jeśli one nie są, nic nie jest.”

Pal Erdos

WIELKOŚCI ODWROTNIE 

PROPORCJONALNE.

Nie 

wszystkie 

wielkości 

spotykane 

w 

codziennym  życiu  są  wprost  proporcjonalne, 
istnieje także proporcjonalność odwrotna. Jeśli 
nauczysz 

się 

odróżniać 

oba 

rodzaje 

proporcjonalności  rozwiązywanie  większości 
problemów  z  nimi  związanych  będzie  bardzo 
proste.

WIELKOŚCI ODWROTNIE 

PROPORCJONALNE.

O dwóch wielkościach mówimy, że są 

odwrotnie proporcjonalne, jeśli wraz ze 

wzrostem jednej, druga maleje tyle samo 

razy.

PRZYKŁADY.
Cena benzyny i ilość benzyny, którą można 
kupić za 
30 zł – im wyższa cena, tym proporcjonalnie 
mniej benzyny.
Ilość kolegów i liczba chipsów przypadająca 
na osobę – im więcej osób tym każda z nich 
otrzyma proporcjonalnie mniej chipsów.

PRZYKŁADY WIELKOŚCI 

ODWROTNIE 

PROPORCJONALNYCH.

Średnia prędkość skutera i czas potrzebny na 
przejechanie  danego  odcinka  drogi  –  im 
większa  prędkość  tym  mniej  czasu  potrzeba 
na przejechanie określonej trasy.

Liczba  osób  na  przyjęciu  i  wielkość  kawałka 
tortu  przypadającego  na  osobę  –  im  więcej 
osób,  tym  proporcjonalnie  mniejszy  kawałek 
tortu otrzyma każda z nich.

Grubość  książki  i  ilość  jednakowych  książek 
na  półce  –  im  grubsza  książka,  tym  mniej 
takich zmieści się na półce.

PROPORCJONALNOŚĆ 

ODWROTNA.

Zależność między dwiema wielkościami, 

których iloczyn jest stały nazywamy 

proporcjonalnością odwrotną.

xy = a

gdzie a ≠ 0. O wielkościach x i y mówimy, 

że są odwrotnie proporcjonalne.

UWAGA.

Z  powyższej  definicji  wynika,  że  zależność 
między wielkościami wprost proporcjonalnymi 
możemy zapisać
przy pomocy wzoru 

WYKRES 

PROPORCJONALNOŚCI 

ODWROTNEJ.

Wykres proporcjonalności odwrotnej to jedno 
z  ramion  hiperboli,  dla  a  =  1  wygląda  on 
następująco:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Sprawdź,  czy  wielkości  podane  w  tabelce  są 
odwrotnie proporcjonalne.

Aby 

podane 

wielkości 

były 

odwrotnie 

proporcjonalne,  ich  iloczyn  musi  być  stały, 
liczymy więc x · y
0,3 · 4 = 1,2
1 · 1,2 = 1,2
3 · 0,4 = 1,2
2 · 0,6 = 1,2 

x

0,3

1

3

2

0,2

y

4

1,2

0,4

0,6

6

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
0,2 · 6 = 1,2
Iloczyn jest stały więc podane wielkości są 

odwrotnie proporcjonalne.
Współczynnik proporcjonalności dla podanych 

wielkości to a = 1,2 a wzór wygląda 

następująco: 

UWAGA.

Gdybyśmy w chociaż jednym mnożeniu 

otrzymali inną liczbę, podane wielkości nie 

byłyby odwrotnie proporcjonalne. 

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Uzupełnij  tabelkę  tak,  aby  podane  wielkości 
były odwrotnie proporcjonalne.

Należy  wstawić  takie  liczby,  aby  iloczyn  był 
stały.  Obliczamy  x  ·  y  z  kolumny,  w  której 
mamy podane obie wartości

0,1 · 36 = 3,6

Pozostałe  komórki  musimy  uzupełnić  tak, 
aby x · y = 3,6

x

3,6

0,1

144

y

0,6

36

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2 – ciąg dalszy.

3,6 · y = 3,6
y = 1

x · 0,6 = 3,6 / : 0,6
x = 6

144 · y = 3,6 /: 144
y = 0,025

x

3,6

0,1

144

y

0,6

36

x

3,6

6

0,1

144

y

1

0,6

36

0,025

Uzupełniona 
tabela:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
Robotnicy  stawiali  mur.  Po  wykonaniu  pracy 
każdy  z  nich  otrzymał  12  dukatów  zapłaty. 
Gdyby  robotników  było  o  4  mniej,  to  każdy  z 
nich  otrzymałby  3  razy  większą  zapłatę.  Ilu 
robotników stawiało mur?

Wielkości  występujące  w  tym  zadaniu  są 
odwrotnie  proporcjonalne,  nie  możemy  więc 
skorzystać z proporcji do jego rozwiązania.
Korzystamy  z  własności  wielkości  odwrotnie 
proporcjonalnych (ich iloczyn jest stały).

Oznaczmy:
x – ilość robotników

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
x – 4 – ilość robotników zmniejszona o 4
3  ·  12  =  36  –  zapłata,  którą  otrzymaliby 
robotnicy, gdyby było ich o 4 mniej
12x  =  36(x  –  4)  –  równanie  wynikające  z 
własności 

wielkości 

odwrotnie 

proporcjonalnych
12x = 36x – 144
144 = 36x – 12x
144 = 24x / ; 24
6 = x
Mur stawiało sześciu robotników.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4.
Koło zębate o 120 zębach napędza koło zębate 
o 48 zębach. Ile razy obróciło się małe koło, 
gdy duże w tym czasie obróciło się 40 razy?

Im mniejsze koło tym proporcjonalnie więcej 
obrotów mamy więc do czynienia z 
wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.

Oznaczmy:
x – ilość obrotów małego kola

Musimy rozwiązać równanie wynikające z 
własności wielkości odwrotnie 
proporcjonalnych.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
120 · 40 = 48 · x – iloczyn ilości zębów i 
obrotów jest stały
4800 = 48x / : 48
100 = x

Małe koło obróciło się 100 razy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 5.
Kierowca  pokonał  pewną  trasę  jadąc  ze  średnią 
szybkością 90 km/h. O ile kilometrów na godzinę 
powinien  zwiększyć  szybkość,  aby  pokonać  tę 
samą trasę w czasie o 25% krótszym?

Oznaczmy:
t – czas potrzebny na pokonanie trasy
0,75t – czas o 25% krótszy (100% - 25% = 75%)
x – nowa szybkość

Układamy  i  rozwiązujemy  równanie  zgodne  z 
własnościami 

wielkości 

odwrotnie 

proporcjonalnych.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 5.
90t = 0,75t · x
Zauważmy, że niewiadomej t możemy łatwo 
się  pozbyć  dzieląc  przez  nią  obie  strony 
równania (warunek t ≠ 0 wynika z zadania), 
jest to tzw. niewiadoma pomocnicza.
90 = 0,75x / : 0,75
120 = x
120 – 90 = 30

Kierowca  powinien  zwiększyć  szybkość  o  30 
km/h

UWAGA.

Zawszę zwracaj uwagę z jakimi wielkościami 

masz do czynienia – wprost, czy odwrotnie 

proporcjonalnymi.

Proporcji możemy używać tylko do zadań, w 

których występują wielkości wprost 

proporcjonalne.