Podstawy metrologii
Błędy pomiarów. Niepewność pomiarowa.
Podstawy metrologii
Błędy pomiarów. Niepewność pomiarowa.
Podstawy
Metrologii
Wykład 3
Teoria błędów
Program na dziś
•Definicja i rodzaje błędów;
•Charakterystyka metrologiczna;
•Funkcja błędu.
•Niepewność pomiarowa
•Rodzaje niepewności Typ A i B
•Rozkład Gaussa
•Wykresy danych pomiarowych
Wprowadzenie
Przy omawianiu błędów wygodnie jest
przypomnieć na wzór terminologii
stosowanej w literaturze zachodniej
rozróżnienie pomiędzy pojęciami
dokładność
i
precyzja
.
Wynik pomiaru określamy wówczas jako
dokładny
, gdy jest on wolny od błędów
systematycznych, natomiast jako
precyzyjny
, gdy jego błąd przypadkowy
jest bardzo mały.
Wprowadzenie
Każdy eksperyment, każdy pomiar i
prawie każda operacja składowa
pomiaru daje wyniki obarczone
różnymi typami błędów
Wprowadzenie
Teoria błędów
- dział matematyki stosowanej
zajmujący się metodami oceny dokładności
pomiarów lub rachunków przybliżonych.
Teoria błędów umożliwia m.in. określenie
dopuszczalnych wartości błędów
popełnianych przy pomiarach lub
rachunkach, tak aby wynik całości obliczeń
(czy też pomiarów) zapewniał wymaganą
dokładność (tzw. dyskusja błędu).
Wprowadzenie
a
a
a
F1
F2
F3
x
i
z
z
z
z
z
x
x"
Pomiar
• Pomiar
— pewna sekwencja czynności
doświadczalnych i obliczeniowych,
prowadząca do wyznaczenia liczbowej
wartości wielkości fizycznej.
Ta wybrana sekwencja powinna
minimalizować wpływ oddziaływań
zewnętrznych na badane zjawisko i
przyrządy.
Wynik pomiaru
wartość pomiaru
±
błąd
pomiarowy
Błąd pomiaru
Błąd pomiarowy niepewność
pomiarowa,
dokładność pomiaru
Błąd w pomiarach = pomyłka
.
Definicja błędu
Jeżeli wartość wielkości wynosi
x
, a
przyjęto wartość
x`
, to różnica
Δx = x`-x
jest błędem - jest to najlepsza definicja
w przypadku eksperymentów
myślowych;
Definicja błędu
Błąd jest to różnica między
wartością wielkości a wartością
poprawną tej samej wielkości
– definicja ta wyraża błąd w dziedzinie
abstrakcji
Definicja błędu
Błąd jest to różnica między
stanem danej wielkości a stanem
rzeczywistym jej wielkości
- definicja ta wyraża błąd w
dziedzinie rzeczywistości powstający
przy tworzeniu obrazu rzeczywistości za
pomocą pomiarów.
Rodzaje błędów
Rozróżnia się trzy rodzaje miar
błędu:
•błędy prawdziwe,
•błędy umownie prawdziwe
•błędy graniczne
Podział błędów
Wyniki pomiarów podlegają pewnym
prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla
zmiennej losowej. Z tego względu błędy
dzielimy na:
•
Błędy grube
(pomyłki), które należy
eliminować
•
Błędy systematyczne
, które można
ograniczyć udoskonaląjąc pomiar
•
Błędy przypadkowe
, które podlegają prawom
statystyki i rachunku prawdopodobieństwa,
wynikają z wielu losowych przyczynków i nie
dają się wyeliminować
Krzywe rozkładu błędu
Błąd systematyczny Błąd przypadkowy
Błędy grube
• Są wynikiem pomyłki eksperymentatora
np. przy
odczytywaniu wartości mierzonych, przy
przeliczaniu jednostek etc., nieprawidłowego
stosowania przyrządu pomiarowego, poważnego
i nieuświadomionego uszkodzenia przyrządu
pomiarowego, zastosowania nieodpowiedniej
metody pomiaru lub niewłaściwych wzorów
teoretycznych do opracowania wyników.
• Fakt zaistnienia błędu grubego należy sobie jak
najszybciej uświadomić a wynik obarczony takim
błędem wykluczyć z dalszych analiz.
• Jeśli to możliwe, pomiar powtórzyć.
Rodzaje błędów
Wartość oczekiwana błędu
przypadkowego jest równa zeru
,
- właściwość ta nie zawsze jest zgodna z
sensem fizycznym błędów
przypadkowych.
Rodzaje błędów
Błąd może być przedstawiany w
trzech postaciach:
• błędu bezwzględnego,
• błędu względnego,
• błędu unormowanego
(czyli
zakresowego lub sprawdzonego)
Rodzaje błędów
Podział błędów ze względu na warunki
pomiaru:
• w warunkach odniesienia popełniany
błąd nazywa się
błędem podstawowym
,
• w innych warunkach występują
ponadto
błędy dodatkowe
.
Rodzaje błędów
• Podział błędów ze względu na
charakter mierzonej
wielkości:
-
błędy statyczne
- błędy dynamiczne
Błąd dynamiczny można zdefiniować dwojako:
a)
jest to błąd spowodowany odmiennymi niż idealne
właściwościami dynamicznymi układu pomiarowego;
b) jest to błąd spowodowany zastosowaniem statycznej
procedury wzorcowania dla układu przy pomocy
którego dokonujemy pomiarów dynamicznych
mierzonej wielkości.
Rodzaje błędów
Podział błędów ze względu na fizyczne
przyczyny powstawania błędu - wyróżnia
się tu m.in.:
• błąd wzorcowania,
• błąd niestałości,
• błędy kwantowania,
• błędy próbkowania,
• błędy zliczania,
• itd.
Rodzaje błędów
• Podział błędów ze względu na charakter błędu -
wyróżnia się tu:
• błąd systematyczny
• błąd przypadkowy (błąd losowy)
- Błąd systematyczny jest to błąd, który przy
wielokrotnym wykonywaniu pomiaru tej samej
wielkości w tych samych warunkach ma wartość
stałą lub zmienia się według znanego prawa.
- Wszystkie pozostałe błędy określa się jako
przypadkowe.
Błąd systematyczny
• Błąd pomiarowy systematyczny
jest to
stała, nieznana, wartość zmiany wyniku
pomiaru, wynikająca z ograniczoności
modelu fizycznego zjawiska, którym się (w
danej chwili) posługujemy, ograniczoności
metody pomiaru, czy też niewłaściwej
kalibracji przyrządu pomiarowego; błąd ten
ujawnia się zwykle dopiero po zmianie
metody pomiaru lub modelu fizycznego
zjawiska.
• Błąd systematyczny
o znanej wartości
nazywamy
poprawką.
Błędy systematyczne
• Błędy systematyczne
zawsze w ten sam
sposób wpływają na wyniki pomiarów
wykonanych za pomocą tej samej metody i
aparatury pomiarowej.
• Minimalna wartość błędu
systematycznego
jest określona dokładnością
stosowanego przyrządu (lub klasą w
przypadku analogowych mierników
elektrycznych).
Źródłem błędu systematycznego
są:
-
skale mierników
(np. niewłaściwe ustawienie
„zera”),
- nieuświadomiony
wpływ czynników
zewnętrznych
(temperatura, wilgotność) na
wartość wielkości mierzonej,
- niewłaściwy
sposób odczytu
(błąd paralaksy)
lub pomiaru,
- przybliżony
charakter wzorów
stosowanych
do wyznaczenia wielkości złożonej.
Błąd przypadkowy
• Błąd pomiarowy przypadkowy
(statystyczny)
jest to średnia wartość
zmiennych zaburzeń mierzonej wielkości
fizycznej, pochodzących od wielu słabych
oddziaływań zewnętrznych, lub skutek tzw.
nieokreśloności obiektu.
Błąd ten jest najczęściej nieznany, a wyznacza
się go w pomiarach (razem z wartością
pomiaru, jako tzw. błąd pojedynczego pomiaru).
Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe
zawsze występują w
eksperymencie powodują rozrzut kolejnych
odczytów wokół rzeczywiste wartości mierzonej
wielkości (oczywiście, gdy występuje błąd
systematyczny, pomiary układają się wokół
pewnej, przesuniętej względem rzeczywistej,
wartości).
Błędy przypadkowe
można wykryć drogą
powtarzania pomiarów, przy okazji poprawiając
precyzję pomiarów, korzystając ze średniej
wartości serii pomiarów.
Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą
eksperymentowi, nawet jeśli inne błędy
zostaną wyeliminowane.
W przeciwieństwie do błędu systematycznego,
ich wpływ na wynik ostateczny pomiaru nie
można ściśle określić.
Błędy przypadkowe
Występują zawsze
w pomiarach, lecz
ujawniają się, gdy
wielokrotnie dokonujemy pomiaru przyrządem
,
którego dokładność jest bardzo duża a błędy
systematyczne wynikające z innych przyczyn są
bardzo małe.
Wynikają one z własności obiektu mierzonego
(np.
wahania średnicy drutu na całej jego długości),
własności przyrządu pomiarowego (np. wskazania
przyrządu zależą od przypadkowych drgań budynku,
fluktuacji ciśnienia czy temperatury, docisku dla
suwmiarki), lub mają podłoże fizjologiczne (refleks
eksperymentatora, subiektywność oceny maksimum
natężenia dźwięku czy równomierności oświetlenia
poszczególnych części pola widzenia)
Błąd przypadkowy
Błąd przypadkowy
manifestuje się rozrzutem
wartości pomiaru przy jego powtarzaniu ( pomiar
wielokrotny).
Małe a liczne zaburzenia pomiaru: efekty mechaniczne
(zmienne tarcie, kurczliwość, wstrząsy), wahania
napięcia zasilania przyrządów, prądy powietrza, zmienne
pola elektromagnetyczne, itp.
•
Błędy przypadkowe metody
(np. błąd
paralaksy)
•
Błędy przypadkowe przyrządu
Błąd (dokładność) przyrządu
jest w błędem
przypadkowym pod warunkiem, że przyrząd jest dobrze
wykalibrowany, w przeciwnym razie, do błędu
przypadkowego dochodzi jeszcze błąd systematyczny.
•
Błąd przypadkowy obiektu
Błąd - paralaksa
Błąd przypadkowy metody
pomiarowej
pomiar suwmiarką
pomiar dokładniejszy
Δd = 0.05 mm = 50 µm Δ d
=0.001mm = 1 µm
Pomiar wielokrotny:
• 20.15, 20.15, 20.15, 20.15 mm ... 20.12, 20.19, 20.11, 20.21, 20.09
mm, ...
Obliczenia błędu
przypadkowego
x
– wielkość fizyczna mierzona,
x
i
– wartości zmierzone, gdzie:
i = 1, ...n
,
n
– liczba pomiarów.
• Szukamy tzw.
„wartości prawdziwej”
µ
wielkości fizycznej
x
, dysponując
n
liczbami
– wynikami
pomiarów.
• Poszukujemy również wartości błędu
pomiarowego pojedynczego pomiaru
σ
,
charakteryzującej warunki pomiaru (liczba,
„ukryta”
w rozrzucie wartości
x
i
).
• średnia wyników pomiaru
(„wynik pomiaru”),
• błąd (średni kwadratowy)
pojedynczego pomiaru
-
odchylenie standardowe
lub
przyjmowane jest za „wartość pomiaru” Δx
nie jest „błędem pomiarowym” („błędem
wartości pomiaru”); jest to
błąd pojedynczego
pomiaru
, charakteryzujący takie same warunki
pomiaru.
Błąd wartości pomiaru będzie zależny
również od krotności pomiarów
n
:
-
błąd wartości średniej („błąd
pomiarowy”).
Ostatecznie:
Charakterystyka
metrologiczna
Pod pojęciem charakterystyka
metrologiczna rozumie się ogół
wiadomości o błędach układu
pomiarowego przedstawionych w
pewien uporządkowany sposób.
Różnorodność przyrządów i
rozmaitość ich zastosowań
powodują, że nie istnieje jednolity
sposób opracowywania
charakterystyk metrologicznych.
Istnieją pewne zalecenia
normatywne, producenci aparatury
korzystają z różnych wariantów
charakterystyk, upraszczając je w
dość dowolny sposób.
Charakterystyka metrologiczna
Rozkład prawdopodobieństwa błędu
niestałości
Przebieg błędu niestałości i jego
prognoza
Klasa niedokładności
Klasa niedokładności przyrządu
(systemu
pomiarowego) określa nam zakres, którego nie
może przekroczyć błąd podstawowy w całym
zakresie pomiarowym.
Sprawdzanie wskazań przeprowadza się w
warunkach odniesienia w punktach skali
przyrządu opisanych cyframi. Punkty te oznacza
się
x
j
, j = 1, ..., k
. Wynikiem sprawdzania jest
zbiór błędów
{D
j
}.
Układ pomiarowy spełnia
wymagania klasy niedokładności, gdy
|D
j
| D
dop
dla
j = 1, ..., k
.
Adiustacją
nazywa się wykonanie ściśle
określonych stosowną instrukcją
czynności regulacji (kalibrowania)
układu pomiarowego, przy wykorzystaniu
wzorca jako niezbędnego elementu
pomocniczego, sprowadzające błąd do
zadanej wartości (najczęściej do zera).
Oczywiście, gdy np. przyrząd nie ma
możliwości regulacji zamiast adiustacji
można przeprowadzić zwykłe
wzorcowanie.
Wzorcowanie
, jest to zbiór operacji
ustalających relację między
wartościami wielkości mierzonej
wskazanymi przez przyrząd
pomiarowy a odpowiednimi
wartościami wielkości, realizowanymi
przez wzorce jednostki miary.
- legalizacja
jest sprawdzeniem,
stwierdzeniem i poświadczeniem przez organ
administracji miar (wyłącznie), że przyrząd
pomiarowy spełnia wymagania przepisów
metrologicznych,
- uwierzytelnienie
jest to sprawdzenie,
stwierdzenie i poświadczenie, że przyrząd
pomiarowy spełnia wymagania metrologiczne
i ustalone w przepisach, normach i
zaleceniach międzynarodowych lub innych
właściwych dokumentach, a jego wskazania
zostały odniesione do państwowych wzorców
jednostek miar i są z nimi zgodne w granicach
określonych błędów pomiarów.
- Legalizacja i uwierzytelnienie,
ma na
celu sporządzenie oficjalnego dowodu
potwierdzającego możliwość stosowania
danego przyrządu pomiarowego. Jeżeli
wymaga tego przepis nadrzędny lub
kontrakt z klientem (umowa, zamówienie,
zlecenie), wówczas legalizacji/
uwierzytelnienia dokonać musi
uprawniona jednostka i ta jednostka
"wystawia" stosowny
dokument:
legalizujący
(np. pod rygorem spełnienia
ściśle określonych warunków
eksploatacyjnych) użytkowanie przyrządu,
oraz
zapewniający wiarygodność
wyników
pomiaru (i oczywiście monitorowania).
Funkcja błędu
Jeżeli pomiary pewnej wielkości x narażone są na
wpływ wielu niewielkich i przypadkowych zaburzeń,
to rozkład wyników jest rozkładem normalnym.
Całka
funkcji
gęstości
prawdopodobieństwa
opisującej rozkład normalny, oznaczana czasem jako
erf(t) i obliczana zgodnie ze wzorem:
nosi nazwę
funkcji błędu
lub
normalnej całki błędu
i
określa prawdopodobieństwo tego, że wartość
pomiaru znajdzie się w promieniu t odchyleń
standardowych od wartości prawdziwej X.
t
X
t
X
X
x
x
f
t
d
)
(
)
erf(
,
Niepewność pomiaru
Podstawowe terminy i definicje
•
wartość oczekiwana
– wartość
zgodna ze zdefiniowana, jest nazywana
często wartością rzeczywista; jest to
wartość, która może być uzyskana w
wyniku doskonałego pomiaru;
•
wartość oznaczana
– wartość
uzyskana w wyniku zastosowania danej
procedury analitycznej; wynik pomiaru
to najczęściej średnia arytmetyczna z
uzyskanych wartości oznaczanych;
•
dokładność pomiaru
– stopień
zgodności pomiędzy wynikiem
pojedynczego pomiaru a wartością
rzeczywista;
•
poprawność pomiaru
– stopień
zgodności pomiędzy wynikiem analizy
(średnią) a wartością rzeczywistą;
•
precyzja pomiaru
– zgodność pomiędzy
uzyskiwanymi niezależnymi pomiarami;
• niepewność pomiaru
(uncertainty) –
parametr związany z wynikiem
pomiaru, który określa przedział wokół
wartości średniej, w którym może (na
założonym poziomie istotności) znaleźć
się wartość oczekiwana;
• standardowa niepewność pomiaru
(standard uncertainty) –
u(xi)
-
niepewność pomiaru przedstawiona i
obliczona jako odchylenie standardowe;
• złożona standardowa niepewność
(combined standard uncertainty) –
uc(y)
–
standardowa niepewność wyniku
y
pomiaru,
której wartość jest obliczona na podstawie
niepewności parametrów wpływąjących na
wartość wyniku analizy z zastosowaniem
prawa propagacji niepewności;
•
rozszerzona niepewność
(expanded
uncertainty) -
U
– wielkość określająca
przedział wokół uzyskanego wyniku analizy, w
którym można, na odpowiednim, przyjętym
poziomie istotności (prawdopodobieństwa)
oczekiwać wystąpienia wartości rzeczywistej;
•
współczynnik rozszerzenia
(coverage
factor) –
k
– wartość liczbowa użyta do
wymnożenia złożonej standardowej
niepewności pomiaru w celu uzyskania
rozszerzonej niepewności, wartość
współczynnika zależy od przyjętego
poziomu prawdopodobieństwa (np.: dla
95 % wynosi 2) i najczęściej jest
wybierana z przedziału liczb 2-3;
Niepewność
• W praktyce nie znamy wartości rzeczywistych
wielkości mierzonych i szacujemy
niepewności pomiarowe wynikające ze
statystycznych praw rozrzutu pomiarów
.
• Niepewność pomiaru jest związanym
rezultatem pomiaru parametrem,
charakteryzującym rozrzut wyników, który
można w uzasadniony sposób przypisać
wartości mierzonej.
• Niepewność u
lub
u(x)
(ang.
uncertainty) posiada wymiar, taki sam
jak wielkość mierzona
• Niepewność względna ur(x)
to
stosunek niepewności (bezwzględnej) do
wielkości mierzonej:
• Niepewność względna
jest wielkością
bezwymiarową i może być wyrażona w %
Niepewność
Istnieją dwie miary niepewności
pomiaru:
•
niepewność standardowa u(x)
• niepewność maksymalna Δx
Niepewność standardowa
1. Rezultat pomiaru jest zmienną losową
x
i
, której rozrzut wokół wartości średniej
x
charakteryzuje parametr zwany
odchyleniem standardowym
2. Dokładnej wartości odchylenia
standardowego nie znamy. Niepewność
standardowa jest jego niezbyt dokładnym
oszacowaniem (estymatorem, oceną).
Niepewność maksymalna
Jest miarą deterministyczną, gdyż zakłada, że można
określić przedział wielkości mierzonej x, w którym
na pewno znajdzie się wielkość rzeczywista.
W tym przypadku staramy się określić przedział,
x
o
- Δx < x
i
< x
o
+ Δx
w którym mieszczą się wszystkie wyniki pomiaru xi,
aktualnie wykonane i przyszłe.
Zaleca się obecnie niepewność maksymalną
specyfikowaną przez producenta zamieniać na
niepewność standardową wg wzoru:
Typy oceny
niepewności
Typ A
Metody wykorzystujące statystyczną analizę serii
pomiarów:
•wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń
pomiaru
• ma zastosowanie do błędów przypadkowych
Typ B
Opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora
wykorzystującym wszystkie informacje o pomiarze i
źródłach jego niepewności
•
stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa
•dla błędu systematycznego lub dla jednego wyniku
pomiaru
Typ A
Seria wyników (próba)
x
1
,x
2
, ….x
n
obarczonych
niepewnością
przypadkową jest duża
gdy 30<n<100. W
próbie takiej wyniki się
powtarzają:
n
k
jest
liczbą pomiarów, w
których wystąpił wynik
x
k
,
n
k
/n
jest częstością
występowania wyniku
Opracowanie serii
pomiarów
bezpośrednich dużej
próby
Rozkład normalny Gaussa
Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości
x lub jej błędu Δx podlega rozkładowi Gaussa
x
0
jest wartością najbardziej prawdopodobną i może
być nią średnia arytmetyczna, jest odchyleniem
standardowym, jest wariancją rozkładu
• Pomiar o większym
σ
charakteryzuje się
większym rozrzutem wyników wokół
wartości średniej a zatem mniejszą
precyzją
Typ B
Dla oceny typu B wykorzystać można
m.in.:
•
dane z pomiarów poprzednich,
• doświadczenie i wiedzę na temat
przyrządów i obiektów mierzonych,
• informacje producenta przyrządów,
• niepewności przypisane danym
zaczerpniętym z literatury
Gdy informacja o pomiarze i źródle jego niepewności
jest dobra, dokładność oceny typu B jest porównywalna
z dokładnością oceny typu A.
NIEPEWNOŚĆ WIELKOŚCI
ZŁO
ż
ONEJ
–
PRAWO PRZENOSZENIA
BŁĘDU
Metoda różniczki zupełnej
Dla wielkości złożonej
y=f(x
1
,x
2
,...x
n
)
gdy niepewności
maksymalne Δx
1
, Δx
2
, ... Δx
n
są
małe w porównaniu z wartościami
zmiennych x
1
,x
2
, ... x
n
niepewność
maksymalną wielkości y
wyliczamy z praw rachunku
różniczkowego:
Prawo przenoszenia
niepewności
Niepewność standardową wielkości
złożonej
y=f(x
1
,x
2
,...x
n
) obliczamy z tzw.
prawa
przenoszenia niepewności
jako
sumę geometryczną różniczek
cząstkowych
Zasada rysowania wykresów
2. Trzeba nanieść błąd pomiaru
3. Dobrać zakresy osi współrzędnych
odpowiednio do zakresu zmienności
danych pomiarowych !!!
4. Właściwie opisać osie współrzędnych
i dobrać skalę, tak aby łatwo można
było odczytać wartości zmierzone.
5. Nie łączyć punktów
eksperymentalnych linią łamaną!!!
Jeśli znany jest przebieg teoretyczny
to dokonać dopasowania teorii do
doświadczenia
6. Zadbać o aspekt estetyczny wykresu
(opis, zamknięcie ramką, itp.)
Metoda najmniejszych
kwadratów
Regresja liniowa
Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:
• Otrzymuje się układ równań liniowych dla
niewiadomych a i b
• Rozwiązując ten układ równań otrzymuje
się wyrażenia na a i b
Z praw statystyki można wyprowadzić
wyrażenia na odchylenia
standardowe obu parametrów
prostej:
Linearyzacja danych
eksperymentalnych
PODSUMOWANIE
• Każdy pomiar w laboratorium jest obarczony
niepewnością pomiarową, którą eksperymentator
musi określić zgodnie z pewnymi zasadami.
• W pierwszej kolejności należy przeanalizować
źródła błędów, pamiętając, aby wyeliminować
wyniki obarczone błędem grubym. W
laboratorium studenckim błędy systematyczne z
reguły przewyższają błędy przypadkowe.
•
Wielokrotne powtarzanie pomiarów, gdy
dominuje błąd systematyczny, nie ma sensu.
W takim przypadku dokonujemy tylko 3-5
pomiarów w tych warunkach w celu
sprawdzenia powtarzalności.
• Gdy błąd przypadkowy dominuje w
eksperymencie, należy sprawdzić czy
rozkład wyników może być opisany funkcją
Gaussa czy też należy spodziewać się innego
rozkładu. W tym celu dokonujemy
wielokrotnego (np. 100 razy) pomiaru w
tych samych warunkach, obliczamy średnią i
wariancję rozkładu, rysujemy histogram,
etc.)
•
Jako miarę niepewności stosujemy raczej
niepewność standardową, rzadziej
niepewność maksymalną.
• W przypadku wielkości złożonej, stosujemy
prawo przenoszenia błędu. Staramy się
przeprowadzić analizę niepewności wielkości
złożonej tak, aby uzyskać informacje
dotyczące wagi przyczynków, jakie wnoszą do
całkowitej niepewności pomiary
poszczególnych wielkości prostych. W tym
celu należy analizować niepewności
względne.
•
Ważnym elementem sprawozdania z
przebiegu eksperymentu (i to nie tylko w
laboratorium studenckim) jest wykres.
Wykresy sporządzamy zgodnie z dobrymi
zasadami, pamiętając o jednoznacznym
opisie.
• Zawsze, gdy to możliwe, dokonujemy
linearyzacji danych eksperymentalnych, np.
rysując y i ln (x), lub log y i log x, lub y i 1/x
itp. Do tak przygotowanych danych można
zastosować metodę regresji liniowej
•
Jeżeli znane są podstawy teoretyczne
badanego zjawiska, na wykresie
zamieszczamy krzywą teoretyczną (linia
ciągła) na tle wyraźnych punktów
eksperymentalnych (dobieramy
odpowiednie symbole i nanosimy
niepewności eksperymentalne). Możemy
wcześniej dokonać dopasowania
parametrów przebiegu teoretycznego w
oparciu o znane metody „dopasowania”
Pomiar - definicja
POMIAR
Ilościowe wyznaczenie
na drodze eksperymentu
jakiejś cechy zjawiska, ciała lub
procesu
Pomiar - definicja
Cecha
=
Wartość wielkości
— iloczyn jednostki miary i liczby
Pomiar - definicja
POMIAR
=
wyznaczenie wartości wielkości
Pomiar - wielkość
Wielkość
każda mierzalna własność zjawiska lub
ciała
Pomiar – jednostka miary
Jednostka miary
umownie wybrany stan wielkości
fizycznej
Pomiar
Miara A wielkości fizycznej
iloczyn liczby {A}
(wartości liczbowej wielkości
fizycznej)
oraz
jednostki miary [A] tej wielkości
A = {A}[A]
Pomiar
Pomiar jest zespołem działań i doświadczeń
obejmujących:
• teoretyczne i praktyczne przygotowanie,
• techniczną realizację,
• opracowanie i interpretację wyników
pomiarów.
Pomiar
Przyrząd pomiarowy przyporządkowuje zbiorowi
mierzonych cech obiektu zbiór wartości, zwykle w
postaci wartości liczbowych. Podstawą tego
przyporządkowania jest skala pomiarowa, a wiec
zbiór uporządkowanych liczb, którym odpowiadają
wartości mierzonej cechy obiektu. Skalę pomiarową
budujemy w oparciu o wzorce, a interwałem skali
jest zwykle wartość wielkości przyjęta za jednostkę
miary.
Etapy procesu pomiarowego
i struktura przyrządu pomiarowego
Etapy procesu pomiarowego -
Etap I
• Przejęcie sygnału ze źródła wielkości
• Wyselekcjonowanie interesującej nas
wielkości
• Przetworzenie wielkości na porównywalną
• Dopasowanie wartości wielkości porówny-
walnej do zakresu przyrządu pomiarowego
Etapy procesu pomiarowego -
Etap II
(podstawowa struktura procesu pomiarowego)
• Odszukanie wzorca w pamięci
• Porównanie przetworzonej wielkości z
wzorcem
• Przekazanie sygnału o wyniku
porównania
Etapy procesu pomiarowego -
Etap III
• Przetworzenie surowego wyniku
pomiaru do dalszego opracowania
• Dopasowanie wielkości
• Opracowanie wyniku pomiaru według
modelu matematycznego
Etapy procesu pomiarowego -
Etap IV
• Przetworzenie wyniku pomiaru dla
ujawnienia wielkości
• Ujawnienie wyniku:
–
analogowe (wychylenie wskaźnika, wykres, itp.)
–
cyfrowe (wyświetlacz, wydruk, zapis w pamięci)
Zasada pomiaru
Zasada pomiaru
określa zjawisko fizyczne stanowiące
podstawę pomiaru
(np. zasada proporcjonalnego wydłużania słupka
rtęci pod wpływem wzrostu temperatury)
Metoda pomiarowa
Metoda pomiarowa
sposób postępowania przy porównaniu
parametrów badanego zjawiska z
wzorcem celem wyznaczenia wartości
danej
wielkości fizycznej
Sposób pomiaru
Sposób pomiaru
określa kolejność czynności
koniecznych
do wykonania pomiaru
Metody pomiarowe - rodzaje
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa bezpośrednia
W jej wyniku otrzymuje się bezpośrednio
wartość wielkości mierzonej
bez potrzeby wykonywania dodatkowych
obliczeń opartych na zależnościach
funkcjonalnych
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa bezpośrednia
Równanie
y = a · x
Gdzie
y – wynik pomiaru
x – wartość odczytana
a – stała przyrządu pomiarowego
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa bezpośrednia
Przykład
Pomiar długości śruby za pomocą przymiaru
x = 65 [mm], a = 1
y = 1 · 65[mm] = 65 [mm]
65mm
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa pośrednia
W jej wyniku otrzymuje się wartości innych
wielkości związanych funkcjonalnie z
wielkością mierzoną i znając zależność
funkcjonalną oblicza
się wielkość mierzoną
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa pośrednia
Równanie
y = f (x
1
, x
2
, x
3
,…x
n
)
Gdzie
y – wynik pomiaru
x
1
, x
2
, x
3
,…, x
n
– wielkości zmierzone bezpośrednio
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa pośrednia
Przykład
Pomiar gęstości przedmiotu na podstawie pomiarów
jego wymiarów zewnętrznych i masy
m = 2,25
[kg]
x
1
= 0,10
[m]
x
2
= 0,11
[m]
x
3
= 0,12
[m]
y =
m
x
1
· x
2
· x
3
y =
2,25 [kg]
0,10 [m] · 0,11 [m] · 0,12
[m]
y = 1704,55
kg
m
3
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa złożona
Polegająca na bezpośrednim wyznaczeniu
wartości pewnej liczy wielkości lub na
pośrednim wyznaczeniu wartości tych
wielkości grupowanych w różnych
kombinacjach, co wymaga rozwiązania
układów odpowiednich równań
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa złożona
Równanie
f
1
(y
1
, y
2
, y
3
, …, y
n
, x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) = 0
f
2
(y
1
, y
2
, y
3
, …, y
n
, x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) = 0
f
3
(y
1
, y
2
, y
3
, …, y
n
, x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) = 0
f
n
(y
1
, y
2
, y
3
, … ,y
n
, x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
) = 0
Gdzie
y – wynik pomiaru
x
1
, x
2
, x
3
,…, x
n
– wielkości zmierzone bezpośrednio
y
1
, y
2
, y
3
,…, y
n
– wielkości zmierzone pośrednio
…
Metody pomiarowe
– podział wg wielkości mierzonej i
porównywanej
Metoda pomiarowa złożona
Przykład
Pomiar masy kompletu odważników wagi szalkowej przy znanej
masie jednego z nich i gdy znane są wyniki porównań mas
różnych kombinacji odważników.
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
Metoda wychyleniowa
Polega na określeniu wartości wielkości mierzonej na
podstawie odchylenia wskazówki lub innego
wskazania
(np. cyfrowego) narzędzia pomiarowego.
Odchylenie to jest miarą wielkości mierzonej.
Podczas pomiaru wzorzec wielkości mierzonej nie
występuje bezpośrednio, natomiast przy produkcji
narzędzia pomiarowego cały szereg wartości
wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego
wykonania podziałki (wzorcowanie podziałki).
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
m
p
=
Metoda wychyleniowa
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
Metoda różnicowa
Jest metodą porównawczą, przy której w układzie
pomiarowym występuje wzorzec wielkości o
wartości zbliżonej do wartości mierzonej (np.
jednowartościowy wzorzec nienastawialny). W tym
przypadku bezpośrednio mierzy się różnicę obu
wartości, a wynik pomiaru określa się następująco:
y = x
w
+Δx
gdzie: x
w
- wartość wzorcowa,
Δx - zmierzona bezpośrednio różnica, z uwzględnieniem jej znaku.
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
d
N
d
d = N - d
Metoda różnicowa
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
Metoda podstawieniowa
W układzie pomiarowym musi znajdować się
wzorzec wielkości mierzonej o wartościach
nastawianych w szerokich granicach. Podczas
pomiaru wartość mierzoną x zastępuje się
wartością wzorcową x
w
, dobraną w taki sposób,
aby skutki (np. odchylenia wskazówki miernika)
wywoływane przez obie wartości były takie same,
z czego wynika zależność: y = x = x
w
.
Metoda podstawieniowa
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
m
x
= m
u
m
u
= m
w
m
x
= m
w
y =
m
w
=
>
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
Metoda zerowa - kompensacyjna
Mamy z nią do czynienia, jeżeli w procesie
porównywania wielkość wzorcowa przeciwdziała
wielkości mierzonej i kompensuje jej fizyczne
działanie na detektor. W stanie równowagi
fizyczne działanie obu wielkości (x, w) jest
jednakowe i przeciwnie skierowane.
Metoda zerowa - kompensacyjna
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
m
x
= m
w
y =
m
w
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
Metoda zerowa - komparacyjna
Polega na porównaniu bezpośrednio wielkości
mierzonej x z wielkością wzorcową w za pomocą
dodatkowej regulacji k zmniejszającej lub
zwiększającej wielkość wzorcową w.
Metoda zerowa - komparacyjna
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu porównania
wielkości
m
x
· l
x
= m
w
· l
w
m
x
= m
w
y =
m
w
l
w
l
x
l
w
l
x
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda bezpośredniego
porównania
Polega na uformowaniu sygnału y przez
porównanie wielkości mierzonej x z
wielkością wzorcową x
w
. Sygnał y przenosi
informacje o wartości wielkości wzorcowej x
w
odpowiadającej stanowi równowagi, a więc i
o wartości wielkości mierzonej.
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda przekształcania
Polega na uformowaniu sygnału y przez
zmianę skali wielkości mierzonej x, zmianę
rodzaju energii przenoszącej wielkość x lub
też na drodze sterowania wielkością x
procesami energetycznymi przenoszącymi
sygnał y
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda analogowa
Wartość wielkości mierzonej, która
zmienia się w sposób ciągły, odpowiada
również wielkość wyjściowa (wskazanie)
o ciągłych wartościach
.
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda analogowa
Przykład
Pomiar długości
suwmiarką
uniwersalną
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda cyfrowa
Ciągłym przedziałom wartości wielkości
mierzonej są przyporządkowane nieciągłe
(dyskretne) przydziały wartości wielkości
wyjściowej To znaczy, że wartości wyjściowe
mają formę cyfrową, która składa się z
całkowitej liczby kwantów
Metody pomiarowe
– podział wg sposobu przekształcania
sygnału
Metoda cyfrowa
Przykład
Pomiar długości
suwmiarką
z odczytem
cyfrowym
Podstawy metrologii
Błędy pomiarów
Błędy pomiarów
Podstawowy aksjomat metrologii:
NIE MA POMIARÓW BEZBŁĘDNYCH
Z każdym pomiarem wiąże się błąd, który wyraża
niezgodność wartości uzyskanej w wyniku pomiaru z
rzeczywistą wielkością wartości mierzonej
Błędy pomiarów
Pomiar to zbiór czynności, po wykonaniu których
możemy stwierdzić, że w danej chwili
w określonych warunkach wielkość mierzona
miała wartość (x
r
), spełniającą następujący warunek:
a <= x
r
<= b
W wyniku pomiaru jesteśmy w stanie jedynie
wskazać przedział < a,b >, w którym znajduje się
faktyczna wartość wielkości mierzonej.
Błędy pomiarów
–
wartość prawdziwa
Wartość prawdziwa (wielkości)
Jest to wartość, jaką uzyskałoby się jako
wynik bezbłędnego pomiaru.
Wartości prawdziwe są ze swej natury
nieznane
Błędy pomiarów
– wartość umownie prawdziwa
Wartość umownie prawdziwa
(wartość poprawna)
Wartość przypisana wielkości określonej i
uznana, niekiedy umownie, jako wartość
wyznaczona z niepewnością akceptowalną w
danym zastosowaniu.
Wartość umownie prawdziwa jest niekiedy nazywana
wartością przypisaną, najlepszym oszacowaniem
wartości, wartością umowną lub wartością odniesienia
.
Błędy pomiarów
– wynik pomiaru
Wynik pomiaru
Jest to wartość przypisana wielkości
mierzonej, uzyskana drogą pomiaru.
Błędy pomiarów
- definicja
Błąd pomiaru
Różnica miedzy wynikiem pomiaru a
wartością prawdziwą wielkości mierzonej
Ponieważ wartość prawdziwa nie może być określona,
stosuje się w praktyce wartość umownie prawdziwą
Błędy pomiarów
- sposób wyrażania błędów
Błąd w postaci bezwzględnej
x = y – x
r
Gdzie:
x – wartość błędu
y – wynik
x
p
– mara poprawna wielkości
Błędy pomiarów
- sposób wyrażania błędów
Błąd w postaci bezwzględnej
• jest liczbą mianowaną
• wyrażany jest w jednostkach wielkości
mierzonej
• jest opatrzony znakiem (+ lub -)
Znak „+” oznacza, że wynik pomiaru jest większy od
wartości rzeczywistej, znak „-”, że jest mniejszy od
wartości rzeczywistej mierzonej wielkości
Błędy pomiarów
- sposób wyrażania błędów
Błąd w postaci względnej
x =
--------
100%
Gdzie:
x – wartość błędu
y – wynik
x
p
– mara poprawna wielkości
y – x
p
x
p
Błędy pomiarów
- sposób wyrażania błędów
Błąd w postaci względnej
• jest wyrażany liczbą niemianowaną
• jest wyrażany w procentach
Błędy pomiarów
- rodzaje
Błędy pomiarów
- błąd przypadkowy
Błąd przypadkowy
Jest to błąd pomiaru, który podczas
wielokrotnego wykonywania pomiaru tej
samej wartości pewnej wielkości, w
praktycznie tych samych warunkach,
przybiera różne wartości i znaki,
zmieniające się według nie ustalonego
prawa.
Błędy pomiarów
- błąd przypadkowy
Błąd przypadkowy - wartość
Jest to różnica między wynikiem pomiaru a
średnią z nieskończonej liczby wyników
pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonanych w warunkach powtarzalności
.
Błędy pomiarów
- błąd systematyczny
Błąd systematyczny
Jest błąd pomiaru, który podczas
wielokrotnego wykonywania pomiaru tej
samej wartości pewnej wielkości, w
praktycznie tych samych warunkach,
pozostaje niezmienny, lub zmienia się w
funkcji parametru, według ustalonego
prawa.
Błędy pomiarów
- błąd systematyczny
Błąd systematyczny - wartość
Jest to różnica między średnią z
nieskończonej liczby wyników pomiarów tej
samej wielkości mierzonej, wykonanych w
warunkach powtarzalności, a wartością
prawdziwą wielkości mierzonej.
Błędy pomiarów
- błąd nadmierny
Błąd nadmierny
Jest to błąd zbyt duży w stosunku do błędów
przypadkowych i systematycznych
Błędy pomiarów
- graficzna interpretacja
Błędy pomiarów
- surowy wynik pomiaru
Surowy wynik pomiaru
Jest to wynik wynik pomiaru
przed korektą błędu systematycznego
Błędy pomiarów
- poprawiony wynik pomiaru
Poprawiony wynik pomiaru
Jest to wynik pomiaru
po korekcie błędu systematycznego
Błędy pomiarów
- wynik pomiaru – sposób zapisu
Gdy podaje się wynik, należy wyraźnie
zaznaczyć, czy dotyczy on:
•wskazania wyniku surowego
•wyniku poprawionego i czy jest średnią
uzyskaną z wielu obserwacji.
Całkowite wyrażenie wyniku pomiaru
zawiera dane dotyczące niepewności
pomiaru
Błędy pomiarów
- wskazanie
Wskazanie przyrządu pomiarowego
Jest to wartość wielkości
podawana przez przyrząd pomiarowy.
Błędy pomiarów
- wielkość wpływająca
Wielkość wpływająca
Jest to wielkość nie będąca wielkością
mierzoną, która ma jednak wpływ na wynik
pomiaru.
Błędy pomiarów
- wielkość wpływająca
Wielkość wpływająca
Przykłady:
• temperatura mikrometru podczas pomiaru
długości
• częstotliwość podczas pomiaru amplitudy
przemiennego napięcia elektrycznego
• stężenie bilirubiny podczas pomiaru stężenia
hemoglobiny w próbce plazmy krwi ludzkiej
.
Błędy pomiarów
- dokładność pomiaru
Dokładność pomiaru
Jest to stopień zgodności wyniku pomiaru
z wartością rzeczywistą wielkości mierzonej.
Błędy pomiarów
- powtarzalność (wyników pomiaru)
Powtarzalność
Jest to stopień zgodności wyników kolejnych
pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonywanych w tych samych warunkach
pomiarowych.
Błędy pomiarów
- powtarzalność (wyników pomiaru)
Warunki powtarzalności wyników
pomiarów
• ta sama procedura pomiarowa i ten sam
obserwator
• ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w
tych samych warunkach i to samo miejsce
• powtarzanie pomiaru w krótkich odstępach
czasu
.
Błędy pomiarów
- odtwarzalność (wyników pomiaru)
Odtwarzalność
Jest to stopień zgodności wyników kolejnych
pomiarów tej samej wielkości mierzonej,
wykonywanych w tych samych warunkach
pomiarowych.
Błędy pomiarów
- odtwarzalność (wyników pomiaru)
Warunki odtwarzalności wyników
pomiarów
• Warunki podlegające zmianom mogą obejmować:
zasadę pomiaru, metodę pomiaru, obserwatora,
przyrząd pomiarowy, etalon (wzorzec)
odniesienia, miejsce, warunki stosowania, czas.
• Odtwarzalność można wyrażać ilościowo za
pomocą charakterystyk rozrzutu wyników
.
Podstawy metrologii
Niepewność pomiarowa i jej wyznaczanie
Błędy pomiarów
- błędy przypadkowe
Błędy pomiarów
-
niepewność pomiarowa
Niepewność pomiarowa
Nieujemny parametr,
charakteryzujący rozproszenie wartości
wielkości przyporządkowanych do mezurandu,
obliczony na podstawie uzyskanej informacji
Międzynarodowy Słownik
Metrologiczny
Błędy pomiarów
-
niepewność pomiarowa
Niepewność pomiarowa
• Parametrem niepewności może być odchylenie
standardowe albo połowa szerokości przedziału
odpowiadającego określonemu poziomowi
ufności.
• Przyjmuje się, ze wynik pomiaru stanowi
najlepsze oszacowanie wartości wielkości
mierzonej i że wszystkie składniki niepewności,
włącznie z tymi, które pochodzą od efektów
systematycznych, jak na przykład składniki
związane z poprawkami lub z wzorcami
odniesienia, wnoszą swój udział do rozrzutu.