 Praca, siły zachowawcze, energia potencjalna

 Energia kinetyczna i zasada zachowania energii

 Zderzenia elastyczne

 Zasada zachowania pędu

Praca i energia

Praca wykonana przez stałą siłę

Przypadek

stałej siły

, działającej na ciało

F







d

Fcos

W









d

F







d



F



UWAGI:

1. Ciało może przemieszczać się w kierunku innym niż działa siła.

2. Jeśli

to

3.

Praca jest skalarem.

4. Praca może być dodatnia lub ujemna.

5. Siły przyłożone do ciała nie zawsze wykonują pracę.





i

i

f

F





























i

i

i

i

i

i

W

W

d

f

d

f

d

F













jednostka pracy
SI: 1 Nm=1 dżul [J]

„Praca” bez pracy, czyli kiedy siła nie pracuje.

Kiedy siła działa na
nieruchome ciało,
nie wykonuje pracy.

Siła bez Ruchu

Kiedy ciało, jest przenoszone
ze stałą prędkością przez siłę,
która działa prostopadle do
kierunku ruchu, siła nie pracuje.

Siła prostopadła do Ruchu

Stała
prędkość

Praca i energia

ds

F

ds

F

r

d

F

dW

t











cos





Siła działa na punkt
materialny P
Praca jaką wykonuje siła przy
przesunięciu P o

F



r

Prac
a

Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonują pracy!

siła Coriolisa, siła Lorentza, siły reakcji
więzów

F

n

P

dr

Q

F

F

t

Praca i energia

Praca wykonana przez siłę zmienną w 1D

F(x)

F

0

x

x

1

x

2

Praca = F (x

2

-x

1

) =

powierzchnia pod prostą F=const.

F(x)

0

x

x

1

x

2

Praca =

=

powierzchnia pod krzywą F(x).

( )

2

1

x

x

F x dx

�

Prac
a

Praca siły na drodze między

A

i

B

:

)

(r

F



dr

r

F

W

B

A

AB





)

(

A

dr

1

B

dr

2

dr

3

dr

4

x

y

z

O

F

1

F

2

F

3

F

4

l

r(t)

r(t )

0

Jednostki pracy:
Joul (SI)

2

2

s

cm

g

cm

dyna

erg





erg (CGS)

2

2

s

m

kg

m

N

J





W ogólnym przypadku praca

W

AB

jaka

wykonujemy podczas ruchu punktu z A
do
B może zależeć od:

•

przebytej drogi

l

np. praca sił tarcia będzie
proporcjonalna do

l

•

toru ruchu

np. jeśli siły oporu zależą od wyboru toru

•

prędkości;

siły oporu w ośrodku zależą od
prędkości

•

czasu

jeśli działające siły zależą od czasu

A

l

2

l

1

ds

dW=Fds

l

B

s

dW=Fds

l

F

l

F

l

F

l

B

A

l

2

l

1

Praca

Praca i energia

Energia kinetyczna, czyli na co idzie praca

Do tej pory nie zastanawialiśmy się

na co

idzie praca siły

Jeśli

F

jest niezrównoważona to punkt materialny

powinien przyśpieszać

a odległość

x

powinna rosnąć jak





t

v

-

v

a

o

/



Praca wykonana przez
siłę

F



 



o

o

o

o

K-K

mv

mv

t

v

v

t

v-v

m

x

a

m

F x

W



















2

2

1

2

2

1

2





2

/

v

v

t

x

o





Wielkość nazywamy

energią kinetyczną

tego punktu materialnego

2

2

1

mv

K 

Energia kinetyczna

Łatwiejsze wyprowadzenie wzoru na energię
kinetyczną:

2

2

2

2

2

2

2

mv

t

ma

at

ma

s

F

W













Stała siła F
nadaje ciału
przyspieszenie a

Droga w ruchu
jednostajnie
przyspieszonym bez
prędkości początkowej

Praca i energia

Energia kinetyczna ciała znajdującego

się w ruchu równa jest pracy, jaką może

wykonać to ciało, zanim się zatrzyma

Energia kinetyczna ciała znajdującego

się w ruchu równa jest pracy, jaką może

wykonać to ciało, zanim się zatrzyma

Twierdzenie o pracy i energii

Praca wykonana przez wypadkową siłę

przy przemieszczaniu

punktu materialnego

zawsze równa jest zmianie

energii kinetycznej tego punktu

Twierdzenie o pracy i energii

Praca wykonana przez wypadkową siłę

przy przemieszczaniu

punktu materialnego

zawsze równa jest zmianie

energii kinetycznej tego punktu

Jednostki

energii kinetycznej

i

pracy

są takie same

Twierdzenie o pracy i energii

nie jest nowym prawem

mechaniki klasycznej

(wynika z II-ZDN oraz definicji

pracy i energii kinetycznej)

Moc

dt

dE

P 

dt

dW

P 

v

F

dt

dr

F

dt

dr

F

P













Jednostki mocy:

-Wat (SI)

-erg/s (CGS)

- koń mechaniczny

W

KM 746

1



3

2

s

m

kg

s

J

W





Szybkość z jaką wykonywana jest praca (przekazywana energia) 

moc

Praca w polu

grawitacyjnym





= 90 - (180 -



) =



- 90

sin



= -sin(90 -



) =

-

cos



mgh

h

mg

W

















cos

cos

12







cos

sin

cos

12

12













h

mg

S

mg

W

Praca siły grawitacji na drodze
12

Praca w polu grawitacyjnym





mgh

h

mg

S

mg

W





















cos

cos

cos

34

34

Praca siły grawitacji na drodze
34

Praca w polu grawitacyjnym



0

90

cos

0

23

23









S

mg

W

Praca siły grawitacji na drodze
23

m
g

...i na drodze 41

0

41



W

0

0

0

41

34

23

12



















mgh

mgh

W

W

W

W

Siły zachowawcze

Praca siły grawitacji po torze zamkniętym
jest równa zeru

–

siła grawitacji jest siłą zachowawczą

0

)

(

)

(

2

1





BA

AB

W

W

2

2

)

(

)

(

BA

AB

W

W





2

)

(

1

)

(

AB

AB

W

W



Siły zachowawcze

Jeśli praca siły po drodze zamkniętej

nie

równa się zeru, to siła ta jest

dyssypatywna

(rozpraszająca).

Praca siły zachowawczej nie zależy od
drogi, a tylko od położenia punktu
początkowego i końcowego.

Energia potencjalna

Energia potencjalna

ciała w danym punkcie,

względem określonego punktu odniesienia,
równa jest

pracy

jaką wykonują

siły

zachowawcze

przy przemieszczeniu  ciała z

danego punktu do punktu odniesienia.

h

g

m

E

p







p

pA

pB

pB

pA

AB

E

E

E

E

E

W

















)

(

p

dE

dx

F

dW









dx

dE

F

p





lub

Siła pola grawitacyjnego zależy od
szybkości zmian energii potencjalnej
w przestrzeni.

Energia potencjalna

p

dE

r

d

F

dW











 

o

x

x

p

U

dx

x

F

E

U

o











Energia potencjalna jest to funkcja położenia, której ujemna
pochodna daje wyrażenie na siłę.

 

r

E

p





- energia potencjalna ciała o polu działania siły zachowawczej

 

r

F







Praca nie zależy od drogi przebytej przez ciało lecz od położenia początkowego i końcowego

Jeżeli siły są zachowawcze to E

p

jest jednoznaczną funkcją skalarną tzn. każdemu

położeniu r odpowiada jedna wartość energii położenia r ciągłą i mającą ciągłe
pochodne niezależną od czasu.

Zasada zachowania energii mechanicznej

Praca siły zachowawczej pomiędzy

A

i

B

)

(r

F 



B

p

A

p

B

A

AB

E

E

dr

r

F

W











)

(



Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało:

A

k

B

k

AB

E

E

W





B

p

A

p

A

k

B

k

E

E

E

E









A

p

A

k

B

p

B

k

E

E

E

E









Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu materialnego
zachowuje stałą wartość.

const

E

E

E

p

k







Prawo zachowania energii

KE – energia kinetyczna

PE – energia potencjalna

m = 50 kg

Zasada zachowania pędu:

Pęd

ciała to iloczyn jego masy i prędkości:

v

m

p







Uogólniona druga zasada dynamiki:

dt

p

d

F







 



a

dt

v

d

m

v

dt

dm

dt

v

m

d

dt

p

d

F





















const

p

dt

p

d

F















0

W układzie odosobnionym, jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na

układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały.

Prawo zachowania pędu

Jeżeli na układ nie działają siły
zewnętrzne lub działa układ siła
zrównoważonych, to pęd układu
zachowuje wartość stałą.

 

0



z

F



0



dt

p

d

const

p



z

N

i

i

N

i

i

F

dt

p

d

dt

p

d

dt

d

dt

p

d























1

1

II zadada dynamiki:

Sprężyste zderzenie centralne

Prawo zachowania pędu:

'

2

2

'

1

1

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m















Prawo zachowania energii:

2

2

2

2

2

'

2

2

2

'

1

1

2

2

2

2

1

1

v

m

v

m

v

m

v

m















:

)

(

)

(

2

2

2

'

2

2

2

'

1

2

1

1

v

v

m

v

v

m











)

(

)

(

2

'

2

2

'

1

1

1

v

v

m

v

v

m











Sprężyste zderzenie centralne

Prędkość zbliżania się kul przed zderzeniem równa
jest prędkości ich oddalania się po zderzeniu czyli
ich

prędkości względne

przed i po zderzeniu

są

takie same

.

prędkość
względna
przed
zderzeniem

prędkość
względna po
zderzeniu

'

2

2

'

1

1

v

v

v

v







'

1

'

2

2

1

v

v

v

v







'

1

2

1

'

2

v

v

v

v











































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

= m

2

Przed zderzeniem

Po zderzeniu

2

'

1

v

v 

1

'

2

v

v 





































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

= m

2

v

2

= 0

Przed zderzeniem

Po zderzeniu

0

'

1



v

1

'

2

v

v 

m

1

v

1

m

2

m

1

m

2

'

2

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

<< m

2

v

2

=

0

2

2

1

m

m

m





0

2

1



m

m

1

'

1

v

v





0

'

2



v

Przed zderzeniem

m

1

v

1

m

2

Po zderzeniu

m

1

m

2

'

1

v





































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Sprężyste zderzenie centralne

m

1

v

1

m

2

Przed zderzeniem

m

2

<<

m

1

v

2

=

0

m

1

m

2

'

2

v

Po zderzeniu

m

2

1

2

1

m

m

m





0

1

2



m

m

1

'

1

v

v 

1

'

2

2v

v 

Spowalnianie neutronów?





































2

1

2

2

2

1

2

1

1

'

1

2

m

m

m

v

m

m

m

m

v

v



































2

1

1

2

2

2

1

1

1

'

2

2

m

m

m

m

v

m

m

m

v

v

Zderzenie idealnie

niesprężyste

v

m

m

v

m

v

m













)

(

2

1

2

2

1

1

Przed zderzeniem:

Po zderzeniu:

m

1

v

1

m

2

v

2

1

2

2

1

1

m

m

v

m

v

m

v











Wahadło balistyczne

pk

k

p

p

p

v

m

m

v

m









)

(

2

)

(

2

)

(

pk

k

p

pk

k

v

m

m

E





Wahadło balistyczne

h

g

v

pk





 2

h

g

m

m

m

v

p

k

p

p











2

)

(

h

g

m

m

v

m

m

p

k

pk

k

p











)

(

2

)

(

2

Wahadło balistyczne

1

1

)

(

)

(

)

(











mp

mk

m

m

m

E

E

p

k

p

pk

k

p

k

h

g

m

m

m

v

m

E

p

k

p

p

p

p

k













2

2

)

(

)

(

2

Stracona energia mechaniczna zamieniła się na
ciepło powodując rozgrzanie pocisku i kloca.

2

)

(

2

)

(

pk

k

p

pk

k

v

m

m

E





Zderzenia nie centralne

Dla zderzeń centralnych parametr zderzenia

b=0

W przypadku gdy

zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach:

0



b

Zasada zachowania energii:

Zasada zachowania pędu:

Jeśli masy zderzających się sprężyście ciał są równe

m

1

=m

2

- zagadnienie bardzo się upraszcza

Zderzenia nie centralne

Z zasad zachowania:

2

2

1





Q



Q

2

2
2

'

2

1

'

1

2

'

1

'

1

v

v

v

v

v

v























Zderzenie proton-proton
w komorze pęcherzykowej

Fotografia zderzających się kul

Zderzenia

m

1

=m

2

Zderzenia nie
centralne

Stan końcowy zależy od parametru zderzenia
b

m

1

=

m

2