Praca, siły zachowawcze, energia potencjalna
Energia kinetyczna i zasada zachowania energii
Zderzenia elastyczne
Zasada zachowania pędu
Praca, siły zachowawcze, energia potencjalna
Energia kinetyczna i zasada zachowania energii
Zderzenia elastyczne
Zasada zachowania pędu
Praca i energia
Praca wykonana przez stałą siłę
Przypadek
stałej siły
, działającej na ciało
F
d
Fcos
W
d
F
d
F
UWAGI:
1. Ciało może przemieszczać się w kierunku innym niż działa siła.
2. Jeśli
to
3.
Praca jest skalarem.
4. Praca może być dodatnia lub ujemna.
5. Siły przyłożone do ciała nie zawsze wykonują pracę.
i
i
f
F
i
i
i
i
i
i
W
W
d
f
d
f
d
F
jednostka pracy
SI: 1 Nm=1 dżul [J]
„Praca” bez pracy, czyli kiedy siła nie pracuje.
Kiedy siła działa na
nieruchome ciało,
nie wykonuje pracy.
Siła bez Ruchu
Kiedy ciało, jest przenoszone
ze stałą prędkością przez siłę,
która działa prostopadle do
kierunku ruchu, siła nie pracuje.
Siła prostopadła do Ruchu
Stała
prędkość
Praca i energia
ds
F
ds
F
r
d
F
dW
t
cos
Siła działa na punkt
materialny P
Praca jaką wykonuje siła przy
przesunięciu P o
F
r
Prac
a
Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonują pracy!
siła Coriolisa, siła Lorentza, siły reakcji
więzów
F
n
P
dr
Q
F
F
t
Praca i energia
Praca wykonana przez siłę zmienną w 1D
F(x)
F
0
x
x
1
x
2
Praca = F (x
2
-x
1
) =
powierzchnia pod prostą F=const.
F(x)
0
x
x
1
x
2
Praca =
=
powierzchnia pod krzywą F(x).
( )
2
1
x
x
F x dx
�
Prac
a
Praca siły na drodze między
A
i
B
:
)
(r
F
dr
r
F
W
B
A
AB
)
(
A
dr
1
B
dr
2
dr
3
dr
4
x
y
z
O
F
1
F
2
F
3
F
4
l
r(t)
r(t )
0
Jednostki pracy:
Joul (SI)
2
2
s
cm
g
cm
dyna
erg
erg (CGS)
2
2
s
m
kg
m
N
J
W ogólnym przypadku praca
W
AB
jaka
wykonujemy podczas ruchu punktu z A
do
B może zależeć od:
•
przebytej drogi
l
np. praca sił tarcia będzie
proporcjonalna do
l
•
toru ruchu
np. jeśli siły oporu zależą od wyboru toru
•
prędkości;
siły oporu w ośrodku zależą od
prędkości
•
czasu
jeśli działające siły zależą od czasu
A
l
2
l
1
ds
dW=Fds
l
B
s
dW=Fds
l
F
l
F
l
F
l
B
A
l
2
l
1
Praca
Praca i energia
Energia kinetyczna, czyli na co idzie praca
Do tej pory nie zastanawialiśmy się
na co
idzie praca siły
Jeśli
F
jest niezrównoważona to punkt materialny
powinien przyśpieszać
a odległość
x
powinna rosnąć jak
t
v
-
v
a
o
/
Praca wykonana przez
siłę
F
o
o
o
o
K-K
mv
mv
t
v
v
t
v-v
m
x
a
m
F x
W
2
2
1
2
2
1
2
2
/
v
v
t
x
o
Wielkość nazywamy
energią kinetyczną
tego punktu materialnego
2
2
1
mv
K
Energia kinetyczna
Łatwiejsze wyprowadzenie wzoru na energię
kinetyczną:
2
2
2
2
2
2
2
mv
t
ma
at
ma
s
F
W
Stała siła F
nadaje ciału
przyspieszenie a
Droga w ruchu
jednostajnie
przyspieszonym bez
prędkości początkowej
Praca i energia
Energia kinetyczna ciała znajdującego
się w ruchu równa jest pracy, jaką może
wykonać to ciało, zanim się zatrzyma
Energia kinetyczna ciała znajdującego
się w ruchu równa jest pracy, jaką może
wykonać to ciało, zanim się zatrzyma
Twierdzenie o pracy i energii
Praca wykonana przez wypadkową siłę
przy przemieszczaniu
punktu materialnego
zawsze równa jest zmianie
energii kinetycznej tego punktu
Twierdzenie o pracy i energii
Praca wykonana przez wypadkową siłę
przy przemieszczaniu
punktu materialnego
zawsze równa jest zmianie
energii kinetycznej tego punktu
Jednostki
energii kinetycznej
i
pracy
są takie same
Twierdzenie o pracy i energii
nie jest nowym prawem
mechaniki klasycznej
(wynika z II-ZDN oraz definicji
pracy i energii kinetycznej)
Moc
dt
dE
P
dt
dW
P
v
F
dt
dr
F
dt
dr
F
P
Jednostki mocy:
-Wat (SI)
-erg/s (CGS)
- koń mechaniczny
W
KM 746
1
3
2
s
m
kg
s
J
W
Szybkość z jaką wykonywana jest praca (przekazywana energia)
moc
Praca w polu
grawitacyjnym
= 90 - (180 -
) =
- 90
sin
= -sin(90 -
) =
-
cos
mgh
h
mg
W
cos
cos
12
cos
sin
cos
12
12
h
mg
S
mg
W
Praca siły grawitacji na drodze
12
Praca w polu grawitacyjnym
mgh
h
mg
S
mg
W
cos
cos
cos
34
34
Praca siły grawitacji na drodze
34
Praca w polu grawitacyjnym
0
90
cos
0
23
23
S
mg
W
Praca siły grawitacji na drodze
23
m
g
...i na drodze 41
0
41
W
0
0
0
41
34
23
12
mgh
mgh
W
W
W
W
Siły zachowawcze
Praca siły grawitacji po torze zamkniętym
jest równa zeru
–
siła grawitacji jest siłą zachowawczą
0
)
(
)
(
2
1
BA
AB
W
W
2
2
)
(
)
(
BA
AB
W
W
2
)
(
1
)
(
AB
AB
W
W
Siły zachowawcze
Jeśli praca siły po drodze zamkniętej
nie
równa się zeru, to siła ta jest
dyssypatywna
(rozpraszająca).
Praca siły zachowawczej nie zależy od
drogi, a tylko od położenia punktu
początkowego i końcowego.
Energia potencjalna
Energia potencjalna
ciała w danym punkcie,
względem określonego punktu odniesienia,
równa jest
pracy
jaką wykonują
siły
zachowawcze
przy przemieszczeniu ciała z
danego punktu do punktu odniesienia.
h
g
m
E
p
p
pA
pB
pB
pA
AB
E
E
E
E
E
W
)
(
p
dE
dx
F
dW
dx
dE
F
p
lub
Siła pola grawitacyjnego zależy od
szybkości zmian energii potencjalnej
w przestrzeni.
Energia potencjalna
p
dE
r
d
F
dW
o
x
x
p
U
dx
x
F
E
U
o
Energia potencjalna jest to funkcja położenia, której ujemna
pochodna daje wyrażenie na siłę.
r
E
p
- energia potencjalna ciała o polu działania siły zachowawczej
r
F
Praca nie zależy od drogi przebytej przez ciało lecz od położenia początkowego i końcowego
Jeżeli siły są zachowawcze to E
p
jest jednoznaczną funkcją skalarną tzn. każdemu
położeniu r odpowiada jedna wartość energii położenia r ciągłą i mającą ciągłe
pochodne niezależną od czasu.
Zasada zachowania energii mechanicznej
Praca siły zachowawczej pomiędzy
A
i
B
)
(r
F
B
p
A
p
B
A
AB
E
E
dr
r
F
W
)
(
Z drugiej strony, praca siły działającej na ciało:
A
k
B
k
AB
E
E
W
B
p
A
p
A
k
B
k
E
E
E
E
A
p
A
k
B
p
B
k
E
E
E
E
Podczas ruchu w polu potencjalnym energia mechaniczna punktu materialnego
zachowuje stałą wartość.
const
E
E
E
p
k
Prawo zachowania energii
KE – energia kinetyczna
PE – energia potencjalna
m = 50 kg
Zasada zachowania pędu:
Pęd
ciała to iloczyn jego masy i prędkości:
v
m
p
Uogólniona druga zasada dynamiki:
dt
p
d
F
a
dt
v
d
m
v
dt
dm
dt
v
m
d
dt
p
d
F
const
p
dt
p
d
F
0
W układzie odosobnionym, jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na
układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały.
Prawo zachowania pędu
Jeżeli na układ nie działają siły
zewnętrzne lub działa układ siła
zrównoważonych, to pęd układu
zachowuje wartość stałą.
0
z
F
0
dt
p
d
const
p
z
N
i
i
N
i
i
F
dt
p
d
dt
p
d
dt
d
dt
p
d
1
1
II zadada dynamiki:
Sprężyste zderzenie centralne
Prawo zachowania pędu:
'
2
2
'
1
1
2
2
1
1
v
m
v
m
v
m
v
m
Prawo zachowania energii:
2
2
2
2
2
'
2
2
2
'
1
1
2
2
2
2
1
1
v
m
v
m
v
m
v
m
:
)
(
)
(
2
2
2
'
2
2
2
'
1
2
1
1
v
v
m
v
v
m
)
(
)
(
2
'
2
2
'
1
1
1
v
v
m
v
v
m
Sprężyste zderzenie centralne
Prędkość zbliżania się kul przed zderzeniem równa
jest prędkości ich oddalania się po zderzeniu czyli
ich
prędkości względne
przed i po zderzeniu
są
takie same
.
prędkość
względna
przed
zderzeniem
prędkość
względna po
zderzeniu
'
2
2
'
1
1
v
v
v
v
'
1
'
2
2
1
v
v
v
v
'
1
2
1
'
2
v
v
v
v
2
1
2
2
2
1
2
1
1
'
1
2
m
m
m
v
m
m
m
m
v
v
2
1
1
2
2
2
1
1
1
'
2
2
m
m
m
m
v
m
m
m
v
v
Sprężyste zderzenie centralne
m
1
= m
2
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
2
'
1
v
v
1
'
2
v
v
2
1
2
2
2
1
2
1
1
'
1
2
m
m
m
v
m
m
m
m
v
v
2
1
1
2
2
2
1
1
1
'
2
2
m
m
m
m
v
m
m
m
v
v
Sprężyste zderzenie centralne
m
1
= m
2
v
2
= 0
Przed zderzeniem
Po zderzeniu
0
'
1
v
1
'
2
v
v
m
1
v
1
m
2
m
1
m
2
'
2
v
Sprężyste zderzenie centralne
m
1
<< m
2
v
2
=
0
2
2
1
m
m
m
0
2
1
m
m
1
'
1
v
v
0
'
2
v
Przed zderzeniem
m
1
v
1
m
2
Po zderzeniu
m
1
m
2
'
1
v
2
1
2
2
2
1
2
1
1
'
1
2
m
m
m
v
m
m
m
m
v
v
2
1
1
2
2
2
1
1
1
'
2
2
m
m
m
m
v
m
m
m
v
v
Sprężyste zderzenie centralne
m
1
v
1
m
2
Przed zderzeniem
m
2
<<
m
1
v
2
=
0
m
1
m
2
'
2
v
Po zderzeniu
m
2
1
2
1
m
m
m
0
1
2
m
m
1
'
1
v
v
1
'
2
2v
v
Spowalnianie neutronów?
2
1
2
2
2
1
2
1
1
'
1
2
m
m
m
v
m
m
m
m
v
v
2
1
1
2
2
2
1
1
1
'
2
2
m
m
m
m
v
m
m
m
v
v
Zderzenie idealnie
niesprężyste
v
m
m
v
m
v
m
)
(
2
1
2
2
1
1
Przed zderzeniem:
Po zderzeniu:
m
1
v
1
m
2
v
2
1
2
2
1
1
m
m
v
m
v
m
v
Wahadło balistyczne
pk
k
p
p
p
v
m
m
v
m
)
(
2
)
(
2
)
(
pk
k
p
pk
k
v
m
m
E
Wahadło balistyczne
h
g
v
pk
2
h
g
m
m
m
v
p
k
p
p
2
)
(
h
g
m
m
v
m
m
p
k
pk
k
p
)
(
2
)
(
2
Wahadło balistyczne
1
1
)
(
)
(
)
(
mp
mk
m
m
m
E
E
p
k
p
pk
k
p
k
h
g
m
m
m
v
m
E
p
k
p
p
p
p
k
2
2
)
(
)
(
2
Stracona energia mechaniczna zamieniła się na
ciepło powodując rozgrzanie pocisku i kloca.
2
)
(
2
)
(
pk
k
p
pk
k
v
m
m
E
Zderzenia nie centralne
Dla zderzeń centralnych parametr zderzenia
b=0
W przypadku gdy
zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach:
0
b
Zasada zachowania energii:
Zasada zachowania pędu:
Jeśli masy zderzających się sprężyście ciał są równe
m
1
=m
2
- zagadnienie bardzo się upraszcza
Zderzenia nie centralne
Z zasad zachowania:
2
2
1
Q
Q
2
2
2
'
2
1
'
1
2
'
1
'
1
v
v
v
v
v
v
Zderzenie proton-proton
w komorze pęcherzykowej
Fotografia zderzających się kul
Zderzenia
m
1
=m
2
Zderzenia nie
centralne
Stan końcowy zależy od parametru zderzenia
b
m
1
=
m
2