1
Linią długą nazywamy linię, której długość l jest
porównywalna z długością λ rozchodzącej się w
niej fali elektromagnetycznej.
Linię długą nazywamy linią długą jednorodną,
jeżeli wszystkie parametry linii są równomiernie
rozłożone wzdłuż linii.
W przypadku linii niejednorodnej parametry linii są
funkcją współrzędnej położenia x.
Linię długą nazywamy linią długą linearną, jeżeli
parametry linii nie zależą od wartości prądu ani
napięcia w danym punkcie linii.
LINIE DŁUGIE
2
LINIE DŁUGIE
Linię długą nazywamy linią długą symetryczną,
jeżeli parametry wszystkich przewodów linii są
jednakowe.
Linię długą nazywamy linią długą bezstratną,
jeżeli rezystancja przewodów linii R oraz
konduktacja między przewodami G są równe 0.
Linia
bezstratna
jest
wyidealizowanym
przypadkiem linii długiej, w którym nie uwzględnia
się parametrów rozpraszających energię R i G, a
jedynie parametry reaktancyjne L i C.
3
LINIE DŁUGIE
Linie przewodową można traktować jako linię
długą, gdy dla sygnałów występujących w linii
spełniony jest warunek:
przy
4
l
4
d
4
Jeżeli czas propagacji sygnału przez przewód
wynosi t
p
, to linią długą nazywamy takie
połączenie pomiędzy układami, w którym czas
propagacji sygnału jest większy niż połowa
średniego czasu trwania zbocza przenoszonego
sygnału t
T
, czyli t
p
>0.5t
T
.
W przypadku szybkich układów cyfrowych,
dla których czas trwania zbocza jest
mniejszy niż 1 ns, linią długą jest linia
paskowa (ścieżka obwodu drukowanego) lub
mikrolinia o długości ok. 9 cm oraz przewód
koncentryczny o długości ok. 7 cm.
LINIE DŁUGIE
5
LINIE DŁUGIE
Linia
koncentryczna
Linia
paskowa
Mikrolin
ia
Pole
elektryczne
Pole
magnetyczne
6
LINIE DŁUGIE
Użyteczny zakres Z
0
zamyka się w granicach 30 – 300 Ω.
Standardowe kable współosiowe mają Z
0
=50 Ω lub, rzadziej, 75
Ω. Opóźnienie jednostkowe powszechnie stosowanych linii nie
przekracza zwykle 5 ns/m. W praktyce, linia wysokiej jakości do
kilkunastu metrów), może być traktowana jako bezstratna do
kilku GHz. Linie paskowe na laminatach epoksydowych są
znacznie gorsze – straty są zauważalne już przy długości rzędu
kilkunastu cm.
7
SCHEMAT ZASTĘPCZY LINII
DŁUGIEJ
8
SCHEMAT ZASTĘPCZY LINII
DŁUGIEJ
• R – rezystancja na jednostkę długości linii [Ω/m] –
reprezentująca
wszelkie straty cieplne w obu przewodach linii
• L – indukcyjność na jednostkę długości linii [H/m]–
reprezentująca pole magnetyczne obu
przewodów linii
• C – pojemność na jednostkę długości linii [F/m]–
reprezentująca
pole elektryczne w dielektryku między
przewodami linii
• G – upływność na jednostkę długości linii [S/m] –
reprezentująca ewentualne straty cieplne w
dielektryku.
9
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Przyrosty prądu
i napięcia na
odcinku
elementarnym Δx
można zapisać w
postaci:
t
t
x
i
x
L
t
x
i
x
R
t
x
u
t
x
x
u
t
t
x
x
u
x
C
t
x
x
u
x
G
t
x
i
t
x
x
i
,
,
,
,
,
,
,
,
10
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Równania na
zmianę napięcia
oraz na zmianę
prądu na
elementarnej
sekcji dzielimy
obustronnie przez
Δx i
przechodzimy do
granicy przy Δx
dążącym do 0.
Korzystamy z
warunku ciągłości
funkcji oraz
następujących
zależności:
x
t
x
i
x
t
x
i
t
x
x
i
x
t
x
u
x
t
x
u
t
x
x
u
t
x
i
t
x
x
i
t
x
u
t
x
x
u
x
x
x
x
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
lim
lim
lim
lim
0
0
0
0
11
TEORIA LINII DŁUGIEJ
W rezultacie
otrzymuje się układ
dwóch równań
różniczkowych
cząstkowych dwóch
zmiennych (czasu t
i odległości od
początku linii x):
t
t
x
u
C
t
x
Gu
x
t
x
i
t
t
x
i
L
t
x
Ri
x
t
x
u
,
,
,
,
,
,
12
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Jeżeli jako U(x) i
I(x) oznaczmy
skuteczne
zespolone wartości
napięcia i prądu w
odległości x od
początku linii,
wtedy wartości
chwilowe można
obliczyć w sposób
następujący:
x
CU
j
x
GU
dx
x
dI
x
LI
j
x
RI
dx
x
dU
dx
x
dU
L
j
R
x
I
1
0
2
2
x
U
C
j
G
L
j
R
dx
x
U
d
13
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Wprowadzając do
równania stałą
propagacji fali γ
opisaną zależnością
otrzymamy:
C
j
G
L
j
R
0
2
2
x
U
C
j
G
L
j
R
dx
x
U
d
0
2
2
2
x
U
dx
x
U
d
Analogicznie:
0
2
2
2
x
I
dx
x
I
d
14
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Otrzymane
równanie
różniczkowe
posiada
rozwiązanie
następującej
postaci:
0
2
2
2
x
U
dx
x
U
d
x
x
e
A
e
A
x
U
2
1
dx
x
dU
L
j
R
x
I
1
x
x
o
e
A
e
A
Z
x
I
2
1
1
C
j
G
L
j
R
Z
o
15
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Stała propagacji
γ
definiowana
jako:
Jest
liczbą
zespoloną
postaci:
C
j
G
L
j
R
j
2
2
1
1
sin
2
sin
2
,
x
t
e
A
x
t
e
A
t
x
u
x
x
gdzie: ψ
1
, ψ
2
- argumenty liczb
zespolonych A1, A2
16
TEORIA LINII DŁUGIEJ
17
α - współczynnik tłumienia ( dla linii bez strat jest
równy 0)
β - współczynnik przesunięcia ( dla linii bez strat
wynosi ω ),
α, β i Z
0
decydują o parametrach fal napięcia i
prądu w linii długiej. Zależą one od parametrów
jednostkowych linii długiej czyli od R, L, G, C oraz
od częstotliwości.
Linie długie są stosowane w technice impulsowej
w postaci odcinków giętkiego kabla współosiowego
lub tzw. linii paskowych, utworzonych z płaskich
ścieżek przewodzących, umieszczonych na
powierzchni dielektryka. Niekiedy stosuje się
skręcone linie symetryczne dwuprzewodowe (tzw.
skrętki) i współosiowe linie sztywne typu
falowodowego.
TEORIA LINII DŁUGIEJ
LC
18
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Ostatnie równanie można
przekształcić do postaci, w
której pierwsza składowa
przedstawia
falę,
o
amplitudzie zmniejszającej
się
ze
wzrostem
współrzędnej x, i
rosnącym
opóźnieniu
fazowym. Fala ta przesuwa
się w miarę upływu czasu t
od źródła do odbiornika.
Jest
to
fala
bieżąca
(pierwotna).
x
t
e
U
x
t
e
U
t
x
u
x
mo
x
mb
2
1
sin
sin
,
19
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Fala
bieżąca
(pierwotna).
20
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Fala reprezentowana przez
drugą
składową
wzoru
przesuwa się w przeciwną
stronę - od odbiornika do
źródła. Jej amplituda rośnie
wraz ze wzrostem x, a faza
uzyskuje
większe
wyprzedzenie. Jest to fala
odbita (powrotna).
x
t
e
U
x
t
e
U
t
x
u
x
mo
x
mb
2
1
sin
sin
,
21
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Fala
odbita
(pierwotna).
22
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Występujące
we
wzorach stałe A1,
A2 wyznacza się z
warunków
granicznych
(brzegowych),
np. z napięcia
i
prądu
na
początku linii x=0:
2
1
1
0
A
A
U
U
2
1
1
0
0
0
A
A
I
Z
I
Z
2
1
0
1
1
I
Z
U
A
2
1
0
1
2
I
Z
U
A
23
TEORIA LINII DŁUGIEJ
x
x
e
e
Z
I
Z
U
x
I
1
0
1
0
1
2
x
x
e
e
I
Z
U
x
U
1
1
0
1
2
x
x
e
e
Z
I
Z
U
x
I
2
0
2
0
2
2
x
x
e
e
I
Z
U
x
U
2
2
0
2
2
0
1
0
1
1
Z
Z
Z
Z
0
2
0
2
2
Z
Z
Z
Z
Gdzie Γ
1
oraz Γ
2
stanowią współczynniki odbicia sygnału na początku i
końcu linii:
24
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Rozważmy bezstratną linię długą:
o długości l i czasie propagacji τ, sterowaną ze
źródła napięcia e
g
(t) o rezystancji wejściowej R
g
,
przy rezystancji obciążenia R
L
.
e
g
(t) = U
m
1(t)
25
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Współczynniki odbicia na początku i końcu linii
długiej wynoszą:
o
g
o
g
R
R
R
R
1
o
L
o
L
R
R
R
R
2
Odcinek linii od momentu pobudzenia do chwili
powrotu fali odbitej od końca (0 < t < 2τ) obciąża
źródło e
g
(t) jako rezystancja równa R
0
. Schemat
zastępczy dla t = 0 przedstawia rysunek:
0
1
0
U
R
R
R
U
U
o
g
o
m
26
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Fala napięciowa o amplitudzie U
0
przesuwa się ku
obciążeniu. W czasie od 0 do τ napięcie na
wyjściu linii długiej wynosi 0. Po czasie t=τ fala
dociera do obciążenia, gdzie następuje jej odbicie ze
współczynnikiem odbicia Г
2
. Amplituda napięcia na
końcu linii długiej jest superpozycją fali padającej i
odbitej stąd:
0
2
0
2
U
U
U
Na wejściu linii długiej amplituda napięcia wynosi U
0
aż do chwili kiedy fala odbita od końca (Г
2
U
0
) dotrze
do początku linii długiej. Wówczas do napięcia U
0
doda się fala padająca i odbita:
0
2
1
0
2
0
1
2
U
U
U
U
27
TEORIA LINII DŁUGIEJ
28
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Napięcia dla na początku linii długiej w funkcji czasu
x = 0 (oznaczono kolorem czerwonym), natomiast
napięcia na końcu linii długiej dla x = l w funkcji
czasu (oznaczono kolorem niebieskim).
Napięcie na początku i końcu linii w funkcji czasu
przyjmie postać:
...
1
4
1
1
2
1
1
,
0
2
1
2
2
1
2
0
1
2
0
0
U
t
U
t
U
t
t
U
...
1
3
1
1
1
,
1
2
2
1
2
0
2
0
U
t
U
t
t
l
U
29
TEORIA LINII DŁUGIEJ
W układach impulsowych o stałych rozłożonych
zwykle odcinek linii jest przynajmniej
jednostronnie dopasowany. Dzięki temu
osiągnięcie stanu ustalonego zachodzi w czasie nie
dłuższym niż 2τ. Z tych samych względów dąży się do
zapewnienia rzeczywistego charakteru obciążenia i
źródła.
Nigdy jednak nie jest możliwe całkowite uniknięcie
wpływu elementów reaktancyjnych.
m
m
g
U
T
t
U
t
t
e
1
1
Przy pobudzeniu o postaci:
30
TEORIA LINII DŁUGIEJ
31
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Przykład 1:
Obliczyć napięcia na początku i końcu bezstratnej
linii długiej przy – R
g
= 50Ω, R
L
= 300Ω, R
0
= 100Ω, l
= 10 cm, ν = 10
6
m/s.
32
Amplituda napięcia dla t = 0 wynosi:
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Współczynniki odbicia na początku i końcu linii
długiej wynoszą:
3
1
100
50
100
50
1
o
g
o
g
R
R
R
R
2
1
100
300
100
300
2
o
L
o
L
R
R
R
R
Czas propagacji
linii wynosi:
s
l
1
,
0
V
R
R
R
U
U
o
g
o
m
40
100
50
100
60
0
33
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Schemat propagacji
fali:
34
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Napięcia na wejściu i wyjściu linii przedstawiono
poniżej:
35
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Przykład 1:
Obliczyć napięcia na początku i końcu bezstratnej
linii długiej przy: R
g
= R
0
, R
L
= ∞, l = 100 cm, ν =
10
6
m/s.
36
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Współczynniki odbicia na początku i końcu linii
długiej wynoszą:
0
1
o
g
o
g
R
R
R
R
1
2
o
o
o
L
o
L
R
R
R
R
R
R
Czas propagacji
linii wynosi:
s
l
1
37
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Wartości składowych napięcia na wejściu wynoszą
odpowiednio:
V
R
R
R
U
U
o
g
o
m
2
1
10
3
2
1
e
e
e
e
g
V
U
1
2
1
2
20
V
U
2
1
2
1
1
30
38
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Schemat propagacji
fali:
39
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Składowe napięcia na wejściu linii przedstawiono
poniżej:
40
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Napięcie na wejściu linii przyjmie
postać:
41
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Napięcie na wyjściu linii przyjmie
postać:
42
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Przykład 1:
Obliczyć napięcia na początku i końcu bezstratnej
linii długiej przy R
g
= R
0
= 100Ω, R
L
= 50Ω, α = 0,3
dB/m, l = 10 cm, ν = 10
6
m/s.
43
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Współczynniki odbicia na początku i końcu linii
długiej wynoszą:
0
1
o
g
o
g
R
R
R
R
3
1
2
o
L
o
L
R
R
R
R
Czas propagacji
linii wynosi:
Współczynnik
tłumienia wynosi:
s
l
10
2
Zatem po czasie τ amplituda napięcia będzie
stłumiona raza.
2
V
R
R
R
e
U
o
g
o
g
we
30
2
1
60
44
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Schemat propagacji
fali:
45
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Zgodnie z rysunkiem fala odbita na wyjściu powraca
na wejście stłumiona -krotnie ale nie odbije się
dalej ponieważ współczynnik odbicia na wejściu linii
jest równy zero.
2
46
TEORIA LINII DŁUGIEJ
4
.
2
6
.
3
50
25
50
71
.
0
50
300
50
300
33
.
0
50
25
50
25
2
0
0
1
2
1
V
Z
R
Z
V
V
VCC
Vo
s
BE
32
.
3
25
300
300
6
.
3
2
V
Początkowo:
Na końcu:
33
.
0
1
67
.
0
1
1
71
.
1
1
2
71
.
0
2
4
.
2
1
V
+2.40V
+1.70V
-0.56V
-0.40V
+0.13V
+0.09V
-0.03V
+0.02V
-0.03V
ETC
SUM
SUM
V
V
54
.
3
14
.
1
V
V
27
.
3
27
.
0
V
V
33
.
3
06
.
0
V
V
32
.
3
01
.
0
V
10
.
4
V
V
14
.
3
96
.
0
V
V
37
.
3
23
.
0
V
V
32
.
3
05
.
0
V
V
33
.
3
01
.
0
47
TEORIA LINII DŁUGIEJ
25
s
R
13
s
R
48
TEORIA LINII DŁUGIEJ
49
TEORIA LINII DŁUGIEJ
50
TEORIA LINII DŁUGIEJ
Obwód
rozwarty
Obwód
zwarty