Iloczyn kartezjański

•

Niech  A  i  B  będą dowolnymi 

zbiorami. Zbiór

A  B = { ( a, b ) : a  A    b  B }

nazywamy  iloczynem kartezjańskim 

 zbiorów  A  i  B .

 

 

• Jeżeli R  oznacza zbiór liczb 

rzeczywistych, to  R  R = R

2

    

nazywamy  2-wymiarową 
przestrzenią rzeczywistą 
( płaszczyzną ). Podobnie   R  R  

R = R

3

  nazywamy 

   3-wymiarową przestrzenią 

rzeczywistą.

 

 

Relacja dwuczłonowa

•

Każdy podzbiór  S  iloczynu 

kartezjańskiego X   Y  nazywamy  

relacją dwuczłonową ( S  X   Y  ).  

Symbole  xSy  lub  ( x, y )  S  oznaczają, 

że  element  

x  X  pozostaje w relacji  S  z elementem   
y  Y.
•

Dziedziną  ( przeciwdziedziną )  relacji 

 S  nazywamy zbiór wszystkich 
poprzedników ( następników ) par 
spełniających tę relację. 

 

 

Funkcje (odwzorowania)

• Relację   f  X   Y  nazywamy  

funkcją  

f :  X   Y, jeżeli:
   1)   jej dziedziną jest zbiór  X, tzn. 
•          

x X

  

yY

  ( x, y )  f;

  2)  jest ona prawostronnie 

jednoznaczna, tzn.    

x X

  

y, z Y

 [( x, y 

)  f    ( x, z )  f     y = z ].

 

 

•  Ponieważ dla danego  x  X   

istnieje dokładnie jedno  y  takie, 
że  ( x, y )  f , przeto to jedyne  y  

oznaczamy przez  f(x)  i nazywamy 
wartością funkcji  f  w punkcie  x 
( y = f(x) ). 

• Zbiór  X  nazywamy dziedziną 

funkcji  f  

  i oznaczamy symbolem  D

f

  lub 

D(f).

 

 

Wykres funkcji

• Zbiór  W

f

  określony następująco:

nazywamy wykresem (obrazem 

graficznym) odwzorowania  f.

}

)

(

:

)

,

{(

f

f

D

x

x

f

y

y

x

W









 

 

Odwzorowanie „na”

• Mówimy, że odwzorowanie  f : X 

 Y  jest typu „ na”, jeśli

                          

yY

  

x X

  f(x)=y.

Zapisujemy wtedy:

Y

X

f

na



:

 

 

Odwzorowanie 

różnowartościowe 

• Mówimy, że odwzorowanie  f : X 

 Y  jest różnowartościowe, jeśli:

 

2

1

2

1

2

,

1

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

X

x

x











 

 

• Mówimy, że odwzorowanie  f : X 

 Y  jest wzajemnie jednoznaczne 

jeśli jest ono różnowartościowe i 
typu „na”. 

• Odwzorowanie wzajemnie 

jednoznaczne nazywa się często 
odwzorowaniem bijektywnym.

 

 

• Niech  A  X . 
• f(A) = {y :  y = f(x)  xA } – obraz 

zbioru A przy odwzorowaniu  f.

• Oczywiście   f : X  Y  jest typu 

„na” wtedy i tylko wtedy, gdy f(X) 
= Y.

• Niech  B  Y.
•                                                 

-przeciwobraz zbioru  B  przy 
odwzorowaniu f

}

)

(

:

{

)

(

1

B

x

f

x

B

f







 

 

Funkcja złożona

• Niech:  f  : X  Y ;  g : Y  Z.
• Dla dowolnego x  X, istnieje dokładnie 

jeden element z  Z  taki, że  z = g(f(x)).

• Zatem funkcje  g  i  f  wyznaczają nową 

funkcję  h : X  Z  określoną  h(x) = 

g(f(x)).

• Funkcję h nazywamy złożeniem 

(superpozycją) funkcji  f  i  g ( h=g  f ).

 

 

Funkcja odwrotna

• Mówimy, że funkcja g: Y  X  jest 

odwrotna do  f : X  Y , jeśli:

1. g(Y) = X ;    2. f(X) = Y ; 
3. xX yY   g(y) = x  f(x) = y.
Funkcję odwrotną do  f  będziemy 

dalej oznaczać symbolem        . 

Tw.: Funkcja  f : X  Y   ma funkcję 

odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy  
f  jest wzajemnie jednoznaczna.

1



f