10.06.21
Wyznaczanie rzeczywistych
wymiarów w przestrzeni
Zapis konstrukcji
10.06.21
Wyznaczanie rzeczywistych
wymiarów w przestrzeni
Zapis konstrukcji
10.06.21
Odwzorowanie brył w rzutach
2
Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka
Kłady płaszczyzn
Figury płaskie na płaszczyznach
Bryły na płaszczyznach
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
10.06.21
Odwzorowanie brył w rzutach
3
Wyznaczanie
rzeczywistej długości odcinka
Metoda obrotu
Metoda kładu trapezowego
Metoda kładu różnicowego
10.06.21
Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka
4
x
Metoda obrotu
B”
A
”
A
=
”
B
A
A
’
A”
’
A’
B’
’
A
”
A”
B”=
”
A
’
A’
B’
AB
=A
B
=A
’B’
x
10.06.21
Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka
5
x
Metoda kładu trapezowego
x
B’
Aº
Bº
A’
Aº
Bº
A”
B”
B
A
Bº
Aº
A’
B’
A”
B”
Bº
Aº
h
A
g
B
g
A
h
B
g
B
g
A
h
A
h
B
10.06.21
Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka
6
Metoda kładu różnicowego
=A
º
x
g
AB
h
AB
g
AB
h
AB
Bº
=
Aº
A”
B”
Bº
A’
B’
10.06.21
7
Kłady płaszczyzn
Płaszczyzna
• dowolna
• pionowo rzutująca
• poziomo rzutująca
• bocznie rzutująca
Prosta
• na płaszczyźnie dowolnej
• na płaszczyźnie bocznie rzutującej
Punkt
• na płaszczyźnie dowolnej – trójkąt obrotu
• na płaszczyźnie dowolnej – prosta pomocnicza
10.06.21
Kłady płaszczyzn
8
Kład płaszczyzny dowolnej
Kładem płaszczyzny na
rzutnię nazywamy obrót
tej płaszczyzny wokół jej
śladu w ten sposób, aby
dana płaszczyzna zajęła
położenie tej rzutni.
Podstawowym celem wykonywania kładów
płaszczyzn jest odnajdywanie rzeczywistych
wymiarów figur leżących na tych
płaszczyznach przedstawionych w rzutach.
Wyznaczanie śladów płaszczyzny
dowolnej w kładzie.
x
=
h
º
h
v
º
v
v
h
A
”
A’
Aº
X
10.06.21
Kłady płaszczyzn
9
Kłady płaszczyzny pionowo
rzutującej
x
h
º
h
v
v
º
=
x
= h
º
h
v
v
º
Kład na rzutnię pionową
Kład na rzutnię poziomą
10.06.21
Kłady płaszczyzn
10
Kłady płaszczyzny poziomo
rzutującej
=
v
º
x
x
= h
º
v
h
h
º
v
h
v
º
Kład na rzutnię pionową
Kład na rzutnię poziomą
10.06.21
Kłady płaszczyzn
11
Kłady płaszczyzny bocznie
rzutującej
=
v
º
x
= h
º
Kład na rzutnię
pionową
Kład na rzutnię
poziomą
z
k
h
v
º
h
º
v
y
y
10.06.21
Kłady prostych
12
Kład prostej płaszczyzny
bocznie rzutującej
=
h
º
x
v
h
v
º
z
y
y
k
a
”
a’
a
º
V
a
”
V
a
H
a
H
a
’
Kład na rzutnię
poziomą
=
H
a
º
V
a
º
10.06.21
Kłady prostych
13
Kład prostej płaszczyzny dowolnej
x
=
h
º
v
h
v
º
Bº
B’
X
B
”
Kład na rzutnię
poziomą
b’
b
”
bº
V
b
º
V
b
V
b
”
H
b
’
H
b
”
=
H
b
º
10.06.21
Kład punktu
14
Kład punktu płaszczyzny dowolnej
przy pomocy prostej
x
=
h
º
v
h
b
”
b’
v
º
Bº
A
”
A’
B’
X
bº
Aº
X
b
B
”
Kład na rzutnię
poziomą
10.06.21
Kład punktu
15
Kład punktu płaszczyzny dowolnej
przy pomocy trójkąta obrotu
x
=
h
º
v
h
w
w
A’
A
”
Aº
Kład na rzutnię
poziomą
v
º
10.06.21
16
Figury płaskie na płaszczyznach
Wyznaczanie wielkości rzeczywistych
• Trójkąt na płaszczyźnie pionowo rzutującej
(1)
• Trójkąt na płaszczyźnie pionowo rzutującej
(2)
• Trójkąt na płaszczyźnie dowolnej
Wykreślanie rzutów
• Prostokąt na płaszczyźnie bocznie rzutującej
10.06.21
Kłady figur płaskich
17
Trójkąt na płaszczyźnie pionowo
rzutującej
x
=
h
º
h
v
v
º
X
Aº
Bº
A
”
B
”
C
”
Cº
B’
A’
C’
Kład na rzutnię
poziomą
10.06.21
Kłady figur płaskich
18
Trójkąt na płaszczyźnie pionowo
rzutującej
x
= v
º
h
v
A
”
B
”
C
”
h
º
X
Aº
Bº
Cº
B’
A’
C’
Kład na rzutnię
pionową
10.06.21
Wyznaczanie rzutów figur płaskich
19
Prostokąt na płaszczyźnie bocznie
rzutującej
=
h
º
x
v
h
v
º
z
y
y
k
a”
a’
b”
b’
D’
C’
A’
B’
A
”
D
”
B
”
C
”
bº
aº
Aº
Bº
Cº
D
º
Rzuty prostokąta danego
punktami ABCD, leżącego
na płaszczyźnie bocznie
rzutującej danej śladami
10.06.21
Kłady figur płaskich
20
Trójkąt na płaszczyźnie dowolnej
x
=
h
º
v
h
v
º
X
Bº
Cº
v
h
Aº
A
”
B
”
C
”
A’
B’
C’
D
º
D’
X
b
Kład na rzutnię
poziomą
10.06.21
21
Bryły na płaszczyznach
Wykreślanie rzutów
• Czworościan na płaszczyźnie bocznie rzutującej
• Sześcian na płaszczyźnie dowolnej
10.06.21
Wyznaczanie rzutów brył
22
Czworościan foremny na
płaszczyźnie bocznie rzutującej
=
h
º
x
v
h
v
º
z
y
y
k
Rzuty czworościanu
foremnego ABCW danego
długością boku, stojącego
na płaszczyźnie bocznie
rzutującej danej śladami.
W
º
aº
Cº
b”
b’
a’
a”
A
”
A’
B
”
C
”
C’
B’
W
”
W’
A”
’
B”
’
C”
’
W”
’
bº
W
TO
Aº
Bº
10.06.21
23
Wyznaczanie odległości pomiędzy
obiektami
• Punkt i prosta
• Proste równoległe
• Proste wichrowate
• Punkt i płaszczyzna – prosta pomocnicza
• Punkt i płaszczyzna – metoda kładu
• Prosta i płaszczyzna
• Dwie płaszczyzny
10.06.21
24
Wzajemne położenia prostych i płaszczyzn
• Płaszczyzny dowolne przecinające się
• Równoległość prostej i płaszczyzny
• Prosta i płaszczyzna w położeniu ogólnym
• Prostopadłość prostej i płaszczyzny
10.06.21
Wzajemne położenia dwu płaszczyzn
25
Płaszczyzny dowolne przecinające się
k – krawędź pomiędzy płaszczyznami
x
h
v
X
k’
k
”
v
h
H
k
V
k
X
10.06.21
Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny
26
Równoległość prostej i płaszczyzny
Prosta m jest równoległa
do płaszczyzny
gdy
jest równoległa do
prostej n należącej do
tej płaszczyzny.
x
h
v
n
”
m’
n’
m”
H
n
V
n
m
n
m
n
m
n
"
"
'
'
10.06.21
Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny
27
Prosta i płaszczyzna
w położeniu ogólnym
x
h
v
k’
m’
m”
H
n
P’
P”
k”
Punkt P jest punktem
przebicia płaszczyzny
przez prostą
X
h
v
V
n
10.06.21
Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny
28
Prostopadłość prostej i płaszczyzny
Prosta jest prostopadła do płaszczyzny gdy jest
prostopadła do co najmniej dwóch prostych
przecinających się, należących do tej płaszczyzny.
Prosta przebija płaszczy-
znę pod kątem prostym,
jeżeli jej rzuty są prosto-
padłe do odpowiednich
śladów płaszczyzny.
Warunek konieczny
i wystarczający.
b
h
b
v
b
"
'
x
h
v
b
”
b’
h
v
k’
k”
P’
P
”
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
29
Odległość punktu i prostej
–
płaszczyzna prostopadła
do prostej
a
i przechodząca
przez punkt
A
B –
punkty przebicia
płaszczyzny
przez prostą
a
odcinek
AB
–
odległość
punktu od prostej
k – krawędź pomiędzy
płaszczyznami
i
x
v
β
a”
b’
b”
h
α
v
α
h
β
a’
k”
A
B
–
płaszczyzna pionowo
rzutująca przechodząca przez
prostą
a
B’
B”
A”
A’
Odległość – odcinek prostopadły
do prostej
a
z punktu
A
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
30
Odległość dwóch prostych
równoległych
- płaszczyzna prostopadła
do prostych a i b
a’
b’
v
g
a”
b”
v
α
v
β
h
α
h
β
h
g
A”
B”
A
°
B
°
x
Odległość - odcinek prostopadły
do prostych a i b
i
–
płaszczyzny pionowo
rzutujące przechodzące przez
proste a i b
A
i
B –
punkty przebicia
płaszczyzny
przez proste a i b
odcinek
AB
–
odległość dwóch
prostych równoległych
k
α
’ k
β
’
A’
B’
k – krawędzie pomiędzy
płaszczyznami
i
oraz
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
31
Odległość prostych wichrowatych
Odległość –
najmniejszy odcinek
łączący proste
a
i
b
(wzajemnie do nich
prostopadły)
odcinek
CD
–
odległość
dwóch prostych
wichrowatych
x
1
b”
a”
b’
a’
x
2
B
1
’
B
2
’
A
2
’
A
1
’
B
2
”
A
2
’
A
1
”
B
1
”
B
2
”
’
A
2
”’
B
1
”
’
A
1
”
’
a”’
b”’
x
3
B
1
”
”
B
2
”
”
a”
”
C”
’
D”
’
b”
”
C””
D”
”
D
”
C
”
C’
D’
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
32
Odległość punktu i płaszczyzny
prosta pomocnicza
Odległość - odcinek prostopadły
do płaszczyzny
–
płaszczyzna pionowo
rzutująca zawierająca prostą
a
B –
punkty przebicia
płaszczyzny
przez prostą
a
odcinek
AB
–
odległość
punktu od płaszczyzny
k – krawędź pomiędzy
płaszczyznami
i
x
h
α
v
α
h
β
v
β
a”
B
a’
k”
A
B’
A’
B”
A”
a
– prosta przechodząca przez A i
prostopadła do
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
33
Odległość punktu i płaszczyzny
metoda kładu
Odległość - odcinek prostopadły
do płaszczyzny
–
płaszczyzna pionowo rzutująca
przechodząca przez punkt
A
i
prostopadła do
B –
punkt przebicia
płaszczyzny
przez prostą
zawierającą odcinek AB
odcinek
AB
–
odległość
punktu od płaszczyzny
k – krawędź pomiędzy
płaszczyznami
i
x
h
α
v
α
h
β
k
A
B
A”
k”
v
β
k’
h
β
v
β
B”
A’
B’
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
34
b’
Odległość prostej i płaszczyzny
Odległość - odcinek prostopadły
do płaszczyzny
i prostej
a
–
płaszczyzna pionowo
rzutująca przechodząca
przez prostą
b
B –
punkt przebicia
płaszczyzny
przez prostą
b
odcinek
AB
–
odległość
prostej i płaszczyzny
b
– prosta prostopadła do
płaszczyzny
i prostej
a
x
h
α
v
α
h
β
B
b”
v
β
A
a”
a’
k”
A”
A’
B
’
B”
k – krawędź pomiędzy
płaszczyznami
i
10.06.21
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami
35
Odległość dwóch płaszczyzn
Odległość - odcinek prostopadły
do płaszczyzn
i
–
płaszczyzna pionowo
rzutująca przechodząca
przez prostą
b
A i B –
punkty przebicia
płaszczyzn przez prostą
b
odcinek
AB
–
odległość
punktu od płaszczyzny
b – prosta prostopadła do
płaszczyzn
i
x
h
α
v
α
b’
h
h
β
v
β
b”
v
B
B’
A
A”
A’
B”