Kod uzupełnień do dwóch
Kod uzupełnień do dwóch
Kod uzupełnień do dwóch (w skrócie
U2) jest obecnie najpopularniejszym
sposobem zapisu liczb całkowitych na
bitach. Jego popularność wynika z
faktu, że operacje dodawania i
odejmowania są w nim wykonywane
tak samo jak dla liczb binarnych bez
znaku. Z tego też powodu oszczędza
się na kodach rozkazów procesora.
Zapis liczb
W dwójkowym systemie liczbowym
najstarszy bit liczby n-cyfrowej ma wagę
2n–1. Jedyną różnicą, jaką wprowadza tu
kod U2, jest zmiana wagi tego bitu na
przeciwną (–2n–1). Bit ten jest nazywany
bitem znaku, ponieważ świadczy o znaku
całej liczby – jeśli jest ustawiony (=1) cała
liczba jest ujemna, jeśli jest skasowany
(=0) – liczba jest dodatnia lub równa 0.
STAŁOPOZYCYJ NA REPREZENTACJ A LICZB
STAŁOPOZYCYJ NA REPREZENTACJ A LICZB
(kod U2)
(kod U2)
W zapisie U2 (uzupełnień do 2) liczbę binarną można
przedstawić jako:
a
n-1
...a
0
= -a
n-1
.
2
n-1
+a
n-2
.
2
n-2
+
...
+a
0
.
2
0
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze
swoją wagą wartość ujemną
W zapisie
W zapisie
U2
U2
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można
(uzupełnień do 2) liczbę binarną można
przedstawić jako:
przedstawić jako:
a
a
n
n
-
-
1
1
...a
...a
0
0
=
=
-
-
a
a
n
n
-
-
1
1
.
.
2
2
n
n
-
-
1
1
+
+
a
a
n
n
-
-
2
2
.
.
2
2
n
n
-
-
2
2
+
+
...
...
+a
+a
0
0
.
.
2
2
0
0
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze
Najstarszy bit nie jest tylko bitem znaku ale niesie wraz ze
swoją wagą wartość ujemną
swoją wagą wartość ujemną
1101
1101
U2
U2
=
=
-
-
1
1
.
.
2
2
3
3
+1
+1
.
.
2
2
2
2
+0
+0
.
.
2
2
1
1
+1
+1
.
.
2
2
0
0
=
=
-
-
8+4+1 =
8+4+1 =
-
-
3
3
D
D
0111
0111
U2
U2
=
=
-
-
0
0
.
.
2
2
3
3
+1
+1
.
.
2
2
2
2
+1
+1
.
.
2
2
1
1
+1
+1
.
.
2
2
0
0
=
=
4+2+1 = 7
4+2+1 = 7
D
D
Ponieważ: a
Ponieważ: a
-
-
b=a+(
b=a+(
-
-
b);
b);
-
-
a+b=(
a+b=(
-
-
a)+b;
a)+b;
-
-
a
a
-
-
b=(
b=(
-
-
a)+(
a)+(
-
-
b) to korzystnie jest
b) to korzystnie jest
stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej
stosować liczbę przeciwną (oznaczanej symbolem ~) do danej
~0111
~0111
U2
U2
1000
1000
+ 1
+ 1
1001
1001
U2
U2
negacja wszystkich bitów i dodanie 1
negacja wszystkich bitów i dodanie 1
-
-
7
7
D
D
7
7
D
D
Kod uzupełnień do 2 zyskał swoją popularność
dzięki prostym zasadom przeprowadzania
operacji
arytmetycznych. Dodawanie i odejmowanie w
systemie
U2 jest analogiczne do wykonywania działań w
zwykłym
systemie dwójkowym. Pojawiające się
przeniesienia
poza bit znaku możemy zwyczajnie
zignorować. Oto
przykład:
00111001
+ 11110011
00101100
Reprezentacja liczb
rzeczywistych
Liczby rzeczywiste mają część całkowitą i ułamkową;
można je przedstawić:
•
W postaci kodu stałoprzecinkowego (stałopozycyjnego)
•
W postaci kodu zmiennoprzecinkowego
(zmiennopozycyjnego)
Nie jest możliwe przedstawienie nieskończonych zbiorów za
pomocą skończonej liczby bitów. Do obliczeń w komputerach
stosuje się reprezentację skończonych podzbiorów liczb
rzeczywistych.
Zgodne jest to ze standardem
IEEE - 754
, gdzie określony
został standard zapisu i działań arytmetycznych na liczbach
zmiennoprzecinkowych
ZAPIS UŁAMKÓW
Aby umożliwić zapis liczb ułamkowych, musimy rozszerzyć wagi
pozycji w stronę ujemnych potęg podstawy. Część ułamkową
oddzielimy od części całkowitej zapisu za pomocą znaku przecinka.
wagi
p
n-1
p
2
p
1
p
0
p
-1
p
-2
p
-m
cyfry
c
n-1
...
c
2
c
1
c
0
, c
-1
c
-2
...
c
-m
n cyfr
m cyfr
Obliczenie wartości tak zapisanej liczby prowadzimy według
zasady
c
n-1
...c
2
c
1
c
0
,c
-1
c
-2
...c
-m
= c
-m
p
-m
+ ... + c
-2
p
-2
+ c
-1
p
-1
+ c
0
p
0
+ c
1
p
1
+ c
2
p
2
+
... + c
n-1
p
n-1
c
n-1
c
n-2
...c
2
c
1
c
0
, c
-1
c
-2
...c
-m
=
n-1
i=-m
c
i
p
i
PRZYKŁAD:
Obliczyć wartość liczby stałoprzecinkowej 245,133 zapisanej w systemie
pozycyjnym o podstawie p = 6.
245,133
(6)
= 3 x 6
-3
+ 3 x 6
-2
+ 1 x 6
-1
+ 5 x 6
0
+ 4 x 6
1
+ 2 x 6
2
245,133
(6)
= 3 x 1/216 + 3 x 1/36 + 1 x 1/6 + 5 x 1+ 4 x 6 + 2 x 32
245,133
(6)
=
3
/
216
+
3
/
36
+
1
/
6
+ 5 + 24 + 64
245,133
(6)
=
1
/
72
+
1
/
12
+
1
/
6
+ 5 + 24 + 64
245,133
(6)
=
(1 + 6 + 12)
/
72
+ 93
245,133
(6)
= 93
19
/
72
= 93,263888888888...
(10)
Zapis stałoprzecinkowy
Zapis stałoprzecinkowy
Załóżmy , że dla zapisu liczby dysponujemy ośmioma bitami.
W zapisie stałoprzecinkowym liczbę zapisujemy w kodzie
znak- moduł, więc najstarszy bit będzie bitem znaku.
Pozostałe bity wykorzystujemy w następujący sposób:
o dwa najmłodsze bity stanowią część ułamkową
(umowa)
o pozostałe bity część całkowitą.
PRZYKŁAD
011111,11
(2)
=31,75
(10)
Dwójkowy system zmiennoprzecinkowy
Dwójkowa liczba zmiennoprzecinkowa zbudowana jest z dwóch części: z
mantysy m i wykładnika potęgowego e (zwanego również cechą). Ponieważ
podstawa systemu liczenia jest znana i wynosi 2, więc nie ma potrzeby
umieszczać jej w zapisie liczby. Mantysa m jest liczbą stałoprzecinkową na
moduł mniejszą od 1. Wykładnik e jest liczbą całkowitą. Obie części mogą być
zapisane np. w kodzie U2 lub kodzie Z-M.
wykładnik e
mantysa m
n-bitów
m-bitów
liczba zmiennoprzecinkowa
Wartość liczby liczymy wg poznanego wcześniej wzoru:
w = m x 2
e
Przykład
00110111
(ZP)
= ...?
(10)
Najpierw wydobywamy z liczby wykładnik e i mantysę m:
0011
e
0111
m
Teraz obliczamy kolejno wartość wykładnika i mantysy:
e
=
0011
(U2)
=
0
x -8 +
0
x 4 +
1
x 2 +
1
x 1
e
=
0011
(U2)
= 2 + 1
e
=
0011
(U2)
= 3
(10)
m
=
0
,
111
(U2)
= - 0 +
1
/
2
+
1
/
4
+
1
/
8
m
=
0
,
111
(U2)
=
1
/
2
+
1
/
4
+
1
/
8
m
=
0
,
111
(U2)
=
4
/
8
+
2
/
8
+
1
/
8
m
=
0
,
111
(U2)
=
7
/
8
Mając wykładnik i mantysę mogę podstawić je do wzoru i obliczyć wartość
liczby:
w =
m
x 2
e
w =
7
/
8
x 2
3
w =
7
/
8
x
8
w = 7, więc ostatecznie:
00110111
(ZP)
= 7
(10)