RUCH HARMONICZNY
x
k
F
x
s
d
F
W
y
z
z
Podstawą jest zawsze opis działających sił
RUCH HARMONICZNY
x
k
F
x
s
d
F
W
y
z
z
Podstawą jest zawsze opis działających sił
Ruch harmoniczny
)
(
)
(
t
x
k
t
F
)
sin(
)
(
t
A
t
x
2
m
k
2
pulsacja (kołowa
częstość drgań
własnych)
Równanie ruchu
)
(t
x
x
dt
t
dx
t
v
)
(
)
(
x
dt
t
x
d
dt
t
dv
t
a
2
2
)
(
)
(
)
(
położeni
e
prędkość
przyspiesze
nie
W kinematyce punktu materialnego
mamy:
3
Mając położenie ciężarka w każdej chwili czasu x(t) możemy podać
prędkość i przyspieszenie
w każdej chwili czasu
Poniżej znajdziecie podsumowanie podstawowych równań i parametrów dla
oscylatora harmonicznego
Równanie ruchu
m
)
(t
F
masa
siła
W dynamice punktu materialnego:
i
i
F
x
m
Czyli równanie ruchu (II zasada dynamiki Newtona) będzie miało
postać:
przyspieszenie
2
2
)
(
dt
t
x
d
suma wszystkich sił
działających na
ciało
4
Ruch harmoniczny
Równanie ruchu harmonicznego – rozwiązanie:
x
k
x
m
0
x
m
k
x
2
m
k
y
podstawiam
0
2
x
x
)
sin(
)
(
t
A
t
x
amplituda
drgań
maksymalne
wychylenie
początkow
a faza
drgań
częstość (pulsacja)
drgań własnych
faza drgań
5
Ruch harmoniczny
Przykłady ruchu harmonicznego:
• ciało na sprężynie (niewielkie
wychylenia)
• wahadło matematyczne (niewielkie
wychylenia)
• wahadło fizyczne (niewielkie wychylenia)
• obciążona próbówka pływająca w wodzie
• ciecz w U-rurce
6
Równanie siły
x
k
dt
x
d
m
x
m
k
a
x
k
a
m
x
x
2
2
x
k
F
x
powtórzmy jeszcze tok rozumowania w przypadku ciężarka na sprężynie
Jest to r.r. drugiego
rzędu
x
m
k
dt
x
d
2
2
Rozwiazaniem r.r. jest funkcja x(t)
x
m
k
x
Inny zapis tego równania
Rozwiazaniem r.r. jest
funkcja x(t)
t
A
x
cos
2
sin
cos
t
t
Funkcje sinus i cosinus stosujemy często zamiennie
Oscylacje możemy opisać
jako rzuty
w ruchu jednostajnym po
okręgu
= t +
Typowa prezentacja pokazuje
zsynchronizowany ruch ciężarka na sprężynce
oraz rzut punktu poruszającego się ruchem
jednostajnym po okręgu
Zadania praktyczne opisują ruch ciężarka
zawieszonego na sprężynce. Wtedy moment
zawieszenia pozwala na wyznaczenie
współczynnika sprężystości k = mg/y
o
ky
dt
y
d
m
2
2
Nowe położenie
równowagi
możemy ustalić po
wychyleniu
się sprężyny o y
o
Wtedy otrzymamy
równanie
Którego rozwiazaniem jest
Funkcja y(t) = y
o
cos ωt
Ale to tylko formalne sztuczki : )
Ruch drgający możemy opisać
W funkcji czasu
Mając rozwiązanie r.r. możemy wyznaczyć
położenie, prędkość i przyspieszenie w
dowolnej chwili czasu
x(t) = Acos(ωt +
0)
v(t) = dx/dt = -
Aωsin(ωt)
a(t) = dv/dt = - Aωωcos(ωt)
t
A
a
x
cos
2
To już wiemy ale popatrzcie jakie jest przesunięcie fazowe
połozenia, prędkości i przyspieszenia na wykresach
Zadanie dla orłów
Kulka „spadnie”
(„oderwie się od podłoża”) gdy
przyspieszenie oscylatora
zredukuje przyspieszeni g
Ruch harmoniczny
Energia w ruchu harmonicznym:
2
v
2
m
E
k
Energia
kinetycz
na
Energia
potencja
lna
Energia
całkowit
a
2
2
x
k
E
p
2
2
1
kA
E
E
E
p
k
C
17
Zmiany energii w czasie
ale suma jest zawsze stała
(oczywiście o ile nie ma strat)
t
A
m
E
t
kA
E
k
p
2
2
2
2
1
2
2
2
1
sin
cos
1/2
sin
2
ωt
1/2
cos
2
ωt
Poniżej mamy przebieg zmian energii kinetycznej i potencjalnej
w zależności od czasu. Można wykazać albo tylko zauważyć że
zmiany energii są dwa razy częstsze niż zmiany wychylenia
Wykres energii
potencjalnej
Drobina wodoru
Minimalną wartość energii potencjalnej U = - 4,48 eV ma cząsteczka,
gdy atomy znajdują się we wzajemnej odległości
nm
r
r
74
,
0
0
Przyleciał do Was
„niebieski ptak młodości i
kombinuje”
L
S
mg
dt
dS
m
dt
S
d
dt
d
dt
dS
L
S
mg
mg
mg
dt
d
m
2
2
2
2
v
,
,
,
v
sin
v
Kto pamięta wzór na okres drgań ?
WAHADŁO MATEMATYCZNE
WAHADŁO MATEMATYCZNE
Tu miarą wychylenia jest kąt a przy jednoczesnym założeniu że jest to kąt
Tu miarą wychylenia jest kąt a przy jednoczesnym założeniu że jest to kąt
mały czyli słuszne jest przybliżenie:
mały czyli słuszne jest przybliżenie:
]
rad
[
sin
L
x
Porównanie wzorów na
pulsację dla ciężarka na
sprężynie i dla wahadła
L
g
m
k
Wahadło fizyczne to też
oscylator
Okazja do wdrożenia nowej procedury myślenia (? ! ?)
Będzie to bryła sztywna
Zawieszona powyżej środka masy
Najlepiej będzie analizować zmiany
kąta wychylenia φ pod wpływem zmie-
niającego się momentu siły M
Procedura jest prosta: trzeba opisać moment siły i moment bezwładności i skorzystać z
drugiego prawa dynamiki bryły sztywnej oraz pamietać, że przyspieszenie katowe to
2
2
dt
d
Moment siły
M
= -
sin
2
2
mgd
dt
d
I
sin
mgd
a równanie różniczkowe przyjmie postać
I
mgd
T
I
mgd
dt
d
2
2
2
2
2
2
sin
Równanie możemy zapisać w postaci identycznej jak równanie oscylatora harmonicznego
Czy wszyscy pamiętacie dlaczego ?
Zadanie: oblicz okres drgań
linijki
zawieszonej jak na rysunku
mgd
I
T
2
d =
d =
W pierwszym przybliżeniu można powiedzieć,
że ruchy następujących ciał są również
ruchami harmonicznymi.
Amplit
uda
Amplit
uda
Minim
um
Zmiany położenia ciężarka na sprężynie
Dudnienia drgań harmonicznych
Dudnienia drgań harmonicznych
W przypadku dwóch drgań harmonicznych o częstościach
W przypadku dwóch drgań harmonicznych o częstościach
ω
ω
1
1
, ω
, ω
2
2
i
i
jednakowej amplitudzie
jednakowej amplitudzie
przebieg drgań można opisać funkcjami:
przebieg drgań można opisać funkcjami:
Przebieg powstały w wyniku dodania tych drgań:
Przebieg powstały w wyniku dodania tych drgań:
Z sumowania funkcji trygonometrycznych wynika:
Z sumowania funkcji trygonometrycznych wynika:
)
t
sin(
A
)
t
(
x
)
t
sin(
A
)
t
(
x
2
2
1
1
)
t
(
x
)
t
(
x
)
t
(
X
2
1
Lub oznaczając: możemy zapisać wypadkowe drganie:
Lub oznaczając: możemy zapisać wypadkowe drganie:
2
2
2
1
sred
2
1
ul
mod
)
t
sin(
)
t
cos(
A
2
)
t
(
X
sred
ul
mod
:
2
t
)
(
sin
2
t
)
(
cos
A
2
)]
t
sin(
)
t
[sin(
A
2
)
t
(
X
2
1
2
1
2
1
Graficzna ilustracja
Graficzna ilustracja
dudnienia
dudnienia
.
.
sred
ul
mod
Dwa dźwięki o zbliżonych częstościach
Ucho odbiera jako dudnienie - zmianę
głośności o częstości
½
(ω
1
– ω
2
)
dudnienia fal
OSCYLACJE W DWÓCH WYMIARACH - Krzywe Lissajous
OSCYLACJE W DWÓCH WYMIARACH - Krzywe Lissajous
Możliwe jest rozważanie oscylacji w dwóch wymiarach (na płaszczyźnie X,Y).
Będą to jakby dwa oscylatory – jeden X(t) drgający na osi X , drugi zaś Y(t)
drgający na osi Y prostopadłej do X.
)
t
sin(
B
)
t
(
y
)
t
sin(
A
)
t
(
x
y
x
Kształt krzywych na płaszczyźnie (x,y) jest szczególnie uzależniony od ilorazu
Kształt krzywych na płaszczyźnie (x,y) jest szczególnie uzależniony od ilorazu
x
x
y
y
Dla współczynnika
Dla współczynnika
1, krzywa jest elipsą, w specjalnych
1, krzywa jest elipsą, w specjalnych
przypadkach gdy A = B oraz
przypadkach gdy A = B oraz
= 0 lub
= 0 lub
=
=
/2 jest to okrąg.
/2 jest to okrąg.
Inne wartości współczynnika
Inne wartości współczynnika
dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte
dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte
tylko gdy
tylko gdy
jest liczbą wymierną.
jest liczbą wymierną.
Przykładowe rysunki krzywych Lissajous dla różnych wartości ilorazu
Przykładowe rysunki krzywych Lissajous dla różnych wartości ilorazu
oraz dla różnicy faz
oraz dla różnicy faz
=
=
/2
/2
przedstawia następny slajd.
przedstawia następny slajd.
2
1
2
3
4
3
4
5
6
5
8
9
KRZYWE LISSAJOUS
KRZYWE LISSAJOUS
Oscylator tłumiony
otrzymamy
gdy oprócz
siły sprężystości F = - kx pojawi się
dodatkowa siła
stanowiąca opór proporcjonalny do
prędkości F = -bv
dt
dx
b
kx
dt
x
d
m
2
2
Oscylator tłumiony nie jest harmoniczny bo ma de facto wiele czestotliwości
t
e
A
t
e
A
x
t
t
m
b
'
cos
'
cos
2
0
2
0
b
m
Rozwiązanie ma postać
0
-Ae
-
t
Ae
-
t
Ae
-
t
cos
t
-A
A
t
x
)
t
cos(
e
A
)
t
(
x
t
0
-A e
- t
A e
- t
A e
- t
cos
t
-A
A
t
x
2
1
:
2
2
0
Oscylacje tłumione
Ruch pełzający
Tak to wygląda jeżeli przyjmiemy β
= b/2m:
Zanik drgań
energia zanika „z
kwadratem
amplitudy” a więc szybciej
b
m
Wygląda na to, że
energia
zanika z kwadratem
amplitudy czyli
Na skutek tłumienia drgań maleje także
ich częstość
2
0
0
2
2
0
2
1
2
'
m
b
m
b
dt
dx
b
kx
dt
x
d
m
2
2
Ruch harmoniczny
tłumiony c.d.
40
Animacja ruchów harmonicznych tłumionych w zależności od czasu:
Ruch harmoniczny
tłumiony c.d.
41
Energia
w ruchu tłumionym:
t
m
m
e
kA
e
kA
Ae
k
amplituda
k
t
E
t
t
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
m
Jest to tzw.
czas relaksacji
, czyli czas po
którym energia układu maleje „e” razy
Szybkość zmian energii
:
E
e
kA
e
dt
d
kA
e
kA
dt
d
dt
dE
t
t
t
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
Układ tłumiony traci tyle samo energii w jednakowych odstępach czasu.
Poniżej kilka slajdów dla spragnionych widoku matematycznych sztuczek
Ruch harmoniczny
tłumiony
42
Dobroć oscylatora
definiujemy następująco:
T
ET
E
T
dt
dE
E
kresie
w jednym o
energia
oscylatora
energia
Q
2
2
2
2
1
Logarytmiczny dekrement tłumienia
definiujemy:
T
m
e
Ae
Ae
A
A
T
T
t
t
T
t
t
m
m
m
2
ln
ln
ln
2
2
2
Jest to logarytm stosunku dwóch kolejnych maksymalnych wychyleń (dla
wychylenia w jednakową stronę) . Wielkość ta nie zależy od czasu.
Ruch harmoniczny
tłumiony
43
Tłumienie krytyczne
zachodzi gdy:
Rozwiązaniem równania ruchu tłumionego krytycznie jest funkcja
postaci:
2
2
0
2
m
t
m
e
t
m
b
B
A
t
x
2
2
Równanie powyższe nie
opisuje ruchu drgającego.
Ciało (cząstka) tłumiona
krytycznie nie przechodzi
przez punkt równowagi
lecz stopniowo się do
niego zbliża.
Ruch harmoniczny
tłumiony
44
Przetłumienie
zachodzi gdy:
Rozwiązaniem równania dla układu przetłumionego jest funkcja
postaci:
2
2
0
2
m
t
t
m
m
e
Ae
t
x
2
0
2
2
2
Równanie powyższe nie
opisuje ruchu drgającego.
Układ przetłumiony
dochodzi do położenia
równowagi dłużej niż
układ tłumiony
krytycznie.
• Na fotografii pokazano 400-tonowe bloki służące do tłumienia
drgań. Są one poprzez układ sprężyn połączone z budowlą tak
by wykonywały oscylacje w przeciwnej fazie (przesunięcie o 180
stopni) w stosunku do fazy naturalnych drgań wzbudzanych
wiatrem (Citicorp Building, New York).
Sposób na tłumienie drgań
Wieżowca w Nowym Yorku
Drgania
wymuszone
Oscylator wymuszony
Drga z częstością wymuszającą ale niezbyt zgodnie bo
pojawia się
przesunięcie fazowe
Równanie oscylatora
wymuszonego
t
F
x
b
kx
dt
x
d
m
ma
x
cos
0
2
2
t
m
F
x
m
k
x
m
b
x
cos
0
W efekcie oscylator drga z
częstością, która zostaje na nim
wymuszona ale w innej fazie
Amplituda drgań i przesunięcie fazowe
zależą od różnicy częstości
wymuszającej i częstości własnej
rezonatora
t
A
x
cos
2
2
0
2
2
2
2
2
0
2
0
tg
m
b
b
m
F
A
Drgania wymuszone
harmoniczne
t
F
x
m
dt
dx
b
dt
x
d
m
cos
0
2
0
2
2
t
i
e
F
z
m
dt
dz
b
dt
z
d
m
0
2
0
2
2
Część rzeczywista funkcji zespolonej z(t) będzie rozwiązaniem
dla równania pierwszego
2
2
0
2
/
1
2
2
2
2
0
0
/
arctg
t
sin
]
)
/
(
)
[(
)
t
(
x
poszukiwane rozwiązanie ma postać:
poszukiwane rozwiązanie ma postać:
0
A
4
3
2
1
0
= 0
Wykres przedstawia
Wykres przedstawia
rezonansowy wzrost
rezonansowy wzrost
amplitudy drgań w
amplitudy drgań w
funkcji częstości siły
funkcji częstości siły
wymuszającej
wymuszającej
dla
dla
różnych wartości
różnych wartości
współczynnika
współczynnika
tłumienia
tłumienia
.
.
Tłumienie zależy od
częstości
Jeżeli częstość wymuszająca zbliża się do częstości własnej
układu dochodzi do rezonansu
Uwaga!! - może dojść do rezonansów
Tak było w
Takomie,
tyle, że
bardziej skomplikowanie
1940
1950
Zmiana fazy będzie zależeć od
częstotliwości wymuszającej
0
-90
0
-180
0
0
0
= 100
0
= 1
Z tych wszystkich slajdów trzeba zestawić
trzy podstawowe równania dla
oscylatorów:
1.
harmonicznego
2.
tłumionego i ..
3.
wymuszonego
oraz podać rozwiązania tych równań.
Zrozumienie tego zestawienia
przypieczętuje na egzaminie ocenę 3.5 i
otworzy drogę do oceny dobrej i więcej
Rozwiązanie w postaci
zespolonej
.
2
2
2
2
2
0
2
0
)
(
b
m
F
A
Ae
z
t
i
Oscylatory - zwłaszcza tłumiony i wymuszony – dobrze jest opisywać przy pomocy
liczb zespolonych. Główną zaletą ich stosowania jest jednoczesny opis amplitudy
i fazy.
Część rzeczywistą
rozwiązania
już znamy
.
cos
t
A
x
Postać zespolona
i
z
sin
cos
sin
cos
i
r
ir
r
z
i
re
z
tg
z
r
,
2
1
2
2
Dwa klocki symbolizują ruch
materii „góra” „dół”. Fala może
przemieszczać się w „lewo” lub
„w prawo” a klocki tego nie robią
: )
Ruch
harmoniczny
Ruch harmoniczny jest szczególnym
przykładem ruchów periodycznych. Są nimi
przykładowo:
•
wahadło matematyczne i fizyczne
• ciężarek na sprężynie
• drgania drobiny dwuatomowej (model to dwa ciężarki
na sprężynie)
Rozważmy animację
przedstawiającą ruch
punktu po okręgu i
rzut tego ruchu na
jedną z osi.
: przemieszczenie
kątowe
: prędkość kątowa
t : czas
= t
r : promień koła,
amplituda
y(t) = r sin() =r
sin(t)
Rodzaje fal
Ze względu na zależność wychyleń
cząstek ośrodka od ich położenia
w przestrzeni
– Kuliste
– Walcowe
– płaskie
63
Równanie fali
f(x,t) = A sin (ω t - k x + φ
o
)
(fala płaska)
f(x,t) = A sin (ω t - k r + φ
o
)
(fala kulista)
Minus „ -” przy kx oznacza, że fala porusza
się „w prawo”
Równanie falowe
Każde równanie fali musi spełniać równanie
falowe
Zad: Sprawdź, że rzeczywiście fynkcja opisująca falę
płaską f(x,t) = A sin (ω t - k x + φ
o
)
spełnia równanie
falowe
długość fali – droga pokonywana przez powierzchnię falową
w czasie jednego okresu
liczba falowa –
liczbowo równa ilości długości fal mieszczących się
w długości 2
(okresowość przestrzenna)
Pulsacja, częstość kołowa
(okresowość czasowa)
ω = 2π/T
T
c
2
k
66
k może być zapisane jako wektor ale
wtedy współrzędne x,y,z, lub r zapisujemy
Wraz z odpowiednimi wersorami
Podstawowe parametry fali
Rodzaje fal
Ze względu na kierunek wychyleń
(drgań) cząstek ośrodka
– podłużne
– poprzeczne
– mieszane
67
Rodzaje fal
W przypadku fali poprzecznej cząstki ośrodka (napiętej liny)
drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się
samej fali.
W przypadku fali podłużnej punkty materialne ośrodka
(rozciągniętej sprężyny) drgają w tym samym kierunku, w jakim
rozchodzi się fala.
68
Rodzaje fal
(b) Fala kulista. Promienie fali układają się radialnie, a powierzchnie
falowe, odległe od siebie o długość fali, tworzą wycinki powłok
sferycznych. Daleko od źródła małe fragmenty powierzchni falowych
można traktować jako płaskie.
(a) Fala płaska. Płaszczyzny reprezentują powierzchnie falowe (czoła
fali) odległe od siebie o długość fali. Strzałkami oznaczono promienie
fali.
69
Fala kulista
Fala
płaska
Fale - definicje
Fala – zaburzenie lub zespół zaburzeń
rozchodzących się w przestrzeni ze skończoną
prędkością i niosące ze sobą energię.
Zaburzenie może mieć postać impulsu lub
drgań. Opisuje je tzw. funkcja falowa
=
o
(x,t) –
równanie fali płaskiej
=
o
(r,t) –
równanie fali kulistej.
=
o
(x,y,t)
– to mogła by być fala walcowa
jak ją zapisać?
W ogólnym przypadku może być dowolną wielkością,
(ciśnieniem dla fali akustycznej, natężeniem E lyb H dla
fali EM
70
Fale - definicje
fala podłużna – kierunek drgań równoległy do kierunku
rozchodzenia się fali
fala poprzeczna – kierunek drgań prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali
fala kulista – powierzchnie falowe są wycinkami sfer
współśrodkowych (radialnych)
fala płaska – powierzchnie falowe są wycinkami
równoległych do siebie płaszczyzn
powierzchnia falowa – zbiór punktów przestrzeni
będących w tej samej fazie drgań
promień falowy (promień fali) – półprosta
rozpoczynająca się w źródle i przechodząca przez dany
punkt ośrodka (jest zawsze prostopadła do pow. falowych)
czoło fali – powierzchnia falowa najbardziej oddalona od
źródła
71
Fale - definicje
faza drgań – stan drgań danego punktu
ośrodka opisywany przez
, d/dt,
d
2
/dt
2
w przypadku fali harmonicznej liczba z
przedziału od 0 do 2)
prędkość (fazowa) fali – prędkość
przemieszczania się dowolnej powierzchni
falowej (jest to jednocześnie prędkość
przenoszenia energii przez falę)
częstość fali –
f=1/T
okres fali – najmniejszy odstęp czasu po
którym w danym punkcie ośrodka fala
ponownie będzie miał tą samą fazę drgań
72
natężenie fali – energia
przenoszona przez falę przez
jednostkową powierzchnię w
jednostce czasu
t
S
E
I
fale poprzeczne
fale poprzeczne
–
–
gdy kierunek drgań jest prostopadły do kierunku
gdy kierunek drgań jest prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali, np. fale rozchodzące się
rozchodzenia się fali, np. fale rozchodzące się
w strunach instrumentów muzycznych ,
w strunach instrumentów muzycznych ,
(do fal poprzecznych zaliczamy również
(do fal poprzecznych zaliczamy również
fale elektromagnetyczne);
fale elektromagnetyczne);
fale podłużne
fale podłużne
- jeśli cząstki ośrodka poruszają się równolegle
- jeśli cząstki ośrodka poruszają się równolegle
do kierunku
do kierunku
rozchodzenia się fali, np. fale dźwiękowe.
rozchodzenia się fali, np. fale dźwiękowe.
Ruch falowy
musi być opisany
zarówno w czasie jak
i w przestrzeni
f
v
f
v
f
v
f
v
Impuls falowy
Fala poprzeczna
Przykład
rozchodzenia się
Fali poprzecznej
Fala akustyczna jest falą podłużną
Przeciętne ucho słyszy dźwięki o częstości od 16 Hz do 20 kHz.
Fale o częstości poniżej 16 Hz nazywamy infradźwiękami,
a powyżej 20 kHz ultradźwiękami.
Natężenie fali akustycznej
zależy od kwadratu ciśnienia
I ~ p
2
RT
p
2
12
0
/
10
m
W
I
t
S
E
I
p
o
= 10
-5
Pa
Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając tzw. znamiona dźwięku:
1. Wysokość (częstość drgań),
2. Głośność lub natężenie (amplitudę drgań),
3. Barwa (widmo akustyczne)
Największą czułość ucho przejawia w zakresie częstości 2-3 kHz.
Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność
dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu
odpowiadającemu progowi słyszalności przy tej
częstości.
2
12
0
/
10
m
W
I
Głośność dźwięku o tej samej częstości i innym natężeniu :
I
0
lg
I
I
L
Jednostkami głośności są bele lub częściej używane decybele .
B
dB
np. zwykła rozmowa ma głośność około ,
tzn. jej natężenie dźwięku jest razy
większe od progu słyszalności.
B
dB 4
40
4
0
10
10
/
L
I
I
Dla dźwięków o innej częstości niż wzorcowa 1 kHz
głośność podajemy w fonach (nie decybelach), gdy
dźwięk wydaje się być tak samo głośny jak dźwięk o
częstości wzorcowej i danej liczbie decybeli.
10 dB - szmer liści przy łagodnym wietrze
20 dB - szept, cichy ogród
30 dB - bardzo spokojna ulica bez ruchu
kołowego
40 dB - szmery w mieszkaniu,
50 dB - szum w biurach
60 dB-90 dB - odkurzacz
70 dB - wnętrze głośnej restauracji
80 dB - głośna muzyka w pomieszczeniach,
100 dB - motocykl bez tłumika
120 dB - śmigło helikoptera w odległości 5 m
160 dB - wybuch petardy
Natężenie dźwięku
Charakterystyki
pomiarowe
Przy podawaniu
natężenia dźwięku
w decybelach
podajemy zawsze
jaka była
charakterystyka
pomiarowa np.
L
AdB
lub
L
CdB
W przypadku odkształceń objętościowych lub
postaciowych analogiczne wyprowadzenia dają
prędkość:
K
v
1
G
v
lub
K
– moduł ściśliwości
G
– moduł sztywności
Rozchodzenie się fali głosowej w gazach odpowiada w
przybliżeniu przemianom adiabatycznym (bez
wymiany ciepła z otoczeniem):
const
pV
V
P
c
c /
Po zróżniczkowaniu:
0
1
dV
V
p
dp
V
stąd:
V
dV
p
dp
z prawa Hooke’a:
dp
K
V
dV
Po podstawieniu:
p
K
dp
pK
dp
1
Prędkość dźwięku w gazie:
p
v
Należy dążyć do obniżenia
hałasu co najmniej poniżej
65 dB
Fala stojąca
Zasada SUPERPOZYCJI
Zasada SUPERPOZYCJI
W ośrodkach liniowych podczas jednoczesnego rozchodzenia się
W ośrodkach liniowych podczas jednoczesnego rozchodzenia się
kilku fal
kilku fal
wypadkowe zaburzenie w dowolnym punkcie tego ośrodka jest sumą
wypadkowe zaburzenie w dowolnym punkcie tego ośrodka jest sumą
zaburzeń,
zaburzeń,
jakie wywołałyby poszczególne fale. Taki sposób dodawania
jakie wywołałyby poszczególne fale. Taki sposób dodawania
zaburzeń nazywamy
zaburzeń nazywamy
superpozycją (lub nakładaniem się) fal
superpozycją (lub nakładaniem się) fal
.
.
Dwie fale nazywamy
Dwie fale nazywamy
spójnymi (koherentnymi)
spójnymi (koherentnymi)
jeśli
jeśli
różnica ich faz nie zależy od
różnica ich faz nie zależy od
czasu
czasu
. Spójnym falom odpowiadają spójne drgania cząstek ośrodka.
. Spójnym falom odpowiadają spójne drgania cząstek ośrodka.
A więc fale harmoniczne o
A więc fale harmoniczne o
jednakowych częstościach
jednakowych częstościach
są zawsze spójne.
są zawsze spójne.
)
kx
sin(
A
)
0
t
,
x
(
y
)
kx
sin(
A
)
0
t
,
x
(
y
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Przykład sumowania (interferencji)
Przykład sumowania (interferencji)
dwóch fal spójnych.
dwóch fal spójnych.
Interferencja dwóch spójnych fal wychodzących z
Interferencja dwóch spójnych fal wychodzących z
dwóch szczelin
dwóch szczelin
Jak widać amplituda drgań wypadkowych jest okresową funkcją współrzędnej
Jak widać amplituda drgań wypadkowych jest okresową funkcją współrzędnej
przestrzennej
przestrzennej
x
x
, a więc jest różna w różnych punktach ośrodka.
, a więc jest różna w różnych punktach ośrodka.
Fala nie przemieszcza się w przestrzeni, dlatego nazywamy ja
Fala nie przemieszcza się w przestrzeni, dlatego nazywamy ja
falą stojącą
falą stojącą
.
.
Punkty ośrodka, których amplituda drgań jest maksymalna i wynosi 2A nazywamy
Punkty ośrodka, których amplituda drgań jest maksymalna i wynosi 2A nazywamy
strzałkami fali stojącej, natomiast punkty pozostające w spoczynku nazywamy
strzałkami fali stojącej, natomiast punkty pozostające w spoczynku nazywamy
węzłami fali stojącej.
węzłami fali stojącej.
t
sin
kx
cos
A
2
)
t
,
x
(
y
AMPLITUDA WYPADKOWA
AMPLITUDA WYPADKOWA
Figury Chladniego
Figury Chladniego
–
figury tworzone przez piasek lub opiłki korka, gromadzące się w
figury tworzone przez piasek lub opiłki korka, gromadzące się w
węzłach fali stojącej
węzłach fali stojącej
na drgającej sprężystej płytce. Kształt i ilość obszarów węzłów i
na drgającej sprężystej płytce. Kształt i ilość obszarów węzłów i
strzałek zależy od częstotliwości siły wymuszającej drgania i od częstości drgań
strzałek zależy od częstotliwości siły wymuszającej drgania i od częstości drgań
własnych płytki.
własnych płytki.
DYFRAKCJA (UGIĘCIE) FAL
DYFRAKCJA (UGIĘCIE) FAL
Zasada Huygensa (1690)
Zasada Huygensa (1690)
Każdy punkt ośrodka sprężystego po dojściu do niego zaburzenia
Każdy punkt ośrodka sprężystego po dojściu do niego zaburzenia
(czoła fali)
(czoła fali)
staje się źródłem wtórnej fali (płaskiej, kolistej, kulistej)
staje się źródłem wtórnej fali (płaskiej, kolistej, kulistej)
Ugięcie fali występuje tym wyraźniej, im mniejsze są wy-
Ugięcie fali występuje tym wyraźniej, im mniejsze są wy-
miary szczeliny w stosunku do długości padającej fali;
miary szczeliny w stosunku do długości padającej fali;
jeżeli otwór jest bardzo szeroki zjawisko praktyczne nie
jeżeli otwór jest bardzo szeroki zjawisko praktyczne nie
występuje.
występuje.
W zależności od tego, jaka jest szerokość
W zależności od tego, jaka jest szerokość
szczeliny d w porównaniu z długością fali λ,
szczeliny d w porównaniu z długością fali λ,
zjawisko dyfrakcji będzie mniej lub bardziej
zjawisko dyfrakcji będzie mniej lub bardziej
wyraźne.
wyraźne.
Obserwujemy je wyraźnie zawsze wtedy, gdy
Obserwujemy je wyraźnie zawsze wtedy, gdy
d < λ lub d = λ
d < λ lub d = λ
Dyfrakcja fal na wodzie.
Dyfrakcja fal na wodzie.
Pierścienie dyfrakcyjne;
Pierścienie dyfrakcyjne;
Efekt dyfrakcji światła na otworze
Efekt dyfrakcji światła na otworze
kołowym.
kołowym.
Polaryzacja fali poprzecznej
Polaryzacja fali poprzecznej
Drgania poprzeczne mają dodatkową uzupełniającą właściwość zwaną polaryzacją.
Drgania poprzeczne mają dodatkową uzupełniającą właściwość zwaną polaryzacją.
Polaryzacja eliptyczna (lub kołowa) jako superpozycja dwóch fal
Polaryzacja eliptyczna (lub kołowa) jako superpozycja dwóch fal
ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych
ogólnie o niejednakowych amplitudach i przesunięciach fazowych
Weźmy dwie fale poprzeczne o jednakowej częstotliwości kołowej ω i o niejedna-
Weźmy dwie fale poprzeczne o jednakowej częstotliwości kołowej ω i o niejedna-
kowych amplitudach, A, oraz różnych fazach f, biegnące w kierunku osi ‘z’
kowych amplitudach, A, oraz różnych fazach f, biegnące w kierunku osi ‘z’
(prostopadłej do rysunku), których superpozycja jest opisywana 5równaniem:
(prostopadłej do rysunku), których superpozycja jest opisywana 5równaniem:
)
t
cos(
A
y
)
t
cos(
A
x
)
t
(
2
2
1
1
(gdy obie amplitudy A
(gdy obie amplitudy A
1
1
i A
i A
2
2
są równe to dla Df = p/2 oraz 3p/2 otrzymamy
są równe to dla Df = p/2 oraz 3p/2 otrzymamy
polaryzacje kołowe)
polaryzacje kołowe)
Ilustracja efektu polaryzacji światła – FILTR POLARYZACYJNY
Ilustracja efektu polaryzacji światła – FILTR POLARYZACYJNY
Kiedy dwa filtry polaryzacyjne są ustawione tak, że przepuszczają tylko fale oscylujące
Kiedy dwa filtry polaryzacyjne są ustawione tak, że przepuszczają tylko fale oscylujące
w prostopadłych płaszczyznach, to światło nie przechodzi. Jeżeli płaszczyzny polaryzacji
w prostopadłych płaszczyznach, to światło nie przechodzi. Jeżeli płaszczyzny polaryzacji
są takie same, to efekt jest taki jak dla jednego filtra.
są takie same, to efekt jest taki jak dla jednego filtra.
Filtry polaryzacyjne są stosowane np. w okularach przeciwsłonecznych, gdzie
Filtry polaryzacyjne są stosowane np. w okularach przeciwsłonecznych, gdzie
zmniejszają jasność nieba w słoneczny dzień, blokują spolaryzowane światło odbite
zmniejszają jasność nieba w słoneczny dzień, blokują spolaryzowane światło odbite
od poziomych płaszczyzn (szyb, luster itp.)
od poziomych płaszczyzn (szyb, luster itp.)
Filtr polaryzacyjny
Filtr polaryzacyjny
EFEKT DOPPLERA
EFEKT DOPPLERA
(1842)
(1842)
(DLA FAL MECHANICZNYCH)
(DLA FAL MECHANICZNYCH)
Źródło fal poruszające się w prawo.
Odbierana długość fali jest mniejsza
po prawej, a większa po lewej stronie od źródła.
Źródło fal porusza się względem ośrodka,
Źródło fal porusza się względem ośrodka,
w którym fale propagują.
w którym fale propagują.
Z przodu źródła długość fali maleje
z tytułu rośnie
.
0
f
u
v
0
f
u
v
fali
obs
fali
em
odb
V
v
V
f
f
Bariera dźwieku
(2)Fala mechaniczna emitowana przez nieruchome źródło
i odbierana przez ruchomego obserwatora
W przypadku spoczywającego źródła odległości między kolejnymi grzbietami fali są
W przypadku spoczywającego źródła odległości między kolejnymi grzbietami fali są
stałe i niezależne od kierunku, ale zmienia się częstość ich spotykania przez porusza-
stałe i niezależne od kierunku, ale zmienia się częstość ich spotykania przez porusza-
jącego się obserwatora.
jącego się obserwatora.
Jeśli obserwator zbliża się do źródła, to względna prędkość obserwatora i ruchu
Jeśli obserwator zbliża się do źródła, to względna prędkość obserwatora i ruchu
falowego jest równa
falowego jest równa
v
v
wz
wz
= V
= V
fali
fali
+ v
+ v
obs
obs
wobec tego czas między obserwacjami kolejnych
wobec tego czas między obserwacjami kolejnych
frontów (czyli obserwowany okres fali
frontów (czyli obserwowany okres fali
T
T
’) jest równy:
’) jest równy:
obs
fali
zr
v
V
'
T
Stąd częstość odbierana:
Stąd częstość odbierana:
fali
obs
fali
em
odb
V
v
V
f
f
(3)
(3)
Źródło fali oraz obserwator jednocześnie
Źródło fali oraz obserwator jednocześnie
poruszają się
poruszają się
względem ośrodka.
względem ośrodka.
Z połączenia poprzednich dwóch wzorów szczególnych wynika, wzór opisujący
Z połączenia poprzednich dwóch wzorów szczególnych wynika, wzór opisujący
zjawisko gdy zarówno źródło jak i obserwator poruszają się:
zjawisko gdy zarówno źródło jak i obserwator poruszają się:
Górne znaki oznaczają przypadek gdy źródło lub odbiorca poruszają się
Górne znaki oznaczają przypadek gdy źródło lub odbiorca poruszają się
względem ośrodka zbliżając się do siebie, a dolne przy oddalaniu.
względem ośrodka zbliżając się do siebie, a dolne przy oddalaniu.
EFEKT DOPPLERA DLA FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH
EFEKT DOPPLERA DLA FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH
(w próżni)
(w próżni)
1
1
f
f
zr
odb
c
v
gdzie
gdzie
Dla małych wartości prędkości (
Dla małych wartości prędkości (
<< 1 ) z powyższego wzoru otrzymamy przybliżenie
<< 1 ) z powyższego wzoru otrzymamy przybliżenie
Jest to tzw nierelatywistyczne przybliżenie efektu Dopplera, które można też zapisać dla
Jest to tzw nierelatywistyczne przybliżenie efektu Dopplera, które można też zapisać dla
zmiany odbieranej długości fali:
zmiany odbieranej długości fali: