Opis struktury zbiorowości
dr Aneta Włodarczyk
Opis struktury zbiorowości
dr Aneta Włodarczyk
Parametry stosowane w analizach struktury
zbiorowości statystycznych:
Miary tendencji centralnej (położenia)
Miary zmienności (dyspersji,
rozproszenia)
Miary asymetrii (skośności)
Miary koncentracji
Podział miar tendencji
centralnej
przeciętne miary klasyczne
(średnia arytmetyczna, harmoniczna,
geometryczna)
przeciętne miary pozycyjne
(dominanta, kwantyle)
Średnia arytmetyczna
Dla szeregu szczegółowego:
x
i
- kolejne wartości badanej cechy,
n - liczba jednostek zbiorowości.
n
x
x
n
i
i
1
Średnia arytmetyczna
Dla szeregu
rozdzielczego
punktowego:
n
i
-liczebności klas, k- liczba klas
Dla szeregu
rozdzielczego
przedziałowego:
- środek przedziału
klasowego
i
k
i
k
i
i
i
n
n
x
x
1
1
i
k
i
k
i
i
i
n
n
x
x
1
1
i
x
Średnia grupowa
wyznaczono wartości średnich arytmetycznych w każdej
z r grup ( )
gdzie: n
i
-liczebność i-tej grupy,
r
i
i
r
i
i
i
n
n
x
x
1
1
i
x
Średnia harmoniczna
Dla szeregu szczegółowego:
Dla szeregu rozdzielczego
punktowego:
Dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
n
i
i
H
x
n
x
1
1
k
i
i
i
i
k
i
H
x
n
n
x
1
1
k
i
i
i
i
k
i
H
x
n
n
x
1
1
Średnia geometryczna liczona jest
ze wzoru:
1
1
2
3
1
2
...
n
n
n
G
x
x
x
x
x
x
x
W szeregu rozdzielczym przedziałowym
modę liczy się ze wzoru:
m
m
m
m
m
m
m
m
h
n
n
n
n
n
n
x
Mo
)
(
)
(
1
1
1
X
m
- dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta,
n
m
- liczebność przedziału, w którym występuje dominanta,
n
m-1
-liczebność przedziału poprzedzającego przedział z modą,
n
m+1
– liczebność przedziału następującego bezpośrednio
po przedziale z modalną,
h
m
-rozpiętość przedziału klasowego, w którym znajduje się dominanta
W szeregu rozdzielczym klasowym o
różnej rozpiętości przedziałów modę
liczy się ze wzoru:
i
i
i
h
n
g
gdzie g
i
oznacza gęstość przedziału
klasowego
o numerze i
m
m
m
m
m
m
m
m
h
g
g
g
g
g
g
x
Mo
)
(
)
(
1
1
1
Wyznaczanie kwartyla pierwszego
w szeregach szczegółowych:
Szereg wartości należy uporządkować w
sposób niemalejący
4
1
1
n
N
Q
1
1
Q
N
x
Q
Przykład:
Wydatki (w zł) na pewne dobro w 12
gospodarstwach domowych wynosiły:
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Pozycja kwartyla: (n+1)/4 = 13/4= 3,25
x
3
=33 zł x
4
= 34zł
Q
1
jest wartością większą od 33 zł o 0,25
odległości między 34 a 33, czyli 33,25 zł
[0,25*(34-33)+33].
Wzór na kwartyl pierwszy (Q
1
) dla szeregu
rozdzielczego przedziałowego:
m
m
m
i
i
m
h
n
n
n
x
Q
1
1
1
4
gdzie:
m - numer przedziału, w którym znajduje się Q
1
x
m
- dolna granica przedziału z Q
1
n- liczebność analizowanej zbiorowości
n
m
- liczebność przedziału z Q
1
h
m
-rozpiętość przedziału z Q
1
.
W szeregu szczegółowym medianę
Me wyznacza się ze wzoru:
szereg wartości liczbowych należy
uporządkować w sposób niemalejący!
parzystego
n
dla
x
x
ego
nieparzyst
n
dla
x
Me
n
n
n
2
1
2
2
2
1
Przykład:
Wydatki (w zł) na pewne dobro w 12
gospodarstwach domowych wynosiły:
31 32 33 34 35
36 37
38 39 40 41 42
Pozycja mediany: n – parzyste
n/2 = 12/2 = 6 (n/2)+1 = 7
x
6
=36 zł x
7
= 37zł
Me = (36+37)/2 = 36,5 zł.
Wzór na kwartyl drugi (Me) dla szeregu
rozdzielczego przedziałowego:
m
m
m
i
i
m
h
n
n
n
x
Me
1
1
2
m-numer przedziału, w którym znajduje się Me,
x
m
- dolna granica przedziału z Me,
n - łączna liczebność analizowanej zbiorowości,
n
m
- liczebność przedziału z Me,
h
m
-rozpiętość przedziału z Me.
Wyznaczanie kwartyla trzeciego w
szeregach szczegółowych:
Szereg wartości należy uporządkować w
sposób niemalejący
4
)
1
(
3
3
n
N
Q
3
3
Q
N
x
Q
Przykład:
Wydatki (w zł) na pewne dobro w 12
gospodarstwach domowych wynosiły:
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Pozycja kwartyla: 3*(n+1)/4 = 39/4= 9,75
x
9
=39 zł x
10
= 40 zł
Q
3
jest wartością większą od 39 zł o 0,75
odległości między 40 a 39, czyli 39,75 zł
[(0,75*(40-39)+39].
Wzór na kwartyl trzeci (Q
3
) dla szeregu
rozdzielczego przedziałowego:
m
m
m
i
i
m
h
n
n
n
x
Q
1
1
3
4
3
gdzie:
m - numer przedziału, w którym znajduje się
Q
3
x
m
- dolna granica przedziału z Q
3
n- liczebność analizowanej zbiorowości
n
m
- liczebność przedziału z Q
3
h
m
-rozpiętość przedziału z Q
3
.
Miary zmienności (dyspersji,
rozproszenia) dzielą się na:
pozycyjne (rozstęp, odchylenie
ćwiartkowe),
klasyczne (odchylenie przeciętne,
odchylenie standardowe, wariancja)
Rozstęp (empiryczny obszar
zmienności, amplituda wahań)
R= x
max
-x
min
Odchylenie
ćwiartkowe:
2
1
3
Q
Q
Q
Typowy obszar zmienności:
Q
Me
x
Q
Me
typ
Odchylenie przeciętne
dla szeregu szczegółowego:
n
i
i
x
x
n
d
1
1
Odchylenie przeciętne
dla szeregu rozdzielczego
punktowego:
dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
i
k
i
i
n
x
x
n
d
1
1
i
k
i
i
n
x
x
n
d
1
1
Wariancja
dla szeregu szczegółowego:
n
i
i
x
x
n
S
1
2
2
)
(
1
Wariancja
dla szeregu rozdzielczego
punktowego:
dla szeregu rozdzielczego
przedziałowego:
k
i
i
i
n
x
x
n
S
1
2
2
)
(
1
k
i
i
i
n
x
x
n
S
1
2
2
)
(
1
Odchylenie standardowe
2
S
S
Typowy obszar zmienności:
S
x
x
S
x
typ