DWÓJNIKI PRĄDU
SINUSOIDALNEGO
DWÓJNIKI PRĄDU
SINUSOIDALNEGO
FUNKCJA SINUS
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
5
10
15
20
25
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
t=0
t=3.4
t=6.6
t=8.4
t=10
t=13.2
t=16.8
I
j
t
j
I
e
e
I
t
I
t
i
max
max
Im
sin
I
e
t
j
2
Im
Wartości skuteczne
zespolone oznaczamy
następująco:
• Prąd:
• Napięcie:
I
j
Ie
I
U
j
Ue
U
Związek przebiegu prądu
z przebiegiem napięcia:
• Postać impedancyjna
• Postać admitancyjna
Postać impedancyjna
• Moduł impedancji
I
Z
U
Z
j
Ze
Z
I
U
Z
I
U
Z
•Kąt obciążenia
Postać admitancyjna
U
Y
I
Y
j
Ye
Y
U
I
Y
U
I
Y
• Moduł impedancji • Kąt przesunięcia
Przykładowe wektory
wodzące
• Prąd:
• Napięcie
150
2
1
j
e
I
210
2
1
j
e
U
-1
-0,5
0
0,5
1
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
I
U
=314 rd/s
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
5
10
15
20
25
i(t)
u(t )
Uzyskane wartości
• impedancji
• admitancji
60
1
j
e
Z
60
1
j
e
Y
Zadanie
Wartość
skuteczna
prądu
sin
zmiennego płynącego przez układ
szeregowy elementów R, L, C wynosi
0.707 A. Wyznaczyć moc pozorną w
układzie.
Narysować
wykresy
wskazowe oraz przebiegi chwilowe
prądów, napięć i mocy przyjmując: R
= 2 , L = 2 mH, C = 2 mF,
I
=0,
=314 rd/s.
Element R
• Wartości chwilowe
•
wartości zespolone
Ri
u
Gu
i
I
R
U
U
G
I
Przebiegi chwilowe i
wykres wskazowy
• Prąd:
• Napięcie:
t
t
i
314
sin
1
t
t
u
314
sin
2
• Moc:
t
t
p
628
cos
1
1
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
5
10
15
20
25
i (t)
u(t)
p(t)
I = 0.707 A
U
R
= 1.414 V
P=1 W
-1
-0,5
0
0,5
1
-0,5 0
0,5
1
1,5
2
2,5
I
U
=314 rd/s
Element L
• Wartości chwilowe
•
wartości zespolone
dt
di
L
u
t
udt
L
i
0
1
I
jX
I
L
j
U
L
U
jB
U
L
j
I
L
1
Wyprowadzenie:
t
j
I
Max
e
I
dt
d
L
t
I
dt
d
L
2
Im
sin
t
j
t
j
e
U
e
I
L
j
2
Im
2
Im
Stąd:
I
jX
I
L
j
U
L
dt
di
L
u
Przebiegi chwilowe i
wykres wskazowy
• Prąd:
• Napięcie:
t
t
i
314
sin
1
t
t
u
314
cos
628
.
0
• Moc:
t
t
p
628
sin
314
.
0
I = 0.707e
j0
A
U
L
= 0.444e
j90
V
Q
L
=0.314 Var
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
5
10
15
20
25
i (t) u(t)
p(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,5 0
0,5
1
1,5
2
2,5
I
U
=314 rd/s
Element C
• Wartości chwilowe
•
wartości zespolone
dt
du
C
i
t
idt
C
u
0
1
U
jB
U
C
j
I
C
I
jX
I
C
j
U
C
1
Wyprowadzenie:
t
t
j
t
I
Max
dt
e
I
C
dt
t
I
C
0
0
2
Im
1
sin
1
t
j
t
j
e
U
e
I
C
j
2
Im
1
2
Im
Stąd:
I
jX
I
C
j
U
C
1
t
idt
C
u
0
1
Przebiegi chwilowe i
wykres wskazowy
• Prąd:
• Napięcie:
t
t
i
314
sin
1
t
t
u
314
cos
59
.
1
• Moc:
t
t
p
628
sin
795
.
0
I = 0.707e
j0
A
U
C
= 1.124e
-j90
V
Q
C
=0.795 Var
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0
5
10
15
20
25
i (t)
u(t)
p(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,5 0
0,5
1
1,5
2
2,5
I
U
=314 rd/s
Przebiegi chwilowe i
wykres wskazowy całości
• Prąd:
• Napięcie:
t
t
i
314
sin
1
30
314
sin
22
.
2
t
t
u
• Moc:
30
628
sin
11
.
1
1
t
t
p
I = 0.707e
j0
A
S=1.11e
-j30
VA
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0
5
10
15
20
25
p(t)
u(t)
i (t)
ur(t)
ul (t)
uc(t)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Ur
Ul
=314 rd/s
I
Uc
U
U = 1.569e
-j30
A
Co to jest ?
• Moc czynna
• Moc bierna
• Moc pozorna
• Moc pozorna zespolona
Wzory na moce:
• czynna:
• bierna:
• pozorna:
• pozorna zespolona:
2
RI
P
Z
UI
P
cos
2
L
L
L
I
X
Q
2
C
C
C
I
X
Q
Z
C
L
UI
Q
Q
Q
sin
UI
S
2
2
Q
P
S
*
I
U
jQ
P
S
Zadanie
Obliczyć wartość skuteczną prądu i
moc pozorną w układzie elementów
R, L, C połączonym szeregowo,
zasilanym ze źródła napięcia u(t) =
25sin(1000t+30
o
).
Narysować
wykresy wskazowe oraz przebiegi
chwilowe prądów, napięć i mocy
przyjmując: R = 2 , L = 2 mH, C = 2
mF.
Impedancja zespolona
Dwójnika szeregowego R, L,
C:
Z
j
Z
Z
C
L
Ze
j
Z
X
X
j
R
Z
sin
cos
2
2
C
L
X
X
R
Z
R
X
X
tg
arc
C
L
Z
Dzielnik napięcia
Elementów szeregowych R,
L, C:
Z
j
R
e
Z
R
Z
R
U
U
Z
j
L
L
L
e
Z
X
Z
jX
U
U
90
Z
j
C
C
C
e
Z
X
Z
jX
U
U
90
Zadanie
Obliczyć wartości skuteczne prądów i
moc pozorną w układzie elementów
R, L, C połączonym równolegle,
zasilanym ze źródła prądu i(t) =
5cos(1000t+30
o
). Narysować wykresy
wskazowe oraz przebiegi chwilowe
prądów, napięć i mocy przyjmując: R
= 2 , L = 2 mH, C = 2 mF.
Admitancja zespolona
Dwójnika równoległego R, L,
C:
Y
j
Y
Y
L
C
Ye
j
Y
B
B
j
G
Y
sin
cos
2
2
L
C
B
B
G
Y
G
B
B
tg
arc
L
C
Y
Dzielnik prądu
Elementów równoległych R,
L, C:
Y
j
R
e
Y
G
Y
G
I
I
Y
j
L
L
L
e
Y
B
Y
jB
I
I
90
Y
j
C
C
C
e
Y
B
Y
jB
I
I
90