Slajd 1

a =4, b =6

Zadanie

Wyznaczyć rozpływ prądów w obwodzie i moc dostarczaną przez

źródło.

24V

0.6

Wszystkie rezystancje w omach

Metoda zwijania sieci:

24V

0.6

2.4









24V

0.6

4 18.4

6+2.4+10=18.4

24V

0.6

3.29









24V

3.89



6.18A

24V

0.6

3.29

6.18A

=3.29·6.18=20.3V

24V

0.6

18.4

6.18A



24V

0.6

2.4

6.18A

5.08A

1.1A







24V

0.6

6.18A

5.08A

1.1A



0.66A



0.44A

dost

=24·6.18=148.3W

148

odb



























54.4V

8.4V

14A

11.5A

2.5A

1.5A

Metoda podobieństwa

=6·1=6V

25V

15V

46V

Współczynnik podobieństwa:

441



24V

3.71V 6

6.18A

5.07A

1.1A

0.66A

0.44A

2.65V

11V

6.62V

20.3V

Moc

Moc chwilowa dostarczana do obwodu jest:

p(t)=e(t)i(t)

 

  



 





























cos

sin

Średnia moc jest:

 





po wykonaniu całkowania mamy:

 





cos

Moc średnią P nazywamy mocą czynną.

Jednostką mocy czynnej jest wat [W]

Wygodnie jest przekształcić zależność:

 











cos

i wprowadzamy wartości skuteczne:



Wzór na moc czynną przyjmuje postać:

 



 cos

Moc tracona w rezystancji: p

(t)=u

(t)i(t)

Ponieważ u

(t)=Ri(t) więc p

(t)=Ri

(t)

 

































cos

sin

i średnia moc jest: P

=RI

Ze względu na fakt, że kąt fazowy między spadkiem

napięcia u

(t)=RI

sin(t+) i prądem i(t)=I

sin(t+)

jest równy 0, więc Q

Chwilowa moc tracona w indukcyjności jest

(t)=u

(t)i(t)

ponieważ u

(t)=LI

cos(t+) więc moc chwilowa jest

(t)=LI

cos(t+)I

sin (t+)

czyli

 













sin

Moc średnia jest: P

Moc czynna pobierana przez indukcyjność jest równa

zeru.

e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(t+)

Obwód RC

 





 





 





 

   

cos

sin









































 

sin

cos

sin



















Impedancja:











Oznaczamy:

sin

cos











lub







i otrzymujemy:





 

sin















Warunkiem spełnienia równania dla dowolnej
chwili czasowej jest:









Przebieg prądu i spadków napięć przedstawiono
na wykresach:

Moce chwilowe:

     

 

   

 

   



Moc czynna = moc średnia

   

 







cos

Moc czynna tracona w rezystancji:

   





Moc czynna tracona w pojemności:

   





Obwód szeregowy RLC

e(t)=E

sin(t)

i(t)

(t)

i(t)=I

sin(t+)

(t)=Ri(t)

(t)=RI

sin(t+)

 
 





 

























cos

 

   





Podstawiając mamy:









 

sin

cos

sin



































Oznaczając:













moduł impedancji obwodu.

















sin

cos

mamy:

  



  







 





 

sin

cos

sin

cos



































ostatnie równanie będzie spełnione dla dowolnej
chwili czasowej t, jeżeli:









czyli



















arctg

Pulsację 

, dla której









nazywamy pulsacją rezonansową szeregowego

obwodu RLC

Pulsację rezonansową określa zależność:





Częstotliwość rezonansowa f

obliczamy z zależności:











Korzystając z pulsacji rezonansowej przekształcamy
wyrażenie dla modułu impedancji:

























ponieważ





więc









































Wielkość:





nazywamy dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego
i podstawiając mamy:



















Uwzględniając wprowadzone oznaczenia dla fazy mamy:







































arctg

Amplituda prądu:













Amplituda spadku napięcia na rezystancji R jest:













Amplituda spadku napięcia na indukcyjności jest:























Amplituda spadku napięcia na pojemności jest:











ale z definicji:







i mamy:















Charakterystyki częstotliwościowe obwodu

Dla otrzymania wyników ogólnych przedstawimy

amplitudę prądu I=I

, gdzie I

/R oraz =/

8 10

0.25

0.5

0.75

I  1







I  10







I  100





















I(,Q=1)

I(,Q=10)

I(,Q=100)



/

Spadek napięcia na indukcyjności w postaci
bezwymiarowej będzie:















i podobnie spadek napięcia na pojemności w postaci
bezwymiarowej jest:















Pasmo 3dB

Jest to szerokość pasma pulsacji bądź częstotliwości

po przekroczeniu, którego amplituda sygnału spada

o 3dB bo .

Szerokość pasma określa zależność dla napięcia
na pojemności:

gór

dol





















i ponieważ =/

, to

gór

dol

gór

dol



















log



dol

gór

f

0.882611

1.086737

0.20413f

0.945978

1.046482

0.10052f

0.994962

100

1.004963

0.01f

0.9995f

1000

1.0005f

0.001f

Mamy dla szerokości pasma 3dB zależność:





Równoległy obwód rezonansowy

e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

e(t)-u

(t)=0 → u

(t)=e(t)=E

sin(ωt)

 
 

 















sin

cos

 









 

sin

cos

sin























e(t)=E

sin(t)

(t)

i(t)=I

sin(ωt+φ)

(t)

(t)+u

(t)=e(t)

Przyjmując: i

(t)=I

sin(ωt+)

mamy:

Przyjmując podobnie jak w obwodzie RL:









lub

 

sin

cos













gdzie

 







mamy:





 

sin















Warunkiem spełnienia równości jest:









a więc prądy są:

 











sin

 























sin

Prąd źródła i(t) jest: i(t)=i

(t)+i

(t)

czyli:

































sin





 

   

 

   

























































sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

Przekształcamy tak aby otrzymać wyrażenie jak po
stronie lewej:

Przyjmując:

 

cos

sin

















– nazywamy modułem admitancji.

Podnosząc do kwadratu i biorąc pod uwagę, że

 

sin

cos









mamy:

 

sin













 

cos

sin













czyli

 













sin

Ponieważ

 

sin

cos













więc

 























cos

Jeżeli to φ=0 i wtedy mamy:

e(t)=E

sin(ωt) oraz i(t)= E

sin(ωt)

oznacza to, że prąd i napięcie są w fazie.

Zjawisko takie nazywamy rezonansem.









Zbadajmy kiedy:

 

















Pulsacja ω=0 jest nie interesująca, więc dzieląc przez ωC
mamy

 







Wprowadzając:

 - oporność krytyczna

mamy:

 









2
kr

Powyższe równanie jest spełnione dla rzeczywistych

wartości pulsacji ω, jeżeli: lub R<R

kr.



Tak więc warunkiem aby w obwodzie równoległym
był możliwy rezonans jest:

R 

Jeżeli powyższy warunek jest spełniony, to pulsacja

rezonansowa ω

jest:

gdzie















Częstotliwość rezonansowa f

=ω

/(2π) jest:







Ze względu na fakt, że obwód składa się z dwóch

równoległych gałęzi rezonans nazywa się skrótowo

rezonansem równoległym

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

R>R

(t)

i(t)

e(t)

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t 314



(

)

iLR t 314



(

)

i t 314



(

)

e t 314



(

)

(t)

i(t)

e(t)

R=R

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.1R

ω=314.643s

-1

0 0.012

0.024

0.036

0.048

0.06

2.4

0.8

2.4

iC t r







iLR t r







i t r







e t r







(t)

i(t)

e(t)

R=0.001R

Dobroć jest zdefiniowana:





Podstawiając:











mamy:







Jeżeli R

>>R, to i ω

=ω



Document Outline