Wykład IIIB

Porównania 
wielokrotne 
średnich- przegląd 
testów

 

 

Wprowadzenie

Analiza wariancji jest testem istotności. Ma ona 

charakter „jakościowy” określając prawdopodo- 

bieństwo tego, czy wśród porównywanych 

średnich są co najmniej dwie, co do których 

mamy przynaj- mniej 95 % pewności, że 

pochodzą z populacji o różnych wartościach 

średniej prawdziwej. W przypad- ku, gdy w ANOV-

ie odrzucimy H

0

 na korzyść H

1

 nie wiemy, czy 

wśród porównywanych średnich są dwie grupy 

średnich które mają różną wartość średniej 

prawdziwej, czy też wszystkie średnie są różne. A 

może mamy do czynienia z wariantem pośrednim 

? (czyli takim który zawiera się pomiędzy dwoma 

skrajnymi wymienionymi powyżej).

 

 

Wprowadzenie

W związku z tym w sytuacji gdy 

w analizie wariancji odrzucamy H

0

 

musimy przekonać się, które z 

badanych średnich różnią się 

istotnie, a które nie, dokonując 

porównań wielokrotnych średnich 

na bazie określonych testów 

statystycznych.

 

 

Definicje

Grupą jednorodną nazywamy 

podzbiór zbioru wszystkich 

średnich obiektowych taki, w 

którym pomiędzy średnimi nie 

ma istotnych różnic. 
Również pojedyncza średnia 

stanowi grupę jednorodną, jeśli 

istotnie różni się od pozostałych.  

 

 

Rodzaje testów

W praktyce najczęściej stosowanymi 

testami są:

1. t - Studenta
2. t – Duncana
3. q –Studenta -  Newmana – Keulsa 

(q-SNK)

4. q – Tukeya

 

 

Test t-Studenta

Jeżeli bezwzględna wartość różnicy pomiędzy 
dwoma średnimi obiektowymi z próby jest większa 
od w.w. iloczynu, to jest ona różnicą istotną. W 
przypadku przeciwnym – różnica jest nieistotna. 
Dlatego omawiany iloczyn nazywamy najmniejszą 
istotną różnicą (NIR – Least Significant Difference 
– LSD)

d

S

t

NIR

e











;

 

 

Test t-Studenta

Test t-Studenta można stosować tylko do 

porównań średnich obiektowych sąsiednich tj. 

takich, które po uporządkowaniu wszystkich 

średnich są bezpośrednio obok siebie i nie są 

rozdzielone innymi średnimi. W związku z tym 

opracowane zostały testy do porównań 

wielokrotnych, które tego ograniczenia nie 

mają i mogą być wykorzystane do porównania 

na zasadzie „każdy z każdym” w obrębie 

wszystkich badanych średnich obiektowych. 

Do testów tych można zaliczyć test Duncana, 

q-SNK, Tukeya.

 

 

Zanim zaczniemy 
porównywać

Przed porównaniem wielokrotnym średnich (które 
dokonujemy bez użycia programu komputerowego) 
wszystkie średnie muszą być uporządkowane.
Porównując uzyskane wartości NIR dla różnych testów 
możemy testy te uporządkować na tej podstawie. Test 
który daje mniejsze wartości NIR określa się testem 
mniej ostrym od testu dla którego wartości te są 
wyższe i który jest określany jako test o wyższej ostrości 
NIR. Określenie te wzięło się z tego, że im wyższą 
wartość uzyskamy NIR tym trudniej jest „udowodnić”, 
że porównywane średnie obiektowe pochodzą z 
populacji, których średnie prawdziwe różnią się istotnie.

 

 

Test Duncana

x

m

S

t

NIR

e











;

;

gdzie:
t – jest odczytem z tablic testu Duncana, dla danego 
poziomu istotności i tzw. rozstępu (m) oraz liczby 
stopni dla błędu
Rozstęp „m” określa położenie średnich po 
uporządkowaniu i wynosi 2 dla średnich sąsiednich i 
zwiększa się dla średnich oddalonych od siebie o 
liczbę średnich, które je rozdzielają.
S

d

 – jest średnim błędem różnicy pomiędzy średnimi.

Wadą testu Duncana jest spadek poziomu ufności w 
raz ze wzrostem rozstępu. Wynosi on: (1-a)

m-1

 

 

Określanie rozstępu

Średnie
     A
     B
     C
     D
     E

2

2

3

5

 

 

gdzie:
q – jest odczytem z tablic testu Newmana Keulsa , 
dla danego poziomu istotności i tzw. rozstępu (m) 
oraz liczby stopni swobody dla błędu.
Rozstęp „m” określa się tak samo jak w teście 
Duncana
S

x

 – jest błędem standardowym wyliczanym z 

następującego wzoru:

Test Newmana-Keulsa (q-
SNK)

n

S

S

E

x

2



x

m

S

q

NIR

e









;

;

 

 

gdzie:
q – jest odczytem z tablic testu 
Newmana Keulsa , dla danego poziomu 
istotności i rozstępu maksymalnego tj. 
najwyższego do uzyskania wśród 
porównywanych średnich.

Test Tukeya

x

m

S

q

NIR

e













max;

;

 

 

Przykład tworzenia grup 
jednorodnych

W doświadczeniu wzonowym porównano 
wpływ 5 odmian jęczmienia(A, B, C, D, E) na 
wagę 1 rośliny (g). Wyniki średnie były 
następujące A-1,2; B-1,5; C-0,9; D-1,6; E- 1,7

m

2

3

4

5

q

 0,05

2,95

3,58

3,96

4,23

NIR

0,05

0,15

0,18

0,20

0,22

 

 

Przykład tworzenia grup 
jednorodnych

Odmian

a

Waga
(g)

E

1,7

D

1,6

B

1,5

A

1,2

C

0,9

E-C=1,7-0,9=0,8>0,22 
r.ist.
E-A=1,7-1,2=0,5>0,20 
r.ist.
E-B=1,7-1,5=0,2>0,18 
r.ist

E-D=1,7-1,6=0,1<0,15 
r.n.

D-C=1,6-0,9=0,7>0,20 
r.ist
D-A=1,6-1,2=0,4>0,18 
r. ist.

D-B=1,6-1,5=0,1<0,15  
r.n.

B-C=1,5-0,9=0,6>0,18 
r.ist.
B-A=1,5-1,2=0,3>0,15 
r.ist
A-C=1,2-0,9=0,3>0,15 
r.ist