OGÓLNE PODSTAWY
MATEMATYCZNE
POMIARÓW I OBLICZEŃ
GEODEZYJNYCH
NA MAŁYCH
OBSZARACH
OGÓLNE PODSTAWY
MATEMATYCZNE
POMIARÓW I OBLICZEŃ
GEODEZYJNYCH
NA MAŁYCH
OBSZARACH
Definicja obszaru małego
Obszarem małym (lub niedużym) z
geodezyjnego punktu widzenia
nazywamy obszar nie przekraczający 750
km
2
.
Na obszarze do 750 km
2
(o promieniu nie
większym niż 15,5 km) można wykonać
pomiary liniowe i kątowe z zaniedbaniem
wpływu zakrzywienia powierzchni
ziemskiej.
W geodezji na płaszczyźnie do
wyznaczania położenia punktów
stosujemy najczęściej układ
współrzędnych prostokątnych. Ze
względu na stosowanie w geodezji jako
kąta kierunkowego azymutu, liczonego
od kierunku północnego (dodatniego
kierunku osi x) zgodnie z ruchem
wskazówek zegara, układ współrzędnych
w geodezji różni się od układu przyjętego
w matematyce.
Obliczenie azymutu i długości linii.
Azymut
AB
obliczamy ze
wzoru:
Długość linii AB:
lub
A
B
A
B
AB
AB
AB
x
x
y
y
x
y
tg
2
2
AB
AB
AB
y
x
d
AB
AB
AB
AB
AB
x
y
d
cos
sin
Obliczenie współrzędnych punktu.
Dane: współrzędne punktu A(x
A
,y
A
), azymut linii
AB
oraz jej długość d
AB
.
Szukane: współrzędne punktu B(x
B
, y
B
).
Współrzędne obliczamy ze wzorów:
AB
AB
A
AB
A
B
d
x
x
x
x
cos
AB
AB
A
AB
A
B
d
y
y
y
y
sin
W praktyce geodezyjnej bardzo
często wyznacza się współrzędne
punktów za pomocą specjalnych
konstrukcji takich jak:
Wcięcie kątowe w przód
Wcięcie liniowe w przód
Wcięcie kątowe wstecz
Wcięcie kątowe kombinowane
Wcięcie kombinowane kątowo-
liniowe
Ciągi poligonowe zamknięte i
otwarte
Azymut linii następnej w ciągu
poligonowym, gdy znany jest azymut linii
poprzedniej i kąt zawarty między danymi liniami,
wyznaczamy na podstawie następujących wzorów:
dla kąta prawego
dla kąta lewego
Wzór na określenie azymutu końcowego
ostatniej linii w ciągu o n kątach:
dla kątów prawych
dla kątów lewych
pr
180
1
2
l
180
1
2
pr
p
k
n
180
l
p
k
n
180
Ciąg poligonowy zamknięty
Suma pomierzonych kątów
wewnętrznych wieloboku:
sumy obliczonych przyrostów
x i y:
)
2
(
180
n
w
0
x
0
y
Ciąg poligonowy otwarty
Suma pomierzonych kątów
wewnętrznych ciągu:
sumy obliczonych przyrostów
x i y:
180
)
(
n
A
A
k
p
p
l
p
k
x
x
x
p
k
y
y
y
Reguły rachunkowe
Kryłowa-Bradisa
stosuje się podczas działań na liczbach
o różnej ilości cyfr znaczących lub znaków
dziesiętnych.
cyfry znaczące – wszystkie cyfry danej
liczby oprócz zer położonych na lewo od
pierwszej różnej od zera cyfry
znaki dziesiętne – cyfry danej liczby
położone na prawo od znaku ułamkowego
cyfry znaczące
znaki dziesiętne
24,5
trzy
24,
5
jeden
0,0
245
trzy
0,
0245
cztery
0,00
20500
0
sześć
0,
00205
000
osiem
1
jedna
1
zero
10
dwie
10
zero
1,000
cztery
1,
000
trzy
1) Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb
przybliżonych w wyniku należy
zachować tyle znaków dziesiętnych, ile
ich zawiera liczba przybliżona o
najmniejszej ilości znaków dziesiętnych.
np. dodajmy liczby: 2,34 oraz 0,621
2,34
+ 0,621
2,96
1
Po zastosowaniu reguły otrzymujemy:
2,96
2) Przy mnożeniu i dzieleniu należy
w wyniku zachować tyle cyfr
znaczących, ile zawiera ich liczba
przybliżona o najmniejszej ilości cyfr
znaczących.
np. pomnóżmy liczby: 1,2 oraz 3,11
3,11
* 1,2
3,7
32
Po zastosowaniu reguły otrzymujemy:
3,7
3)
Przy podnoszeniu do kwadratu i
sześcianu należy w wyniku zachować
tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera
potęgowana liczba przybliżona, przy
czym ostatnia cyfra potęgi jest mniej
pewna od ostatniej cyfry potęgowanej
liczby.
np. podnieśmy do kwadratu liczbę 1,2
(1,2)
2
= 1,4
4
Po zastosowaniu reguły otrzymujemy:
1,4
4)Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego
i sześciennego należy w wyniku zachować
tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera liczba
pierwiastkowana, przy czym ostatnia cyfra
pierwiastka będzie pewniejsza od ostatniej
cyfry pierwiastkowanej liczby.
np. wyciągnijmy pierwiastek z liczby 9,32
= 3,05
2867504...
Po zastosowaniu reguły otrzymujemy:
3,05
32 , 9
5)Przy obliczaniu wyników pośrednich
stadiów rachunku należy brać zawsze
o jedną cyfrę więcej, niż to wskazują
wcześniejsze zasady, przy czym w
rezultacie końcowym tę zapasową
cyfrę odrzucamy. Zaleca się pisać ją
drobniejszym pismem.
np. dodajmy liczby 1,5 oraz 2,2431
1,5
+ 2,2431
3,74
31
Do dalszych obliczeń używamy liczby:
3,74 (zalecany zapis: 3,7
4
)
6) Jeżeli niektóre dane zawierają więcej znaków
dziesiętnych (w działaniach I stopnia) lub więcej cyfr
znaczących (w działaniach II i III stopnia) niż
pozostałe, to należy je przede wszystkim zaokrąglić,
zachowując przy tym jedną, zbędną według reguł
cyfrę.
np. dodajmy liczby: 0,1436 i 2,31 i 6,229188.
Po zaokrągleniu dodajemy 0,144
2,31
+ 6,229
8,68
3
Po zastosowaniu reguły otrzymujemy:
8,68 – jeśli jest to wynik ostateczny
8,683 – jeśli wynik ma być użyty do dalszych obliczeń
7) Jeżeli dane wyjściowe do rachunku
można brać z dowolną dokładnością,
to aby otrzymać wynik o k cyfrach
należy brać dane z taką ilością cyfr,
która zgodnie z regułami 1-4 daje
(k+1) cyfr wyniku.
8) Przy obliczaniu logarytmicznym
jednomianu należy używać tablic
zawierających o jedną cyfrę więcej od
ilości cyfr znaczących, zawartych w
tym czynniku, który zawiera najmniej
cyfr. W wyniku końcowym odrzucamy
wówczas ostatnią cyfrę znaczącą.