NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

Układ konstrukcyjny jest zbiorem elementów
wzajemnie ze sobą połączonych.

Awaria jednego z elementów układu
nie oznacza awarii całego układu.

(Awaria elementu będzie teraz oznaczać
przekroczenie jego stanu granicznego nośności.)

 

 

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW

NIEZAWODNOŚĆ UKŁADÓW



Rodzaje elementów:

- elementy idealnie kruche
- elementy idealnie ciągliwe



Rodzaje układów:

- układy szeregowe
- układy równoległe
- układy mieszane



Korelacja między elementami:

- elementy nieskorelowane
- elementy częściowo skorelowane
- elementy całkowicie skorelowane

 

 

Elementy kruche i ciągliwe 

Elementy kruche i ciągliwe 

Element kruchy

Element kruchy

 (doskonale kruchy)

- po przekroczeniu stanu granicznego nośności (w wyniku awarii)

traci zdolność przenoszenia obciążenia

Element ciągliwy

Element ciągliwy

 (doskonale ciągliwy)

- po przekroczeniu stanu granicznego nośności (w wyniku awarii)

zachowuje zdolność przenoszenia obciążenia 

n

a

p

rę

że

n

ia

odksztalcenia

zerwanie

n

a

p

rę

że

n

ia

odkształcenia

element kruchy

element ciągliwy

 

 

Układy szeregowe i równoległe 

Układy szeregowe i równoległe 

Układ szeregowy

Układ szeregowy

 (układ najsłabszego ogniwa)

- ulegnie awarii, gdy jeden z jego elementów ulegnie awarii

Układ równoległy

Układ równoległy

- ulegnie awarii, gdy wszystkie jego elementy ulegną awarii 

przekrój

poprzeczny

przykład
układu
szeregowego

przykład
układu
równoległego

 

 

Oznaczenia:

Oznaczenia:

układ szeregowy:

układ równoległy:

układ mieszany:

1

2

3

1

2

n

1 2

n

 

 

Przykłady

Przykłady

P

P

P

P

P

układy szeregowe

 

 

Przykłady

Przykłady

układy równoległe

P

P

 

 

Przykłady

Przykłady

P

P

P

układy mieszane

P

P

P

2 kształtowniki

 

 

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, nieskorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, nieskorelowanych

Prawdopodobieństwo awarii układu:











 













 



































 





















































n

1

i

f

f

f

f

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

f

i

n

2

1

P

-

1

-

1

P

-

1

P

-

1

P

-

1

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

-

1

q

R

P

q

R

P

q

R

P

-

1

q

R

q

R

q

R

P

-

1

q

R

P

-

1

q

R

P

P









n – liczba elementów
R

i

 – nośność i-tego elementu, zmienna losowa

R – nośność układu, zmienna losowa
q – obciążenie układu, wartość stała
q

i

 – obciążenie w i-tym elemencie, wartość stała

Awarie

elementów

- niezależne

zdarzenia

 losowe

1

2

n

 

 









n

n

n

1

i

f

f

0,95

1

0,05

1

1

P

1

1

P

i





















Przykład 1

Przykład 1

Układ szeregowy jest „mniej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

   n            P

f

         = -

-1

(P

f

)

----------------------------------------
   1

0,050

1,64

   2

0,098

1,29

   3

0,142

1,07

   5

0,227

0,75

 10

0,401

0,25

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ szeregowy n elementów 
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów 
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

 

 

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 1 cd.

Przykład 1 cd.

Układ szeregowy jest „mniej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

n

n

P

f układu

 

układu

 

 

Prawdopodobieństwo awarii układu:







 













 













































n

1

i

f

f

f

f

n

n

2

2

1

1

n

n

2

2

1

1

f

i

n

2

1

P

P

P

P

q

R

P

q

R

P

q

R

P

q

R

q

R

q

R

P

q

R

P

P







Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych

elementów ciągliwych, nieskorelowanych

Awarie

elementów

- niezależne

zdarzenia

 losowe

1 2

n

n – liczba elementów
R

i

 – nośność i-tego elementu, zmienna losowa

R – nośność układu, zmienna losowa
q – obciążenie układu, wartość stała
q

i

 – obciążenie w i-tym elemencie, wartość stała

 

 

Przykład 2

Przykład 2

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ równoległy n elementów 
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów 
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

 





n

n

f

n

1

i

f

f

0,05

P

P

P

i

i











   n                P

f              

 = -

-1

(P

f

)     

         
----------------------------------------------
   1

5,00010

-2

1,64

   2

2,50010

-3

2,81

   3

1,25010

-4

3,66

   5

3,12510

-7

4,98

 10

9,76610

-14

7,35

 

 

0.0

2.5

5.0

7.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 2 cd.

Przykład 2 cd.

n

 

układu

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

n

P

f układu

 

 

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

Nośność układu jest sumą nośności poszczególnych elementów:







n

1

i

i

R

R

wtedy:











n

1

i

R

R

i











n

1

i

2

R

R

i

gdzie:

n – liczba elementów
R – nośność układu, zmienna losowa
R

i

 – nośność i-tego elementu, zmienna losowa



Ri

 – wartość średnia nośności i-tego elementu



Ri

 – odchylenie standardowe i-tego elementu

 

 

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

Jeżeli nośności elementów R

i

 mają jednakowe rozkłady:

wtedy:

i

i

R

n

1

i

R

R

n













i

i

i

R

2

R

n

1

i

2

R

R

n

n



















i

i

i

R

R

R

R

R

R

V

n

1

n

n

V















2
Q

2

R

2

R

Q

R

V

















 

 

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

elementów ciągliwych, nieskorelowanych – przypadek szczególny

• Jeżeli obciążenie układu q jest sumą obciążeń poszczególnych 

elementów q

i

q

i

 – stałe (wielkości deterministyczne)

• Poszczególne elementy mają jednakowe wskaźniki niezawodności 



i

 

dla elementu:

i

i

i

i

i

i

R

i

R

2
Q

2

R

Q

R

i

q

























dla układu:

i

R

i

R

R

i

R

R

R

2
Q

2

R

Q

R

n

q

n

n

nq

n

q

i

i

i

i

























































i

n





i

n

1

i

i

nq

q

q









 

 

Przykład 3

Przykład 3

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

05

,

0

P

i

f



Dany jest układ równoległy n elementów 
nieskorelowanych.
Prawdopodobieństwo awarii każdego z elementów 
wynosi Obliczyć prawdopodobieństwo awarii układu P

f

.

i







n

   n                        P

f

 =(-)         

     
----------------------------------------------
   1

 1,64         5,00010

-2

   2

 2,33        1,00010

-2

   3

 2,85        2,19310

-3

   5

 3,68        1,17510

-4

 10

 5,20        9,88510

-8

 

 

0.0

2.5

5.0

7.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Przykład 3 cd.

Przykład 3 cd.

n

 

układu

Układ równoległy jest „bardziej niezawodny” niż każdy z jego 

elementów.

n

P

f układu

przypadek szczególny

przypadek szczególny

 

 

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

n

P

f

n





e

 = 1,00



e

 = 0,75



e

 = 0,50



e

 = 0,25



e

 = 0,00



e

 = 1,00



e

 = 0,75



e

 = 0,00



e

 = 3,00     P

e

 = 1,3510

-3

 

 

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

9.000

10.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

P

f



e

 = 1,00



e

 = 0,75



e

 = 0,50



e

 = 0,00



e

 = 3,00     P

e

 = 1,3510

-3





e

 = 0,50



e

 = 0,25



e

 = 1,00



e

 = 0,75



e

 = 0,00

n

 

 

Układ szeregowy

Układ szeregowy

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych lub kruchych, częściowo skorelowanych

 













n

1

i

f

f

f

i

i

i

P

-

1

-

1

P

P

max

Prawdopodobieństwo awarii

układu szeregowego

elementów całkowicie skorelowanych

( 

ij

 = 1 ) 

Prawdopodobieństwo awarii

układu szeregowego

elementów nieskorelowanych

( 

ij 

= 0 ) 

1

2

n

 

 

Układ równoległy

Układ równoległy

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

elementów ciągliwych, częściowo skorelowanych

 

i

i

f

i

f

n

1

i

f

P

P

P

min









Prawdopodobieństwo awarii

układu równoległego

elementów nieskorelowanych

( 

ij 

= 0 ) 

Prawdopodobieństwo awarii

układu równoległego

elementów całkowicie skorelowanych

( 

ij

 = 1 ) 

1 2

n

 

 

układ

korelacja

opis

szeregowy

 = 0

niezawodność układu < niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

równoległy

 = 0

niezawodność układu > niezawodność elementu

 = 1

niezawodność układu = niezawodność elementu

UKŁAD SZEREGOWY     UKŁAD RÓWNOLEGŁY

nieskorelowany   całkowicie skorelowany   nieskorelowany

niezawodność

układu

niezawodność

elementu