Obliczenia dla a=8, b=6
8Ω
A
W
V
E
m
=325V
f=50Hz
6mH
Obliczyć wskazania przyrządów przyjmując, że są to przyrządy
idealne.
I
Wartość skuteczna SEM:
230V
E
2
E
E
m
jest to jednocześnie wskazanie woltomierza V.
Wskazanie amperomierza:
A
28
006
.
0
314
8
230
I
L
R
E
I
2
2
2
2
Wskazania watomierza:
cos
EI
P
2
2
L
R
R
cos
ale
czyli
kW
27
,
6
W
6272
P
28
8
P
RI
L
R
EIR
P
2
2
2
2
Przykład
L
1
=0.5mH
~ 230V, 50Hz
0.1Ω
500μF
2Ω
L
2
=20mH
1. Obliczamy reaktancje w obwodzie dla amplitud zespolonych
ω=2πf ω=314 s
-1
157
.
0
10
5
.
0
314
X
3
L
1
28
.
6
10
20
314
X
3
L
2
37
.
6
10
500
314
1
X
6
C
Obwód dla amplitud zespolonych
230V
0.1
j0.157
2
j6.28
-j6.37
lub
220V
0.1+j0.157
-j6.37
2+j6.28
I
I
C
I
L
I
I
C
I
L
Jeden węzeł
niezależny w-1=1,
a więc z I prawa
Kirchhoffa:
3 niewiadome
prądy
g=3
I
L
+I
C
=I
U
U
C
U
L
o=g-w+1=2
dwa równania
II prawo Kirchhoffa:
1
U
C
+U=E
oczko 1:
2
oczko 2: U
C
-U
L
=0
Związki między amplitudami zespolonymi prądów i spadków
napięć dostarczają następnych 3 równań:
U=(0.1+j0.157)I
U
C
=-j6.37I
C
U
L
=(2+j6.28)I
L
Podstawiając mamy:
L
C
C
L
C
I
28
.
6
j
2
I
37
.
6
j
230
I
37
.
6
j
I
157
.
0
j
1
.
0
I
I
I
Z I równania podstawiamy:
L
C
L
C
I
28
.
6
j
2
I
37
.
6
j
230
I
157
.
0
j
1
.
0
I
37
.
6
j
157
.
0
j
1
.
0
mamy:
L
C
L
C
I
37
.
6
j
28
.
6
j
2
I
230
I
157
.
0
j
1
.
0
I
21
.
6
j
1
.
0
Operację mnożenia i dzielenia liczb zespolonych najwygodniej
wykonać przechodząc do postaci wykładniczej
-j6.37=6.37e
j270
33
.
72
j
2
2
e
59
.
6
2
28
.
6
jarctg
exp
28
.
6
2
28
.
6
j
2
L
67
.
197
j
C
I
e
03
.
1
I
lub jeżeli chcemy ściśle stosować regułę 0≤φ<360, to 360-197.67
i mamy
L
33
.
162
j
C
I
e
03
.
1
I
Przechodząc do postaci wykładniczej: 0.1-j6.21=6.21e
j270.92
i podstawiając
mamy:
redukując kąt 433,55
0
do zakresu 0≤φ<360
0
mamy:
230
I
157
.
0
j
1
.
0
I
e
4
.
6
L
L
25
.
73
j
Sumując mamy:
230
I
157
.
0
j
1
.
0
I
e
4
.
6
L
L
25
.
433
j
230
I
157
.
0
j
1
.
0
e
4
.
6
L
25
.
73
j
Dla wykonania dodawania lub odejmowania liczb zespolonych
muszą one być w postaci algebraicznej
czyli:
13
.
6
j
84
.
1
25
.
73
sin
j
25
.
73
cos
4
.
6
e
4
.
6
25
.
73
j
i otrzymujemy:
230
I
29
.
6
j
94
.
1
L
L
33
.
162
j
C
I
e
03
.
1
I
i ostatecznie:
86
.
72
j
L
86
.
72
j
L
e
95
.
34
I
e
58
.
6
230
I
220V
A
A
C
A
L
Amperomierz A
L.
wskaże 35 A
53
.
270
j
C
L
67
.
197
j
C
e
36
I
I
e
03
.
1
I
Amperomierz A
C.
wskaże 36 A
78
.
13
j
86
.
72
j
53
.
270
j
L
C
e
9
.
10
I
6
.
2
j
6
.
10
4
.
33
j
3
.
10
36
j
333
.
0
e
95
.
34
e
36
I
I
I
Amperomierz A
wskaże 10.9 A
220V
V
V
C
U
A
B
U
AB
28
.
75
j
78
.
13
j
5
.
57
j
e
03
.
2
U
e
9
.
10
e
186
.
0
I
157
.
0
j
1
.
0
U
Voltomierz V wskaże: 2.03 V
53
.
0
j
53
.
360
j
AB
53
.
270
j
90
j
L
C
AB
e
3
.
229
e
3
.
229
U
e
36
e
37
.
6
I
28
.
6
j
2
I
37
.
6
j
U
Voltomierz V
C
wskaże: 229.3 V
Moc w metodzie amplitud zespolonych obliczamy z zależności:
I
U
S
gdzie I
*
- sprzężona amplituda zespolona prądu,
U – amplituda zespolona spadku napięcia,
S = P+jQ – zespolona mocy pozorna,
P – moc czynna,
Q – moc bierna.
Zespolona moc pozorna dostarczana przez źródło:
78
.
13
j
dost
78
.
13
j
dost
e
2507
S
e
9
.
10
230
I
E
S
Moc pozorna S
dost
=2.5kVA, moc czynna P
dost
=2.43kW
i moc bierna Q
dost
=-0.597kVAr
I
I
C
I
L
U
U
AB
S
S
C
S
L
7636
j
2433
e
8014
e
95
.
34
e
3
.
229
I
U
S
8255
j
e
8255
e
36
e
3
.
229
I
U
S
4
.
19
j
5
.
10
e
1
.
22
e
9
.
10
e
03
.
2
I
U
S
33
.
72
j
86
.
72
j
53
.
0
j
L
AB
L
270
j
53
.
270
j
53
.
0
j
C
AB
C
5
.
61
j
78
.
13
j
28
.
75
j
Moc czynna pobrana przez obwód P
pob
=10.5+2433=2.44kW
Moc bierna pobrana przez obwód Q
pob
=19.4-8255+7636=-0.6kVAr
Moc pozorna pobrana przez obwód
kVA
5
.
2
Q
P
S
2
pob
2
pob
pob
Moc pozorna S
dost
=2.5kVA, moc czynna P
dost
=2.43kW
i moc bierna Q
dost
=-0.597kVAr
230V
0.1
j0.157
2
j6.28
-j6.37
I
I
C
I
L
Przedstawienie graficzne na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
Kreślenie rozpoczynamy zakładając, że prąd I
L
jest dany
A
B
U
AB
U
Re
Im
I
L
2I
L
j6.28I
L
U
AB
B
A
I
C
=jU
AB
/6.37
I
0.1I
j0.157I
U
E
Szeregowe połączenie impedancji
I
B
A
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Impedancja zastępcza Z
AB
:
4
3
2
1
AB
Z
Z
Z
Z
Z
Ogólnie dla K szeregowo połączonych impedancji mamy:
K
i
1
i
i
zast
Z
Z
Obliczanie impedancji zastępczej dla połączenia szeregowego
obliczamy mając wszystkie impedancje w postaci algebraicznej
Z
i
= R
i
+jX
i
U
AB
Równoległe połączenie impedancji
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
A
B
U
AB
I
Zastępcza impedancja Z
AB
jest:
5
4
3
2
1
AB
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Z
1
Ogólnie jeżeli mamy K impedancji połączonych równolegle, to:
K
i
1
i
i
zast
Z
1
Z
1
W przypadku równoległego połączenia impedancji wygodnym
jest wprowadzenie admitancji Y, którą definiujemy:
Z
1
Y
Znając impedancję w postaci algebraicznej Z=R+jX można
obliczyć admitancję Y=G+jB bez zamiany na postać wykładniczą
korzystając z zależności:
2
2
2
X
R
jX
R
Z
Z
Z
1
Y
Część rzeczywistą admitancji G nazywamy przewodnością
2
2
X
R
R
G
a część urojoną B nazywamy susceptancją:
2
2
X
R
X
B
Dla obliczenia zastępczej admitancji w połączeniu równoległym
K admitancji mamy zależność:
K
i
1
i
i
zast
Y
Y
a impedancję zastępczą obliczamy z zależności:
2
2
2
zast
zast
zast
zast
B
G
jB
G
Y
Y
Y
1
Z
Zastosowanie metody upraszczania sieci do obliczania
obwodu prądu zmiennego
Dany jest obwód:
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
E=230V
Z
1
=0.1+j0.2
Z
2
=10-j30
Z
3
=5+j10
Z
4
=12-j15
Z
5
=10-j10
Z
6
=20+j10
a
b
c
d
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
bc
a
b
c
d
Dla obliczenia impedancji Z
bc
zastępującej równolegle połączone
impedancje Z
5
i Z
6
obliczamy:
03
.
0
j
09
.
0
02
.
0
j
04
.
0
05
.
0
j
05
.
0
Y
02
.
0
j
04
.
0
100
400
10
j
20
10
j
20
1
Z
1
Y
05
.
0
j
05
.
0
100
100
10
j
10
10
j
10
1
Z
1
Y
bc
6
6
5
5
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
bc
a
b
c
d
33
.
3
j
10
10
9
81
03
.
0
j
09
.
0
03
.
0
j
09
.
0
1
Y
1
Z
4
bc
bc
Szeregowe połączenie impedancji , i
Z
3
Z
4
Z
bc
zastępujemy impedancją :
Z
ad
33
.
8
j
27
Z
15
j
12
33
.
3
j
10
10
j
5
Z
Z
Z
Z
Z
ad
ad
4
bc
3
ad
E
Z
1
Z
2
Z
ad
a
d
otrzymujemy obwód:
Obliczamy zastępczą impedancję Z
0
dla równoległego połączenia
Z
2
i Z
ad
i mamy:
0404
.
0
j
0438
.
0
Y
Y
Y
0104
.
0
j
0338
.
0
4
.
69
729
33
.
8
j
27
33
.
8
j
27
1
Z
1
Y
03
.
0
j
01
.
0
900
100
30
j
10
30
j
10
1
Z
1
Y
ad
2
0
ad
ad
2
2
38
.
11
j
34
.
12
Z
10
32
.
16
18
.
19
0404
.
0
j
0438
.
0
0404
.
0
j
0438
.
0
1
Y
1
Z
0
4
0
0
i obwód jest
E
Z
0
a
d
Z
1
Zastępcza impedancja obwodu Z
c
jest:
18
.
11
j
44
.
12
Z
38
.
11
j
34
.
12
2
.
0
j
1
.
0
Z
Z
Z
c
0
1
c
230
Z
c
gdzie Z
c
=16.73e
j318.05
I
a prąd I jest:
05
.
318
j
05
.
318
j
e
75
.
13
e
73
.
16
230
I
Moc pozorna dostarczana do obwodu jest:
S=EI
*
=230·13.75e
j318.05
=3162.5e
j318.05
=2352-j2094
S
ź
=3.16kVA, P
ź
=2.35kW, Q
ź
=-2.09kVAr
Dla obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach wykonujemy
obliczenia wracając przez kolejne etapy:
E
Z
0
a
d
Z
1
I
U
da
=Z
0
I=16.79e
j317.32
·13.75e
-j318.05
U
da
=230.9e
-j0.73
Z
0
=12.34-j11.38=16.79e
j317.32
E
Z
1
Z
2
Z
ad
a
d
I
U
da
I
2
I
ad
Z
2
=10-j30=31.62e
j288.43
Z
ad
=27-j8.33=28.26e
j342.85
16
.
289
j
43
.
288
j
73
.
0
j
2
da
2
e
3
.
7
e
62
.
31
e
9
.
230
Z
U
I
85
.
343
j
85
.
342
j
73
.
0
j
ad
da
ad
e
17
.
8
e
26
.
28
e
9
.
230
Z
U
I
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
bc
a
b
c
d
Z
4
I
I
2
I
3
=I
ad
I
4
=I
ad
U
cb
=Z
bc
I
ad
Z
bc
=10-j3.33=10.26e
j341.58
U
cb
=10.26e
j341.58
·8.17e
-j343.85
U
cb
=83.82e
-j2.27
I
3
=I
4
=8.17e
-j343.85
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
a
b
c
d
I
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
U
cb
Z
5
=10-j10=14.14e
j315
Z
6
=20+j10=22.36e
j26.57
27
.
317
j
5
315
j
27
.
2
j
5
cb
5
e
93
.
5
I
e
14
.
14
e
82
.
83
Z
U
I
84
.
28
j
5
57
.
26
j
27
.
2
j
6
cb
6
e
75
.
3
I
e
36
.
22
e
82
.
83
Z
U
I
Moce pobierane przez odbiorniki
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
a
b
c
d
I
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
U
cb
U
1
U
2
U
3
U
4
S
1
=U
1
I
*
=I·Z
1
·I
*
=Z
1
I
2
=(0.1+j0.2)·(13.75)
2
=18.9+j37.8
141
j
281
75
.
3
10
j
20
I
Z
I
I
Z
I
U
S
352
j
352
93
.
5
10
j
10
I
Z
I
I
Z
I
U
S
1001
j
801
17
.
8
15
j
12
I
Z
I
I
Z
I
U
S
5
.
667
j
7
.
333
17
.
8
10
j
5
I
Z
I
I
Z
I
U
S
1599
j
9
.
532
3
.
7
30
j
10
I
Z
I
I
Z
I
U
S
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
5
5
5
5
5
5
5
5
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Całkowita moc pobrana:
S
pob
=2320-j2105
S
pob
=3.13kVA, P
pob
=2.32kW, Q
pob
=-2.1kVAr
Moc dostarczona:
S
ź
=3.16kVA, P
ź
=2.35kW, Q
ź
=-2.09kVAr
Zadanie
Odbiornik o danych znamionowych: U
n
=230V, S
n
=1.5kVA, cosφ
n
=0.3
podłączono przewodem o długości 500m do sieci o napięciu 240V.
Rezystancja jednostkowa zastosowanego przewodu wynosi
9Ω/km, a indukcyjność jednostkowa 0.25mH/km.
Wyznaczyć napięcie na odbiorniku i moc pobieraną.
Przyjmujemy schemat zastępczy odbiornika w postaci:
R
odb
L
odb
I
n
Znając moc i napięcie znamionowe odbiornika wyznaczamy
prąd znamionowy z zależności:
U
n
n
n
n
U
S
I
A
52
.
6
I
230
1500
I
n
n
Znając prąd i napięcie znamionowe wyznaczamy moduł
impedancji odbiornika Z
odb
:
n
n
odb
I
U
Z
3
.
35
Z
52
.
6
230
Z
odb
odb
Z
odb
=R
odb
+jX
odb
co możemy przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:
Re
Im
R
odb
=Z
odb
cosφ
n
X
odb
=Z
odb
sinφ
n
Z
od
b
φ
n
R
odb
=35.3·0.3=10.6Ω,
7
.
33
3
.
0
1
3
.
35
X
2
odb
Obliczamy rezystancję i reaktancję przewodu zasilającego:
R
p
=0.5·9=4.5Ω, X
p
=314(0.5·0.25·10
-3
)=0.0393Ω
Mamy schemat zastępczy naszego układu:
U
zas
Z
p
=R
p
+jX
p
Z
odb
=R
odb
+jX
odb
I
89
.
65
j
89
.
65
j
odb
p
zas
e
49
.
6
I
e
96
.
36
240
74
.
33
j
1
.
15
240
7
.
33
j
6
.
10
04
.
0
j
5
.
4
240
I
Z
Z
U
I
U
odb
U
odb
=Z
odb
·I
Amplituda zespolona napięcia na odbiorniku jest:
U
odb
=(10.6+j33.7)·6.49e
-j65.89
=35.3·6.49e
j(72.54-65.89)
U
odb
=229e
j6.65
Napięcie na odbiorniku wynosi 229V
Moc pobierana przez odbiornik jest:
S
odb
=U
odb
I
*
=229·6.49e
j(6.65+65.89)
S
odb
=1486e
j72.54
Moc pozorna S
odb
=1.49kVA, moc czynna P
odb
=447W,
moc bierna Q
odb
=1.42kVAr
Zastosowanie metody upraszczania sieci do obliczania
obwodu prądu zmiennego
Dany jest obwód:
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
E=230V
Z
1
=0.1+j0.2
Z
2
=10-j30
Z
3
=5+j10
Z
4
=12-j15
Z
5
=10-j10
Z
6
=20+j10
a
b
c
d
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
bc
a
b
c
d
Dla obliczenia impedancji Z
bc
zastępującej równolegle połączone
impedancje Z
5
i Z
6
obliczamy:
03
.
0
j
09
.
0
02
.
0
j
04
.
0
05
.
0
j
05
.
0
Y
02
.
0
j
04
.
0
100
400
10
j
20
10
j
20
1
Z
1
Y
05
.
0
j
05
.
0
100
100
10
j
10
10
j
10
1
Z
1
Y
bc
6
6
5
5
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
bc
a
b
c
d
33
.
3
j
10
10
9
81
03
.
0
j
09
.
0
03
.
0
j
09
.
0
1
Y
1
Z
4
bc
bc
Szeregowe połączenie impedancji , i
Z
3
Z
4
Z
bc
zastępujemy impedancją :
Z
ad
33
.
8
j
27
Z
15
j
12
33
.
3
j
10
10
j
5
Z
Z
Z
Z
Z
ad
ad
4
bc
3
ad
E
Z
1
Z
2
Z
ad
a
d
otrzymujemy obwód:
Obliczamy zastępczą impedancję Z
0
dla równoległego połączenia
Z
2
i Z
ad
i mamy:
0404
.
0
j
0438
.
0
Y
Y
Y
0104
.
0
j
0338
.
0
4
.
69
729
33
.
8
j
27
33
.
8
j
27
1
Z
1
Y
03
.
0
j
01
.
0
900
100
30
j
10
30
j
10
1
Z
1
Y
ad
2
0
ad
ad
2
2
38
.
11
j
34
.
12
Z
10
32
.
16
18
.
19
0404
.
0
j
0438
.
0
0404
.
0
j
0438
.
0
1
Y
1
Z
0
4
0
0
i obwód jest
E
Z
0
a
d
Z
1
Zastępcza impedancja obwodu Z
c
jest:
18
.
11
j
44
.
12
Z
38
.
11
j
34
.
12
2
.
0
j
1
.
0
Z
Z
Z
c
0
1
c
230
Z
c
gdzie Z
c
=16.73e
j318.05
I
a prąd I jest:
05
.
318
j
05
.
318
j
e
75
.
13
e
73
.
16
230
I
Moc pozorna dostarczana do obwodu jest:
S=EI
*
=230·13.75e
j318.05
=3162.5e
j318.05
=2352-j2094
S
ź
=3.16kVA, P
ź
=2.35kW, Q
ź
=-2.09kVAr
Dla obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach wykonujemy
obliczenia wracając przez kolejne etapy:
E
Z
0
a
d
Z
1
I
U
da
=Z
0
I=16.79e
j317.32
·13.75e
-j318.05
U
da
=230.9e
-j0.73
Z
0
=12.34-j11.38=16.79e
j317.32
E
Z
1
Z
2
Z
ad
a
d
I
U
da
I
2
I
ad
Z
2
=10-j30=31.62e
j288.43
Z
ad
=27-j8.33=28.26e
j342.85
16
.
289
j
43
.
288
j
73
.
0
j
2
da
2
e
3
.
7
e
62
.
31
e
9
.
230
Z
U
I
85
.
343
j
85
.
342
j
73
.
0
j
ad
da
ad
e
17
.
8
e
26
.
28
e
9
.
230
Z
U
I
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
bc
a
b
c
d
Z
4
I
I
2
I
3
=I
ad
I
4
=I
ad
U
cb
=Z
bc
I
ad
Z
bc
=10-j3.33=10.26e
j341.58
U
cb
=10.26e
j341.58
·8.17e
-j343.85
U
cb
=83.82e
-j2.27
I
3
=I
4
=8.17e
-j343.85
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
a
b
c
d
I
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
U
cb
Z
5
=10-j10=14.14e
j315
Z
6
=20+j10=22.36e
j26.57
27
.
317
j
5
315
j
27
.
2
j
5
cb
5
e
93
.
5
I
e
14
.
14
e
82
.
83
Z
U
I
84
.
28
j
5
57
.
26
j
27
.
2
j
6
cb
6
e
75
.
3
I
e
36
.
22
e
82
.
83
Z
U
I
Moce pobierane przez odbiorniki
E
Z
1
Z
2
Z
3
Z
4
Z
5
Z
6
a
b
c
d
I
I
2
I
3
I
4
I
5
I
6
U
cb
U
1
U
2
U
3
U
4
S
1
=U
1
I
*
=I·Z
1
·I
*
=Z
1
I
2
=(0.1+j0.2)·(13.75)
2
=18.9+j37.8
141
j
281
75
.
3
10
j
20
I
Z
I
I
Z
I
U
S
352
j
352
93
.
5
10
j
10
I
Z
I
I
Z
I
U
S
1001
j
801
17
.
8
15
j
12
I
Z
I
I
Z
I
U
S
5
.
667
j
7
.
333
17
.
8
10
j
5
I
Z
I
I
Z
I
U
S
1599
j
9
.
532
3
.
7
30
j
10
I
Z
I
I
Z
I
U
S
2
2
6
6
6
6
6
6
6
6
2
2
5
5
5
5
5
5
5
5
2
2
4
4
4
4
4
4
4
4
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Całkowita moc pobrana:
S
pob
=2320-j2105
S
pob
=3.13kVA, P
pob
=2.32kW, Q
pob
=-2.1kVAr
Moc dostarczona:
S
ź
=3.16kVA, P
ź
=2.35kW, Q
ź
=-2.09kVAr
Zadanie
Odbiornik o danych znamionowych: U
n
=230V, S
n
=1.5kVA, cosφ
n
=0.3
podłączono przewodem o długości 500m do sieci o napięciu 240V.
Rezystancja jednostkowa zastosowanego przewodu wynosi
9Ω/km, a indukcyjność jednostkowa 0.25mH/km.
Wyznaczyć napięcie na odbiorniku i moc pobieraną.
Przyjmujemy schemat zastępczy odbiornika w postaci:
R
odb
L
odb
I
n
Znając moc i napięcie znamionowe odbiornika wyznaczamy
prąd znamionowy z zależności:
U
n
n
n
n
U
S
I
A
52
.
6
I
230
1500
I
n
n
Znając prąd i napięcie znamionowe wyznaczamy moduł
impedancji odbiornika Z
odb
:
n
n
odb
I
U
Z
3
.
35
Z
52
.
6
230
Z
odb
odb
Z
odb
=R
odb
+jX
odb
co możemy przedstawić na płaszczyźnie zmiennej zespolonej:
Re
Im
R
odb
=Z
odb
cosφ
n
X
odb
=Z
odb
sinφ
n
Z
od
b
φ
n
R
odb
=35.3·0.3=10.6Ω,
7
.
33
3
.
0
1
3
.
35
X
2
odb
Obliczamy rezystancję i reaktancję przewodu zasilającego:
R
p
=0.5·9=4.5Ω, X
p
=314(0.5·0.25·10
-3
)=0.0393Ω
Mamy schemat zastępczy naszego układu:
U
zas
Z
p
=R
p
+jX
p
Z
odb
=R
odb
+jX
odb
I
89
.
65
j
89
.
65
j
odb
p
zas
e
49
.
6
I
e
96
.
36
240
74
.
33
j
1
.
15
240
7
.
33
j
6
.
10
04
.
0
j
5
.
4
240
I
Z
Z
U
I
U
odb
U
odb
=Z
odb
·I
Amplituda zespolona napięcia na odbiorniku jest:
U
odb
=(10.6+j33.7)·6.49e
-j65.89
=35.3·6.49e
j(72.54-65.89)
U
odb
=229e
j6.65
Napięcie na odbiorniku wynosi 229V
Moc pobierana przez odbiornik jest:
S
odb
=U
odb
I
*
=229·6.49e
j(6.65+65.89)
S
odb
=1486e
j72.54
Moc pozorna S
odb
=1.49kVA, moc czynna P
odb
=447W,
moc bierna Q
odb
=1.42kVAr
Prąd trójfazowy
Zasada wytwarzania
Przebieg SEM generatora w czasie:
o
m
T
o
m
S
m
R
240
t
sin
E
t
e
120
t
sin
E
t
e
t
sin
E
t
e
Jest to układ trójfazowy symetryczny
W każdej chwili zachodzi:
e
R
(t)+ e
S
(t)+ e
T
(t)=Esin(ωt)+Esin(ωt-120
o
)+Esin(ωt-240
o
)=
= Esin(ωt)+ Esin(ωt)cos(120
o
)- Ecos(ωt)sin(120
o
)+
+Esin(ωt)cos(240
o
)-Ecos(ωt)sin(240
o
)
sin(30
0
)=0.5, cos(30
0
)=3
5
.
0
i mamy: e
R
(t)+ e
S
(t)+ e
T
(t)= Esin(ωt)-0.5 Esin(ωt)+
- Ecos(ωt)-0.5 Esin(ωt)+ Ecos(ωt)=0
3
5
.
0
3
5
.
0
czyli dla dowolnej chwili czasowej mamy:
e
R
(t)+ e
S
(t)+ e
T
(t)=0
Po obciążeniu każdej fazy impedancją odpowiednio:
R – Z
R
, S – Z
S
, T – Z
T
i jeżeli impedancje poszczególnych faz są jednakowe, czyli:
Z
R
=Z
S
=Z
T
=Z
to w poszczególnych fazach popłyną prądy o jednakowych
amplitudach I
m
opisane zależnością:
o
m
T
o
m
S
m
R
240
t
sin
I
t
i
120
t
sin
I
t
i
t
sin
I
t
i
Jeżeli obciążenie we wszystkich fazach jest jednakowe, to mówimy
o obciążeniu symetrycznym.
Jeżeli napięcia zasilające są symetryczne i obciążenia są
symetryczne, to taki układ nazywamy układem trójfazowym
symetrycznym.
W układzie trójfazowym symetrycznym wystarczy wykonać
obliczenia dla jednej fazy R. Prądy i napięcia w pozostałych
dwóch fazach mają identyczne amplitudy i przesunięcia fazowe,
jak w fazie pierwszej, a jedynie należy je dodatkowo przesunąć
o 120
0
i 240
0
odpowiednio dla fazy S i T.
Układy trójfazowe skojarzone
U
R
U
S
U
T
U
R
, U
S
, U
T
– napięcia fazowe
U
RS
U
ST
U
TR
U
R
= U
S
= U
R
=U
f
Skojarzenie w gwiazdę
U
RS
, U
ST
, U
RT
– napięcia przewodowe lub międzyprzewodowe
W układzie symetrycznym: U
RS
=U
ST
=U
TR
=U lub U
p
U
S
+U
RS
-U
R
=0 czyli U
RS
=U
R
-U
S
i mamy z trójkąta:
f
f
f
p
U
3
U
3
5
.
0
U
3
5
.
0
U
Jeżeli U
f
=230V,
to U
p
=398V≈400V
Skojarzenie w trójkąt
U
RS
U
ST
U
TR
I
R
I
S
I
T
I
SR
I
TS
I
RT
I
R
+I
RT
-I
SR
=0
I
R
=I
SR
-I
RT
I
R
+I
RT
-I
SR
=0
I
R
=I
SR
-I
RT
30
0
I
R
I
SR
-I
RT
W układzie symetrycznym
amplitudy prądów przewodowych
są jednakowe I
R
=I
S
=I
T
=I
p
i amplitudy prądów fazowych
są jednakowe I
RT
=I
SR
=I
TS
=I
f
f
p
I
3
I
Sposoby przyłączania odbiorników do 4-ro przewodowej sieci
trójfazowej
,więc moc wyrażona
za pomocą wielkości przewodowych jest
Moc w układach trójfazowych
Odbiornik połączony w gwiazdę: P=3U
f
I
f
cosφ
Biorąc pod uwagę, że I=I
f
,
f
U
3
U
cos
UI
3
P
Odbiornik połączony w trójkąt
P=3UI
f
cosφ
dla wielkości przewodowych:
cos
UI
3
P
Moc bierna:
sin
UI
3
Q
Moc pozorna:
UI
3
S
Transformator
Transformator jednofazowy - budowa
f
z
44
.
4
E
f
z
44
.
4
E
m
2
2
m
1
1
Przekładnia transformatora:
2
1
2
1
z
z
E
E
Napięcia na zaciskach transformatora:
U
1
– pierwotne,
U
2
– wtórne
2
1
2
1
z
z
U
U
Ponieważ sprawność transformatora jest bardzo duża 0.95 – 0.99
więc zachodzi U
1
I
1
=U
2
I
2
stąd przekładnia prądowa:
1
z
z
I
I
1
2
2
1
Autotransformator
Transformatory trójfazowe
•
Autotransformator YNa0d11.
•
Moc: 160 MVA
•
Napięcie GN 230 kV, DN 120 kV
•
Częstotliwość znamionowa 50 Hz
•
Prądy znamionowe GN 401,6 A, DN 769,8 A
•
Masa całkowita 150 ton, masa oleju 42 tony, masa części wyjmowanej 85 ton
a – liczba liter w imieniu, b – liczba liter w imieniu
Zadanie: Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie i przeprowadzić
bilans mocy:
~
230V, 50Hz
a[Ω]
b[mH]
5b[Ω]
10a[mH]
mF
a
1