Zastosowanie teorii 

podobieństwa

Takie same zjawiska fizyczne w układach 

podobnych geometrycznie i podobnych pod 

względem warunków granicznych mogą być do siebie 

podobne pod względem rozkładu 

charakterystycznych parametrów fizycznych:
np. przy przepływie dwu strug płynu wewnątrz 

przewodnictwo o przekroju okrągłym występuje 

podobieństwo hydrodynamiczne jeżeli tzw. 

zredukowany profil prędkości jest w porównywalnych 

przypadkach identyczny.

Warunki podobieństwa różnych przypadków 

tego samego zjawiska można zbadać analizując 

równanie różniczkowe opisujące zjawisko.

Do równania tego należy wprowadzić 

bezwymiarowe parametry zredukowane (stosunek 

lokalnej wartości parametru do umownej wartości 

charakterystycznej). Wówczas w równaniu pojawią 

się bezwymiarowe zespoły zbudowane z 

charakterystycznych wartości parametrów co 

występujących w równaniu.

Zespoły te nazywają się liczbami 

podobieństwa lub kryteriami podobieństwa.

Jeżeli kryteria podobieństwa mają tę samą 

wartość, równania różniczkowe z parametrami 
zredukowanymi mają identyczną postać i 
prowadzą do identycznych zredukowanych 
rozkładów parametrów fizycznych 
RÓŻNE PRZYPADKI ZJAWISKA FIZYCZNEGO SĄ DO 
SIEBIE PODOBNE, JEŻELI CHARAKTERYZUJĄ SIĘ TĄ 
SAMĄ WARTOŚCIĄ LICZB PODOBIEŃSTWA.

Analiza wymiarowa

W złożonych zjawiskach fizycznych ustalenie 

liczb podobieństwa za pomocą analizy równań 
różniczkowych może być bardzo trudne. Jeżeli 
podstawowe prawa fizyki rządzące rozpatrywanymi 
zjawiskami są nieznane, można posłużyć się tak zwaną 
analizą wymiarową, która wykorzystuje warunek 
zgodności jednostek miar w warunkach fizycznych.

Analiza wymiarowa wykorzystuje za 

pośrednictwem jednostek miar znajomość 
podstawowych praw fizycznych rządzących 
rozpatrywanym zjawiskiem.

Warunkiem zastosowania analizy wymiarowej 

jest poprawne ustalenie kompletnej listy parametrów 
fizycznych decydujących o wartości poszukiwanej 
wielkości fizycznej.

Równanie (11) przyjmuje postać:

 = Σ

i

 C

i

 

ai

 C

p

bi

 

bi

 

1-bi

 

-ai+bi

 l

ai-1

lub po uporządkowaniu:

l)  = Σ

i

 C

i

 [(l]

ai

 [(C

p

 ) / ]

bi

(13)

W równaniu (13) występują 3 bezwymiarowe liczby 
kryterialne:

liczba Reynoldsa: Re = (l
liczba Prandtla Pr = (C

p

 ) /  =  / a

gdzie: a = (współczynnik wyrównania temperatury, 
m

2

/s)

Wartość Pr wynika tylko z właściwości rozpatrywanego 
płynu.

Po lewej stronie występuje liczba Nussaltei Nu = l)  
Stąd:

Nu = Σ

i

 C

i

 Re

ai

 Pr

bi

(14)

Tab. 1. Stała C i wykładniki a i b równania korelacyjnego

Lp

Przypadek

Stała C

a

b

Uwagi

1

przepływ w rurze

mała lepkość płynu

0,023

0,8

0,4

Re > 10

4

2

przepływ w rurze

duża lepkość płynu

(>2 wody)

0,027((>

s

)

0,1

4

0,8

0,33

Sieder i Tate, Re > 10

4

(

s

 lep. w temp. ściany)

3

przepływ prostopadły

do rury pojedynczej

0,26

0,6

0,3

Re > 10

3

4

przepływ prostopadły

do 10 rzędów rur

ustawionych

w szachownice

0,33

0,6

0,33

Colburn, Re > 2 · 10

3

obliczone dla prędkości

między rurkami

5

przepływ prostopadły

do 10 rzędów rur

ustawionych szeregowo

0,26

0,6

0,33

obliczone dla prędkości

między rurkami

6

wnikanie ciepła do 

ziaren

1,064

1,95

0,59
0,49

0,33
0,33

Nu = ad/l, d – średnia kulki o 

powierzchni ziarna,

Re = wdl > 350

Re<350, Hougen i Watson

Obliczanie wymienników 

ciepła

Obliczanie wymienników ciepła sprowadza się do 

określenia: warunków hydrodynamicznych przepływu 
poszczególnych strumieni płynów, wyznaczenia 
współczynnika przenikania ciepła k oraz określenia 
średniej różnicy temperatur. Na tej podstawie możemy 
wyznaczyć powierzchnię wymiany ciepła.

Ze względu na kierunek przepływu płynów 

względem siebie rozróżnia się:

- wymienniki współprądowe, w których kierunek i zwrot 
prędkości przepływu obu czynników są zgodne;

- wymienniki przeciwprądowe, w których kierunek 
prędkości przepływu obu czynników jest zgodny, a zwrot 
przeciwny;

- wymienniki krzyżowe (prądu mieszanego) w których 
kierunki i prędkości przepływu są prostopadłe lub inne. 

W każdym przekroju wymiennika ciepła 

występuje inna wartość różnicy temperatur T 

między płynem cieplejszym, a zimniejszym. 

Obliczenie średniej wartości T

m

 jest 

głównym zadaniem teorii wymienników ciepła.

Najprostsze rozkłady temperatur otrzymuje 

się w parowaczu lub skraplaczu  jeden z 

płynów jest kondensującą się parą lub wrzącą 
cieczą i ma stałą temperaturę.

Rys. 1. Rozkład temperatur w parowaczu

Rys. 2. Rozkład temperatur w skraplaczu

Rys. 3. Rozkład temperatur przy współprądowej 
wymianie ciepła

Rys. 4. Rozkład temperatur przy przeciwprądowej 
wymianie ciepła

Rys. 5. Wymiennik 
ciepła z przepływem 
krzyżowym 

Rys. 6. Rozkład różnic 

temperatur dla zastępczego 

układu z przepływem 

krzyżowym

T

m

` = T

m

 =

= [(T

2 

– T

1

) / 

ln(T

2

/T

1

)]

Przenikanie ciepła przez 

rurę

w – wewnętrzna

z – zewnętrzna

m – średnia

Q* = 

w

 A

w

 (t

w

 – t

1

) = /s A

m

 (t

1

 – t

2

) = 

z

 A

z

 (t

2

 – 

t

z

) 

(t

w

 – t

z

) = Q* 1/(

w

 A

w

) + Q* s/( A

m

) + Q* 1/(

z

 

A

z

)

Q* = 1/[1/(

w

 A

w

) + s/( A

m

) + 1/(

z

 A

z

)] (t

w

 – t

z

) 

Prawą stronę równania możemy pomnożyć 

przez stosunek A

z

/A

z

 lub A

w

/A

w 



1/k

rz

 = 1/

w

 A

z

/A

w

 + s/ A

z

/A

w

 + 1/

z

1/k

rw

 = 1/

w

 + s/ A

w

/A

m

 + 1/

z 

A

w

/A

z

 

Współ. k

rz

 dla rury (odniesiony do A

z

) jest 

mniejszy niż dla ściany płaskiej o tej samej 
powierzchni.

Współ. k

rw

 jest większy niż współczynnik 

dla ściany płaskiej o powierzchni A

w

.

Promieniowanie ciepła odbywa się zgodnie z 

prawem Stefana-Boltzmana  energia 

wymieniona przez ciało doskonale czarne jest 
proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury 
bezwzględnej tego ciała:

Q*/A = C

0

 (T/100)

4

(52)

  tzw. stała promieniowania ciała doskonale 

czarnego.

Wymiana ciepła między ciałami opisana jest 

równaniem:

Q*

1-2

 = C

0

 A

1

 

1-2

 [(T

1

/100)

4

 - (T

2

/100)

4

] 

(53)

gdzie: T

1

 ,T

2

 – temperatury bezwzględne ciał 

wymieniających 

ciepło

A

1

    - 

powierzchnia ciała o temp. T

1

 



1-2

   - współczynnik uwzględniający 

odchylenia 

ciał od właściwości ciała 

doskonale 

czarnego oraz układ 

geometryczny obu ciał.

Przenikanie ciepła

Rys. 7. Rozkład temperatury podczas 

przenikania ciepła przez ściankę płaską

Q* = 

1

 A (t

1

 – t

ś1

) = /s A (t

ś1

 – t

ś2

) = 

z

 A (t

ś2

 – 

t

2

)

t

1

 – t

ś1

 = Q* / (

1

 A) 

t

ś1

 – t

ś2

 = (Q* s) / ( A) 

t

ś2

 – t

2

 = Q* / (

z

 A) 

po zsumowaniu:

t

1

 – t

2

 = (Q*/A) (1/

1

 + s/ + 1/

z

)

(54)



Q* = [1 / (1/

1

 + s/ + 1/

z

)] A (t

1

 – t

2

) = k A 

t

     (55)

k = 1 / (1/

1

 + s/ + 1/

z

) [W/(m

2

K)]

(56)

k     – 

współczynnik przenikania ciepła 

(Pecleta)

(55) – 

równanie Pecleta

Ze wzoru na k wynika, że spośród trzech 

wielkości: 

1

, 

2

 i /s decydujący wpływ na wartość 

współczynnika k wywiera to wyrażenie, którego 
wartość jest najmniejsza.

Dlatego często w praktyce przyjmuje się, że 

k ≈ 

1

, jeżeli wartości /s oraz  

2

 są znacznie 

większe w porównaniu z 

1

.

Aby uwzględnić promieniowanie wprowadza 

się zazwyczaj zastępczy współczynnik ruchu ciepła 
przez promieniowanie 

r

, który definiujemy 

równaniem:

Q*

1-2

 = 

r

 A

1

 (t

ś1

 – t)  (57)

stąd:



r

 = Q*

1-2

 / [A

1

 (t

ś1

 – t)]

ale (53):

Q*

1-2

 = C

0

 A

1

 

1-2

 [(T

1

/100)

4

 - (T

2

/100)

4

] 

(53)

więc:



r

 = {C

0

 

1-2

 [(T

1

/100)

4

 - (T

2

/100)

4

]} / (t

ś1

 – t) 

(58)

Sumaryczny ruch ciepła (wnikanie + 
promieniowanie):

Q* = (

k

 + 

r

) A

1

 t

Opory cieplne przenikania 

ciepła

• opór cieplny przewodzenia dla ściany 

płaskiej:

R



 = t / Q* = s / ( A) 

(59)

• opór cieplny wnikania:

R



 = 1 / ( A)

(60)

• opór cieplny promieniowania:

R

r

 = 1 / (

r

 A) 

(61)

• opór złożonego ruchu ciepła z wnikania i 

promieniowania:

R

+r

 = 1 / [(

k 

+ 

r

) A] (62)

Po przekształceniach:

1/R

+r

 = (

k 

+ 

r

) A = 1/R



 + 1/R

r

 

(63)

Równanie (63) opisuje związek oporów 

cieplnych wnikania i promieniowania, 
odpowiada zależności obowiązującej w 
obliczeniach oporów elektrycznych łączonych 
równolegle.

• opór cieplny przenikania:

R

k

 = 1 / (k A) 

(64)

R

k

 = R

1

 + R



 + R

2

 

(65)

Przenikanie ciepła przez 

wielowarstwową ścianę płaską

Rys. 8.

 

Rozkład temperatury podczas przenikania 

ciepła przez trójwarstwową ściankę płaską

Q* = 

1

 A (t

1

 – t

ś1

) 

(66)

Q* = (t

1

 – t

ś(n+1)

) / R



(67)

W naszym przykładzie n = 3

Q* = 

2

 A (t

ś(n+1)

 – t

2

)  (68)

Po przekształceniu i dodaniu stronami:

t

1

 – t

2

 = Q* {[1/(

1

 A)] + R



 + [1/(

2

 A)]}

(69)

R

k

 = R

1

 + R



 + R

2

 

(65)

Q* = (t

1

 – t

2

) / R

k

  

(70)

Ogólnie dla n:

Q* = k A (t

1

 – t

2

)

k A = 1 / R

k

 = 1 / {[1/(

1

 A)] + Σ

i=1

i=n 

[s

i

 / (

i

 A)] + 

[1/(

2

 A)]}

Rys. 9.

 

Rozkład temperatury podczas przenikania 

ciepła przez trójwarstwową ściankę rurową

Woda gorąca przepływa wewnątrz rury.

Q* = 

1

 A

1

 (t

1

 – t

ś1

) 

 = 

1

 d

w

L (t

1

 – t

ś1

) 

(71)

Q* = L [(t

ś1

 – t

ś(n+1)

) / R

r

]

(72)



2

 A

2

 (t

ś(n+1)

 – t

2

)  = 

2

 d

z

L (t

ś(n+1)

 – t

2

) 

(73)

Po przekształceniach:

Q* / (

1

 d

w

L) = t

1

 – t

ś1 

(74)

(Q* / L) R

r

 = t

ś1

 – t

ś(n+1)

 

(75)

Q* / (

2

 d

z

L) = t

ś(n+1)

 – t

2

(76)

dodając stronami (74) ÷ (76)

(Q* / L) [1/(

1

 d

w

) + R

r

 + 1/(

2

 d

z

)] = t

1

 – t

2

(77)

k

r

 = 1 / R

kr

 = 1 / {1/(

1

 d

w

) + Σ

i=1

i=n 

[ln(d

i+1

/d

i

) / 2

i

 ] 

+ 1/(

2

 d

z

)}

Q* = k

r

L (t

1

 – t

2

)

(78)

rury cienkościenne d

z

/d

w

 ≤ 1,5 (2,0)

Q* = k A t

m

(80)

Na różniczkowej powierzchni wymiennika 

dA gorący płyn oddaje w jednostce czasu 
różniczkową ilość ciepła.

dQ

1

 = -m

1

* Cp

1

 dt

A

 

(81)

Całkowity strumień ciepła przekazany na 

całej powierzchni A:

Q

1

 = -m

1

* ∫

t1p

t1k 

Cp

1

 dt

1

 

(82)

W równaniach tych mamy „-” dla 

przeciwprądu i „+” dla współprądu. 

Strumienie ciepła można opisać ze względu 

na wymianę ciepła między czynnikami:

- w odniesieniu do elementu powierzchni dA:

dQ*

1-2

 = k dA t (83)

-do całkowitej powierzchni:

Q*

1-2

 = A (k t)

m

(84)

z (83):

dA = dQ*

1-2

 / (k t)

 

(85)

Przyjmujemy, że w adiabatycznym 

wymienniku ciepła dQ*

1

 = dQ*

1-2

  oraz Q*

1

 = Q*

1-2

, 

wstawiając (81) do (85):

dA = (m

1

* Cp

1

 dt

1

 ) / (k t)

(86)

po scałkowaniu:

A = -m

1

* ∫

t1p

t1k 

[(Cp

1

 dt

1

) / (k t)]

(87)

(87)  (84):

Q*

1-2

 = -m

1

* ∫

t1p

t1k 

[(Cp

1

 dt

1

) / (k t)]  (k t)

m

 

(88)

porównujemy (88) z (82) i przekształceniu:

(k t)

m

 = [ ∫

t1p

t1k 

(Cp

1

 dt

1

) ] / {∫

t1p

t1k 

[(Cp

1

 dt

1

) / 

(k t)]} 

(89)

Zakładając: Cp=const i k=const mamy:

t

m

 = (t

1k

 – t

1p

) / [ ∫

t1p

t1k 

(dt

1

 / t) ] 

(90)

Podobne równania dla strumienia 2.

Do scałkowania wyrażeń na średnią różnicę 

temperatury konieczna jest znajomość zależności t = 

f(t

1

). Zależność ta jest najczęściej liniowa.

Jeżeli założymy prostoliniową zależność:

t = a t

1

+ b

to po przekształceniu otrzymamy:

t

m

 = (t

1k

 – t

1p

) / [ ∫

t1p

t1k 

(dt

1

 / t) ] =

= (t

1k

 – t

1p

) / { ∫

t1p

t1k 

[dt

1

 / (at+b)] } = (at

1k

 – at

1p

) / 

ln(t

k

/t

p

)  (91)

a po dodaniu w liczniku stałych b i –b mamy:

t

m

 = (t

k

 – t

p

) / ln(t

k

/t

p

) 

(92)

Identyczny wynik otrzymamy operując temperaturą t

2

. 

Wyrażenie to obowiązuje również, gdy jedna z wartości 
temp. jest stała.

Jest to tzw. średnia logarytmiczna różnica temperatury 
płynów.

Jeżeli więc w wymienniku ciepła obie strugi 

mają stałą pojemność cieplną to średnia różnica 
temperatur wyznaczona z zależności:

t

m

 = (t

p

 – t

k

) / ln(t

p

/t

k

)(93)

 Zwykle za początkowy przyjmuje się ten 

przekrój wymiennika ciepła, w którym występują 
większe różnice temperaturowe.

Jeżeli t

p

/t

k 

< 2 można w obliczeniach 

stosować średnią arytmetyczną:

t

m

 = (t

p

 + t

k

) / 2 

(94)

zamiast logarytmicznej  wynikający stąd błąd 

nie przekracza 4%.

Rozkład temperatury zależy od stosunku 

pojemności cieplnej obu płynów oraz od rodzaju ich 
przepływu.

Pojemnością cieplną płynu (równoważnik wodny 

płynu) tzw. iloczyn:

W = m* Cp

(95)

Jeśli założymy adiabatyczną wymianę ciepła, to 

równanie bilansu cieplnego dla płynów wymieniających 
ciepło 

Q*

1-2

 = W

1

 (t

1p

 – t

1k

) = ± W

2

 (t

2k

 – t

2p

)  (96)

Znak „+” dla przeciwprądu.

Znak „-” dla współprądu.

Q*

1-2

 = m*

1

 Cp

1

 (t

1p

 – t

1k

) = ± m*

2

 Cp

2

 (t

2k

 – t

2p

) 

(97)



W

1

 / W

2

 = ±  (t

1p

 – t

1k

) / (t

2k

 – t

2p

) 

(98)

Określenie rozkładu temperatur płynów wzdłuż 

drogi przepływu w wymienniku ciepła ma znaczenie 
w obliczeniach t

m

, a tym samym powierzchni 

wymiany ciepła.

Zakładając: dQ*

1

 = dQ*

2

 = dQ*

dQ* = - m*

1

 Cp

1

 dt

1

 = - W

1

 dt

1

 

dQ* = - m*

2

 Cp

2

 dt

2 

= - W

2

 dt

2

 



dt

1

 = - dQ* / W

1

dt

2

 = - dQ* / W

2

 

tworzymy różnicę przyrostów temperatury:

dt

1

 - dt

2

 = d(t) 



d(t) = - dQ* (1/W

1 

- 1/W

2

)  (99)

Uwzględniając, że:

dQ* = k dA T

otrzymujemy:

d(t) = - k dA  t (1/W

1 

- 1/W

2

)  (100)



d(t) / t = - k (1/W

1 

- 1/W

2

) dA  (101)

(101) całkujemy stronami w granicach od A

1

= 0 

do A

2

 oraz od t

1

 do t

2

 (zakładamy, że k = const) 



ln(t

2

/t

1

) = - k A

2

 (1/W

1 

- 1/W

2

)  (102)



t

2

 = t

1

 e

- k A2 (1/W1 - 1/W2)

 

(103)

t

2

 = t

k

 

 patrz rys. rozkładów

t

1

 = t

p

 

(103) 

jest to wzór określający różnicę 

temperatur płynów na 

wylocie wymiennika 

jako funkcję różnicy temp. na 

wlocie, jego 

powierzchni oraz odwrotności 

pojemności 

zastępczej (wzór Hudlera). 

t

k

 = t

p

 e

- (k A2) / W2

 

(103a)

Jeżeli szukana wielkość będzie różnicą 

temperatur płynów w dowolnym przekroju 
wymiennika (w odległości x od wlotu), to możemy je 
obliczyć na podstawie t

1

 z równania otrzymanego w 

wyniku całkowania:

t

x

 = t

1

 e

- (k Ax) / Wz

 

(104)

Jeżeli temperatura jednego z czynników nie 

zmienia się (skraplanie w skraplaczu, 
odparowanie w wyparce) to przyjmujemy, że jego 
pojemność cieplna jest nieskończenie duża 
(W=∞) i zastępczy równoważnik wodny 
przepływu w wyparce:

W

z

 = W

1

w skraplaczu:

W

z

 = W

2

Z przedstawionych równań można obliczyć 

również temperaturę przepływu płynów.

Temperatura ścianki

Ze względu na wybór materiału 

konstrukcyjnego konieczne jest często obliczanie 
temperatury ściany stanowiącej powierzchnie 
wymiany ciepła.

Jeżeli czynnik ogrzewający 1 oddaje ciepło:

Q* = 

1

 A

1

 (t

1

 – t

ś1

) 

(105)

- temp. czynnika;

- temp. ściany od strony czynnika 1;

czynnik 2 odbiera ciepło:

Q* = 

2

 A

2

 (t

ś2

 – t

2

) 

(106)

ale:

Q* = k A t 

(107)

gdzie:

t = t

1

 – t

2

Zakładając A

1

 ≈ A

2

 mamy:

t

1

 – t

ś1 

= (k t) / 

1

t

ś2

 – t

2 

= (k t) / 

2

Temp. ścianki od strony czynnika 1:

t

ś1 

= t

1

 – [(k t) / 

1

]  (108)

od strony czynnika 2:

t

ś2 

= t

2

 + [(k t) / 

2

]  (109)

Jeśli spodziewamy się bardzo małego oporu 

ściany w stosunku do oporów wnikania ciepła  

możemy go pominąć  (np. obliczanie wymiennika 

dla gazów). Wtedy:

Q* = 

1

 A

1

 (t

1

 – t

ś1

) 

Q* = 

2

 A

2

 (t

ś2

 – t

2

) 

Zakładając A

1

 ≈ A

2

 oraz t

ś1

 ≈ t

ś2 

≈ 

 

t

ś 



(t

1

 – t

ś

) / (t

ś

 – t

2

) = 

1

 / 

2

 

 

(110)

 temp. ściany ma wielkość zbliżoną do temp. tego 

czynnika, po którego stronie  jest większe.
(110) 

t

ś

 = (

1

 t

1

 + 

2

 t

2

) / (

1

 + 

2

)  

(111)

(111)  temp. ściany można znacznie obniżyć 

zapewniając 

  wysoką wartość  po stronie 

czynnika (gazu) zimniejszego.

Projekt procesowy i 

konstrukcyjny

Aby proces był maksymalnie ekonomiczny, 

powinien przebiegać możliwie szybko we 
wszystkich etapach przy maksymalnym 
wykorzystaniu wszystkich surowców, minimalnym 
zużyciu energii i jak największej wydajności z 
jednostki objętości aparatury.

Są to zasadniczo zagadnienia 

technologiczne  zasady technologiczne. 

Zasada najlepszego 

wykorzystania różnic 

potencjału

Prowadzenie procesu przy możliwie dużej 

sile napędowej i możliwie największym 
wykorzystaniu w całym (aparacie) ciągu 
technologicznym istniejących różnic potencjałów.

Zasada najlepszego 

wykorzystania surowców

Prowadzenie procesu przy optymalnych 

parametrach zapewniających maksymalną 
wydajność surowcową, zmniejszenie do minimum 
wszelkiego rodzaju strat produkcyjnych, 
wykorzystanie odpadów, stosowanie 
przeciwprądu, … .

Zasada najlepszego 

wykorzystania energii

Stosowanie maksymalnego gradientu 

temperatury, wyprowadzanie reagentów z 
procesu przy temperaturze możliwie bliskiej 
temperaturze otoczenia, odzysk ciepła 
odpadowego, racjonalna gospodarka energią 
mechaniczną i elektryczną … .

Zasada najlepszego 

wykorzystania aparatury

Zmniejszenie oporów stawianych przez 

układ zachodzącej przemianie, ciągłość pracy 
(stosowanie nowoczesnych rozwiązań 
konstrukcyjnych niezawodnych w działaniu i 
stwarzających doskonałe warunki dla 
prowadzenia procesu, stosowanie 
wytrzymałych i odpornych tworzyw 
gwarantujących lekkość konstrukcji i długą 
żywotność)  projekt konstrukcyjny, względy 

estetyczne, normalizacje, typizacja, …

Zasada umiaru 

technologicznego

Łagodzenie sprzeczności, które wynikają 

ze stosowania metod postępowania, 
umożliwiających realizację wymienionych 
zasad.

Zasada ta stanowi wprowadzenie 

elementów jakościowej optymalizacji 
rozpatrywanego problemu.

Powiększanie skali

Skala laboratoryjna

Badania prowadzi się najczęściej przy 

użyciu sztucznie przygotowanych substratów 
sposobem periodycznym na aparaturze 
zestawionej z typowego szkła 
laboratoryjnego.

Zdolność przerobowa odniesiona do 

produktu wacha się w granicach 0,1 do 1 
kg/szarżę.

Skala ćwierćtechniczna

Badania realizowane są w niedużych 

aparatach modelowych wykonanych z 
materiałów proponowanych do zastosowania 
w skali przemysłowej.

Zdolność produkcyjna: 1-10 kg 

produktu na godzinę lub szarżę.

Uściślenie parametrów 

technologicznych, analiza przyczyn 
ewentualnych zakłóceń … .

Skala półtechniczna 

(pilotowa, doświadczalno - 

produkcyjna

W przypadku całkowitej nowości aparatu 

(technologii). Konieczność sprawdzenia aparatury 
prototypowej, dostarczenie na rynek podobnych 
partii materiału, szkolenie załogi.

Zdolność produkcyjna od 10 do 100 kg 

produktu na godzinę.

 

KRYTERIA PODOBIEŃSTWA

Promieniowanie

Promieniowanie cieplne jest odrębnym 

rodzajem ruchu ciepła mającym szczególne 
znaczenie w wysokich temperaturach 
(promieniowanie cieplne jest przekazywane od 
wszystkich ciał stałych o temperaturze wyższej od 
zera K).

Intensywność promieniowania zależy od 

temperatury ciała oraz od właściwości materiału.

Promieniowanie cieplne (termiczne) jest 

przekazywaniem ciepła za pośrednictwem fal 
elektromagnetycznych albo fotonów.

Promieniowanie w odróżnieniu od 

przewodnictwa lub konwekcji, może zachodzić 
również w próżni.

Ten rodzaj ruchu ciepła polega na emisji i 

absorpcji energii promienistej, którą jedno ciało 
oddaje drugiemu przez warstwę 
przeźroczystego środowiska lub przez próżnię.

Proces ruchu ciepła przez promieniowanie 

ujmują prawa ( fizyka): Plancka, Stefana-

Boltzmana, Kirchoffa i Lamberta.

W teorii promieniowania bardzo istotne 

jest pojęcie ciała doskonale czarnego. Jest to 
takie hipotetyczne ciało, które pochłania całą 
energię promieniowania padającą na nie, nic 
nie przepuszczając ani nie odbijając.

Grubość warstwy izolacji

Q* / A = (

i

 / s

i

) (t

1

 – t

im

)

i – izolacja

t

1

 – temp. ośrodka grzejącego



s

i

 = 1/Q* (

i

 / A) (t

1

 – t

im

)

Założenie:  opór cieplny ścianki przewodu jest 
znikomo 

mały w porównaniu z oporem 

cieplnym jaki 

powinna stawiać warstwa 

izolacji.

d

1

 – zewnętrzna średnica przewodu metalowego 

(rury)

d

2

 – średnica przewodu izolowanego

Opór cieplny izolacji:

R

i

 = [1 / (2 

i

)] ln(d

2

/d

1

)

Strata ciepła przypadająca na jednostkę długości 

przewodu w jednostce czasu:

dQ* / dL =  / {[1/(

1

d

1

)] + [1/(2

i

)] ln(d

2

/d

1

) + [1/

(

2

d

2

)]} (t

1

-t

2

)

Szukamy wartości ekstremalnej mianownika:

d {[1/(

1

d

1

)] + [1/(2

i

)] ln(d

2

/d

1

) + [1/(

2

d

2

)]} / 

d(d

2

) = 0

traktując d

2

 jako zmienne, a inne zmienne jako stałe 

otrzymujemy:

d

2

 = d

2kr

 = 2 

i

 / 

2

(79)

Ustalenie odpowiedniej grubości warstwy 

izolacyjnej jest związane z ustaleniem optimów 
ekonomicznych.

Rys. 10. Zasady graficznej metody 

wyznaczania grubości warstwy izolacji 

cieplnej.

Wskazówki do projektowania 

wymienników ciepła

Projektowanie wymienników ciepła powinno objąć 

nie tylko obliczenia wymiany ciepła w aparacie, ale 
również zagadnienia konstrukcyjne i bezpieczeństwa 
ekonomicznego. Obliczenia projektowe składają się z 
następujących etapów:

1. Podstawą obliczeń jest sporządzenie bilansu cieplnego 
z ewentualnym uwzględnieniem strat ciepła. Możemy 
wziąć pod uwagę kilka wariantów:

1.1. Bilans ciepła w przypadku ogrzewania lub 
chłodzenia płynu bez zmiany stanu skupienia (w 
przeciwprądzie gdy T

a1

>T

a2  

i T

b1

>T

b2

) opisuje równanie:

Q* = m*

a

 c

pa

 (T

a1

-T

a2

) = m*

b

 c

pb

 (T

b1

-T

b2

) 

w którym a i b dotyczą płynów, a wartość ciepła 
właściwego jest przyjmowana jako średnia w danym 
przedziale temperatury.

1.2. Gdy po jednej stronie wymiennika zachodzi zmiana 
stanu skupienia czynnika, np. w skraplaczu pary 
chłodzonym wodą (T

b1

<T

b2

) lub wyparce ogrzewanej 

spalinami. bilans ciepła przyjmuje postać:

Q* = m*

a

 r

a

 = m*

b

 c

pb

 (T

b2

-T

b1

)

1.3. Jeżeli miana stanu skupienia zachodzi po obu 
stronach, np. w wyparce ogrzewanej parą, to mamy:

Q* = m*

a

 r

a

 = m*

b

 r

b

1.4. W szczególnym przypadku, gdy wymieniane jest 
równocześnie ciepło gazowego czynnika i ciepło utajone 
zawartej w nim pary, np. podczas ochładzania mieszanin 
pary i gazu, równanie bilansowe (T

a1

>T

a2  

, T

b1

<T

b2

 , i

a1

>i

a2

) 

przyjmuje postać:

Q* = m*

i

 c

pi

 (T

i1

-T

i2

) + m*

i

 (x

a1

i

a1

 – x

a2

i

a2

) – Ki

k

 = m*

b

 c

pb

 

(T

b2

-T

b1

)

gdzie x

a

 oznacza zawartość pary w czynniku wyrażoną w 

kilogramach na kg gazu suchego; K, kg/s, masowy 
strumień skroplin; i, J/kg, oznacza entalpię.

2. Określamy średnią różnicę temperatury dla procesu 
wymiany ciepła. Najczęściej posługujemy się średnią 
logarytmiczną skrajnych różnic temperatury. Niekiedy, 
gdy T

1

/T

2

 < 2 stosujemy średnią arytmetyczną.

3. W przypadku szczególnym, jakim jest chłodzenie 
gorącego gazu o niewielkiej zawartości pary wodnej, 
stosujemy metodę obliczeń polecaną przez Kerna i 
Hoblera:

a) obliczyć ciepło oddawane przez gaz i ciepło 
kondensacji pary; ich sumę należy przyjąć do obliczeń 
powierzchni aparatu;

b) zastosować współczynnik wnikania ciepła, obliczony 
jak dla gazu;

c) użyć średniej logarytmicznej jako średniej różnicy 
temperatury, biorąc pod uwagę skrajne temperatury 
gazu i wody chłodzącej.

W przypadku wyparki należy z kolei sprawdzić, czy 
obciążenie cieplne q, W/m

2

, jest dostatecznie małe w 

porównaniu z q

kr

.

4. Wyznaczamy współczynnik przenikania ciepła ze wzoru 
Pecleta. Jeżeli przebiega równocześnie kilka różnych 
procesów, to dla każdego wykonujemy osobne obliczenia. 
Przyjmuje się, że prędkość liniowa pary i gazów pod 
niewysokim ciśnieniem mieści się w granicach od 8 do 30 
m/s, cieczy natomiast nie przekracza 1,5 m/s. Im droższy 
jest materiał konstrukcyjny, tym zaleca się większe 
wartości prędkości przepływu. Wykonanie obliczeń 
współczynników wnikania i przenikania ciepła wymaga 
też założenia typu konstrukcyjnego wymiennika.

5. W ostatnim etapie obliczeń wyznacza się powierzchnię 
wymiany ciepła. Należy ją powiększyć, nawet o 30%, ze 
względu na małą dokładność obliczeń lub nie 
uwzględnienie pewnych czynników, np. zmian oporu 
cieplnego osadu. Wymiennik jest najtańszy, jeżeli w 
obliczeniach uwzględni się handlową długość rurek.

Rys. 11. Zależność =f(X,Z) dla różnych 

przypadków przepływu krzyżowego (wewnątrz 

rurek i prostopadle do nich według schematu)

Rys. 12. Zależność =f(X,Z) dla różnych 

przypadków przepływu mieszanego