KINEMATYCZNE
WŁASNOŚCI PRZEKŁADNI
KINEMATYCZNE
WŁASNOŚCI PRZEKŁADNI
Wielkości charakteryzujące koło zębate:
liczba zębów
z
,
cechy geometryczne
m
,
d, h
,
h
a
,
h
f
, itp.
kształt zarysu boku zęba.
Warunki współpracy zazębienia
Pamiętamy, że koła zębate mogą ze sobą
współpracować, kiedy mają ten sam
moduł
m
.
Kształt zarysu boku zęba w zasadzie
może być dowolny, ponieważ znana
jest metoda
REALAUX
, pozwalająca
wyznaczyć
przeciwzarys
danego
zarysu.
linia zarysu boku zęba
Jednakże
dla
prawidłowej
pracy
przekładni linia zarysu boku zęba musi
zapewniać:
1. stałość przełożenia
2. ciągłość zazębienia
Niespełnienie
pierwszego
warunku
powoduje, że w przekładni przy
=
const. części napędzającej, wystąpi
rozpędzanie
lub
hamowanie
części
napędzanej,
zależnie
od
chwilowej
wartości przełożenia
i
.
Z
pierwszym warunkiem związana jest tzw.
główna zasada zazębienia (zasada Willisa).
Z drugim warunkiem związana jest tzw. liczba
przyporu.
Spełnienie obu warunków zależy w głównej
mierze od kształtu linii zarysu boku zęba.
Zasadniczo kształt zarysu zęba może być
dowolny, jednakże nie wszystkie zarysy spełniają
przedstawione warunki, tj. stałości przełożenia i
ciągłości zazębienia.
Najkorzystniejsze okazały się zarysy utworzone
przez krzywe cykliczne, a więc wszelkiego rodzaju
cykloidy oraz ewolwenta koła, jako szczególny
przypadek cykloidy.
Krzywe cykliczne używane w kołach
zębatych to:
a) cykloida zwyczajna (ortocykloida),
b)epicykloida,
c) hipocykloida,
d)ewolwenta zwyczajna.
a) Cykloida zwyczajna (ortocykloida) – krzywa, którą
kreśli punkt koła toczącego się po innym kole.
Koło toczące się o promieniu
nazywamy kołem
odtaczającym, a koło nieruchome o promieniu
r
z
=
nazywamy kołem zasadniczym.
2
r
z
=
b) Epicykloida - uzyskuje się ją wówczas, gdy koło
odtaczające
toczy się po zewnętrznej części koła
zasadniczego
r
z
.
r
z
c) Hipocykloida - uzyskuje się ją wówczas, gdy koło
odtaczające
toczy się po wewnętrznym torze koła
zasadniczego
r
z
.
r
z
O
d) Ewolwenta zwyczajna - (odwinięcie koła) jako
szczególny przypadek cykloidy uzyskuje się, gdy
prosta toczy się po torze kołowym (kole
zasadniczym)
r
z
. W danym przypadku promień koła
odtaczającego
=
.
1 2
3
4
5
6
7
8
r
z
=
0
d
f
r
z
ewolwenta
ZASADA ZAZĘBIENIA (zasada
Willisa)
Z kinematycznego punktu widzenia od
zazębienia wymaga się równomierności
przenoszenia ruchu obrotowego.
Z tego zadania wynika główna zasada
zazębienia.
Prosta normalna do boku zęba w
punkcie
styku
B
zębów
kół
współpracujących musi przechodzić
przez punkt styku kół tocznych.
styczna do boku
zęba w punkcie
B
normalna do boku
zęba w punkcie
B
B
Prosta normalna do boku zęba
B
KT
1
KT
2
wspólna normalna
do zarysów zębów
w punkcie ich styku
punkt styczności kół
tocznych
Aby dwa zarysy współpracujących ze
sobą zębów miały wspólną normalną w
punkcie ich styku to muszą być one
utworzone
przez
to
samo
koło
odtaczające.
W przypadku zarysu ewolwentowego
kołem odtaczającym jest linia prosta, a
więc ten warunek zawsze jest spełniony.
Dowód
:
Koła
1
i
2
obracają się dokoła swoich
środków
O
1
i
O
2
w ten sposób, że ich zęby
pozostają w stałym styku. Koło
1
obracając się z chwilową prędkością
1
,
wskutek styku zębów w punkcie
B
, nadaje
kołu
2
chwilową prędkość
2
.
Równocześnie
zgodnie
z
zasadami
kinematyki otrzymujemy w punkcie
B
chwilowe prędkości obwodowe
V
1
i
V
2
.
1
1
1
B
r
ω
V
2
2
2
B
r
ω
V
(1
)
(2
)
B
O
1
O
2
KT
1
KT
2
r
1
r
2
r
B1
r
B2
C
r
z1
r
z2
N
2
N
1
V
1
V
2
H
D
E
F
C
1
W
1
C
2
W
2
Prędkości obwodowe
V
1
i
V
2
można
rozłożyć na składowe styczne do boków
zębów
W
1
i
W
2
oraz prostopadłe do nich
C
1
i
C
2
.
Rozpatrzmy podobne do siebie
trójkąty:
O
1
N
1
B będzie podobny do
BDH
O
2
N
2
B będzie podobny do
BEF
Z podobieństwa trójkątów wynika, że
stosunki podobnych boków muszą być
takie same.
1
1
1
1
1
1
1
B
z
r
r
B
O
N
O
V
C
1
1
1
1
B
z
r
r
V
C
2
2
2
2
2
2
2
B
z
r
r
B
O
N
O
V
C
2
2
2
2
B
z
r
r
V
C
(4
)
(3
)
Ponieważ zgodnie z założeniem zęby
powinny być w ciągłym styku przeto musi
być spełniony warunek:
2
1
C
C
(5
)
W przypadku gdy C
1
< C
2
wówczas ząb
koła drugiego „wyprzedzałby” ząb koła
pierwszego, a to jest absurdem.
W przypadku przeciwnym, gdy C
1
> C
2
,
ząb koła pierwszego „wciskałby” się w
ząb koła drugiego, co również jest
nonsensem.
Po zestawieniu wzorów (3), (4) i (5)
otrzymamy:
2
2
2
1
1
1
B
z
B
z
r
r
V
r
r
V
(6)
Po podstawieniu do wzoru (6) zależności
(1) i (2) uzyskuje się:
2
2
2
2
1
1
1
1
B
z
B
B
z
B
r
r
ω
r
r
r
ω
r
2
1
2
1
ω
r
ω
r
z
z
1
2
2
1
z
z
r
r
ω
ω
i
Rozpatrzmy podobne do siebie trójkąty
O
1
N
1
C i O
2
N
2
C.
Ponieważ
r
z1
i
r
z2
są bokami podobnymi do
siebie trójkątów przeto możemy napisać:
1
2
1
2
2
1
1
2
r
r
C
O
C
O
r
r
ω
ω
i
z
z
Wynika stąd, że linia łącząca średnice kół
zębatych O
1
i O
2
została podzielona przez
punkt
C
proporcjonalnie do prędkości
kątowych
1
i
2
.
Stosunek
1
/
2
wyraża zaś przełożenie
kinematyczne
i
przekładni, a zatem
można sformułować już podstawową
zasadę zazębienia, tzw. zasadę Willisa.
Jeżeli
przełożenie
kinematyczne
i
przekładni ma pozostać niezmienne, to
stosunek promieni kół tocznych
r
1
do
r
2
również musi pozostawać niezmienny, a
więc przy stałych obrotach osi kół
O
1
i
O
2
,
punkt
C
musi pozostać stale w tym
samym miejscu.
Punkt styczności kół tocznych
C
nosi
nazwę
centralnego punktu zazębienia
lub
bieguna zazębienia
.
Punkt
C
wynika z przecięcia odcinka z
linią łączącą środek kół
O
1
O
2
wobec czego
udowodniliśmy twierdzenie postawione
na początku.
2
N
N
1
Linią przyporu
(linia zazębienia)
nazywamy
miejsce
geometryczne
wszystkich punktów styku (przyporu)
zębów podczas zazębiania.
LINIA PRZYPORU
O
2
O
1
2
1
E
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
C
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
O
2
O
1
2
1
E
2
E
1
O
2
O
1
2
1
E
2
C
linia
przyporu
Weźmy pod uwagę współpracę dwóch zębów.
Zęby te stykają się ze sobą po raz pierwszy w punkcie
E
1
, gdzie stopa zęba koła
1
(napędzającego) spotyka
się po raz pierwszy z wierzchołkiem zęba koła
2
(napędzanego). Jest to pierwszy z punktów przyporu
wykorzystywany w danym zazębieniu.
Następnie punkt ten przesuwa się zajmując położenia
pośrednie. Trajektoria tego punktu nazywa się linią
przyporu.
Ostatnim punktem przyporu jest punkt
E
2
, gdzie
wierzchołek zęba koła
1
„rozstaje się” ze stopą zęba
koła
2
.
Odcinek linii przyporu nazywa się odcinkiem
przyporu.
2
1
E
E
Kąt zawarty między wspólną normalną do
zarysów zębów w punkcie styku zębów
B
a
styczną do kół tocznych nazywa się kątem
przyporu
.
O
2
O
1
wspólna normalna
do zarysów
styczna do kół
tocznych
KT1
KT2
B
C
linia przyporu
Kąt przyporu
Jeżeli linia przyporu jest krzywoliniowa to
kąt przyporu jest zmienny.
B
B
A
C
O
2
O
1
linia przyporu
A
Jeżeli linia przyporu jest prostą to
wyznacza ona również kierunek wspólnej
normalnej do zarysów, a zatem kąt
przyporu jest stały
= const.
O
2
O
1
2
1
E
2
=
const.
wspólna
normalna do
zarysów
linia przyporu
E
1
C
Z
warunku
ciągłości
zazębienia
niezbędne jest aby jedna para zębów
wychodząc
z
zazębienia
została
zastąpiona przez następną parę zębów.
O tym decyduje tzw. liczba przyporu
(wskaźnik przyporu, stopień pokrycia).
Rozpatrzmy współpracę dwóch zębów.
LICZBA PRZYPORU
(wskaźnik przyporu, stopień
pokrycia)
l
W czasie, gdy punkt przyporu przejdzie z
punktu
E
1
do punktu
E
2
, to punkt
A
1
, znajdujący
się na kole tocznym koła
1
, „przewędruje” w
tym czasie w położenie
A
2
.
E
1
O
2
O
1
2
1
E
2
KT1
A
1
A
2
B
1
B2
KT2
p
Natomiast punkt
B
1
, znajdujący się na kole
tocznym koła
2
, „przewędruje” w tym czasie w
położenie
B
2
.
Każdej długości odcinka przyporu
E
1
,
E
2
odpowiada łuk zazębień
A
1
A
2
i
B
1
B
2
mierzony
na okręgach kół tocznych.
Każdej długości odcinka przyporu
E
1
,
E
2
odpowiada łuk zazębień
A
1
A
2
i
B
1
B
2
mierzony
na okręgach kół tocznych.
A
1
A
2
= B
1
B
2
= l
Aby każda para zębów została w czasie pracy
zastąpiona przez następną parę zębów w
sposób ciągły to łuk zazębienia
l
musi być
większy od podziałki tocznej
p
mierzonej na
kole tocznym.
Liczba przyporu
(stopień pokrycia,
wskaźnik przyporu) jest to stosunek łuku
zazębienia
l
do podziałki tocznej
p
:
Liczba przyporu określa średnią liczbę
par
zębów
równocześnie
współpracujących.
p
l
ε
Jeżeli liczba przyporu
=1.5
, wówczas
każda para zębów pracuje przez 1/3 łuku
zazębienia samotnie, a na początku i
końcu łuku zazębienia współpracują dwie
pary zębów, również przez 1/3 łuku
zazębienia.
liczba
par
zębów
1
2
łuk
zazębienia
3
1
3
1
3
1
Uogólniając: jeżeli
1 <
< 2
, wówczas
odcinek czasu, przez który pracuje tylko
jedna para zębów wynosi (
2-
), a odcinek
czasu, w którym pracują dwie pary zębów
(
-1
).
Natomiast: jeżeli
2 <
< 3
, wówczas
odcinek czasu, przez który pracuje tylko
jedna para zębów wynosi (
3-
), a odcinek
czasu, w którym pracują dwie pary zębów
(
-2
).
Im większa jest liczba przyporu
tym
korzystniejsza (równiejsza) jest praca
przekładni.
POŚLIZG ZĘBÓW
Zjawisko
opisane
różnymi
prędkościami
stycznymi nazywa się
poślizgiem
.
Z rysunku wynika, że zęby ślizgają się po sobie
z prędkości
V
p
= |W
1
-W
2
|
.
Prędkości styczne
W
1
i
W
2
są równe zeru tylko w
punkcie
C
.
Poza tym punktem są one różne, a więc zawsze
występuje ślizganie się zębów.
B
O
1
O
2
KT
1
KT
2
r
B1
r
B2
C
V
1
V
2
W
1
W
2
E
1
O
2
O
1
2
1
E
2
KT2
KT1
A
1
A
2
B
1
B
2
Ponieważ
współpracujące
odcinki
zarysów |
E
1
A
1
E
1
B
1
|, to wielkość drogi
poślizgu wyniesie |
E
1
A
1
–
E
1
B
1
|.
Głowa zęba koła
1
ślizga się po stopie
zęba koła współpracującego
2
przy czym
odcinek czynnej wysokości stopy |
E
1
A
1
|
jest mniejszy od czynnej wysokości głowy
|
E
1
B
1
| zęba współpracującego, a zatem
stopa zęba zużywa się silniej niż jego
głowa.
Siły występujące w zazębieniu
Siła wynikająca z oddziaływania jednego zęba
na drugi zawsze działa wzdłuż wspólnej
normalnej do zarysów w punkcie ich styku.
kp
1
kp
2
C
linia przyporu
B
siła miedzyzębna
B
C
O
2
O
1
linia przyporu
A
P
OA
P
OB
P
RA
P
RB
P
NA
P
NB
W przypadku krzywoliniowej linii przyporu, siła
międzyzębna
P
N
zmienia kierunek
oddziaływania, zaś jej składowe: obwodowa
P
O
oraz promieniowa
P
R
zmieniają swoje wartości.
W przypadku prostej linii przyporu, zarówno
siła międzyzębna
P
N
jak i jej składowe:
obwodowa
P
O
oraz promieniowa
P
R
maja te
same wartości i kierunki.
C
O
2
O
1
linia przyporu
B
P
OB
P
RB
P
NB