POŁĄCZENIA CIERNE
Wprowadzenie
Sposoby montażu
Obciążalność połączeń ciernych
Rozkłady naprężeń w elementach
łączonych
Zależność miedzy wciskiem skutecznym
a naciskiem na powierzchni styku
Obciążalność elementów złącza
połączenia ciernego
Połączenie cierne – połączenie
spoczynkowe o sprężyście
odkształconych, gładkich powierzchniach
styku czopa i oprawy.
W budowie maszyn i okrętownictwie
takie połączenia są szeroko stosowane
np. do osadzania kół zębatych na wałach
lub kołnierzy na wałach w sztywnych
sprzęgłach kołnierzowych linii wałów
okrętowych.
Suma odkształceń czopa i oprawy
stanowi tzw. wcisk skuteczny, który
wywołuje docisk w polu styku.
Docisk ten pozwala przenieść obciążenie
(siłę lub moment skręcający) za pomocą
sił tarcia pojawiającego się na
powierzchni styku.
8
0
H
7
/s
6
czop
oprawa
Zalety:
prostota konstrukcji,
zwartość złącza,
łatwość wykonania,
dokładne osiowanie elementów
łączonych,
duża obciążalność złącza – statyczna i
dynamiczna.
Wady:
duże naprężenia montażowe
(niebezpieczne dla materiałów
kruchych),
utrudniony montaż,
możliwość zmiany wcisku podczas
pracy (temperatura lub siła
odśrodkowa).
Sposoby montażu
W zależności od sposobu montażu
rozróżnia się połączenia:
wtłaczane (prasa hydrauliczna),
skurczowe (nagrzewanie oprawy
do max. 300400C).
rozprężane (oziębianie czopa),
kombinowane.
Obciążalność połączeń ciernych
I. Obciążenie siła styczną
P
T
do powierzchni styku.
Obciążenie to przenoszone
będzie za pomocą sił
tarcia.
W związku z tym:
P
T
T
Wiemy jednak, że:
N
T
(1)
P
T
l
p
d
P
T
/2
l
p
d
P
T
/2
W naszym przypadku siła nacisku
N
będzie
wypadkową z nacisków
p
na powierzchni
styku:
F
p
N
F
N
p
(2)
gdzie:
F
– pole powierzchni styku równe:
l
d
F
(3)
Wykorzystując zależności (1), (2) i (3)
uzyskujemy:
(4)
Po przekształceniu otrzymujemy zależność na
wymagany nacisk
p
wym
na powierzchni styku
zapewniający obciążalność złącza siła
P
T
:
(5)
l
d
p
F
p
N
T
P
T
l
d
P
p
T
wym
Siła potrzebna do rozłączenia złącza jest
zwykle o 30% do 50% większa od siły
P
T
.
II. Obciążenie momentem skręcającym
M
l
d
M
Obciążenie to
przenoszone będzie za
pomocą sił tarcia.
W związku z tym:
M
M
T
=
T
d/2
Wykorzystując uprzednio wyznaczone
zależności (1), (2) i (3) otrzymamy:
2
2
2
2
d
l
d
p
d
F
p
d
N
d
T
M
(6)
Po przekształceniu otrzymujemy zależność na
wymagany nacisk
p
wym
na powierzchni styku
zapewniający obciążalność złącza momentem
M
:
l
d
M
p
wym
2
2
(7)
Rozkłady naprężeń w elementach
łączonych
d
z1
d
w
2
1
/2
2
/2
W połączeniach ciernych wcisk skuteczny
w
w =
1
+
2
,
zależy od wcisku pomiarowego
w
pom
w
pom
= d
z1
-d
w2
,
stanowiącego różnicę średnic czopa
d
z1
i
oprawy
d
w2
przed zamontowaniem złącza.
Rozkłady naprężeń w elementach
łączonych
T
T
R
R
T
–
naprężenia obwodowe
R
–
naprężenia
promieniowe
W wyniku odkształcenia elementów łączonych w
czopie i oprawie pojawią się naprężenia:
T
– naprężenia obwodowe,
R
– naprężenia promieniowe.
W czopie i oprawie na ich powierzchni styku
naprężenia promieniowe są równe naciskom
powierzchniowym:
R
= p
p
p
p
R2
R1
T1
T2
(+
)
(-)
(-)
(-
)
T2
T2
R1
Wycinek oprawy
Zależność miedzy wciskiem
skutecznym a naciskiem na
powierzchni styku
W celu wyznaczenia zależności miedzy
wciskiem skutecznym
w
a naciskiem na
powierzchni styku
p
wykorzystuje się:
twierdzenie Lame’go (zagadnienie
związane z wytrzymałością
materiałów,
pojęcie współczynnika wydrążenia.
Twierdzenie Lame’go mówi o tym, że
suma naprężeń obwodowego
T
i
promieniowego
R
w każdym punkcie
przekroju danego pierścienia ma wartość
stałą.
T
1
+
R1
= const
T
2
+
R2
= const
Wiemy jednak, że na powierzchni styku
naprężenia promieniowe
R
zarówno w
czopie jak i oprawie są równe naciskom
powierzchniowym
p
.
R1
=
R2
=
p
Dla uproszczenia oznaczmy naprężenia
obwodowe
T
na powierzchni styku
odpowiednio jako:
T1
=
1
T2
=
2
d
d
d
d
x
z
w
1
1
1
1
2
2
2
2
d
d
d
d
x
z
w
d
w
1
d
z
1
d
w
2
d
z
2
d
1
d
2
d
x
1
– współczynnik wydrążenia czopa,
x
2
– współczynnik wydrążenia oprawy.
Wykorzystując twierdzenie Lame’go
można wykazać, że na powierzchni styku
czopa i oprawy stosunek naprężeń
obwodowych
T
=
do naprężeń
promieniowych
R
=
p
można wyrazić za
pomocą współczynnika wydrążenia
x
.
oprawy
dla
x
x
p
czopa
dla
x
x
p
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
(1)
(2)
Dla jednoosiowego stanu naprężenia,
odkształcenie względne
części można wyrazić
za pomocą prawa Hooke’a:
E
gdzie:
- naprężenia występujące w odkształcanej
części,
E
– moduł sprężystości wzdłużnej materiału
odkształcanej części (moduł Younga).
Prawo Hooke’a dla dwuosiowego stanu
naprężenia materiału izotropowego wyraża się
następującymi zależnościami między
składowymi stanu naprężenia
x
,
y
:
P
y
P
x
P
x
P
y
y
x
x
v
E
1
x
y
y
v
E
1
Wyznaczmy odkształcenia względne elementów
łączonych:
dla czopa:
1
1
1
1
E
p
dla oprawy:
2
2
2
2
E
p
(3)
(4)
Całkowity wcisk względny
będzie sumą
odkształceń względnych czopa
1
i oprawy
2
:
2
1
Podstawiając zależności na odkształcenia
względne czopa (3) i oprawy (4) uzyskuje się:
2
2
2
1
1
1
E
p
E
p
(5)
(6)
Podzielmy obie strony równania (5) przez
p
:
Jeżeli jednak postawimy zależności (1) i (2) to
otrzymamy:
2
2
2
1
1
1
1
1
v
p
E
v
p
E
p
(7)
(8)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
v
x
x
E
v
x
x
E
p
Zależność między wciskiem
a naciskiem na
powierzchni styku
p
wyraża się następującą
zależnością:
lub zależność między naciskiem na powierzchni
styku
p
a wciskiem
:
(9)
(10)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
v
x
x
E
v
x
x
E
p
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
v
x
x
E
v
x
x
E
p
Zależności (8) i (9) pozwalają obliczyć dwa
podstawowe zadania związane z połączeniem
ciernym:
Zadanie I.
Dana jest pasowanie, np.
120 H7/s6
,
Z tego pasowanie obliczamy wcisk
bezwzględny
w
,
Dla tego wcisku obliczamy wcisk względny
=
w
/d (d – średnica nominalna pasowanego
połączenia),
Wykorzystując zależność (9) obliczamy
nacisk
p
,
Dla tego nacisku obliczamy dopuszczalną
obciążalność złącza (siła
P
lub moment
skręcający
M
).
Zadanie II.
Dane jest obciążenie złącza (siła
P
lub
moment skręcający
M
),
Dla tego obciążenia obliczamy nacisk
p
,
Wykorzystując zależność (8) obliczamy
wcisk względny
,
Dla tego wcisku względnego obliczamy
wcisk
bezwzględny
w
,
Wcisk bezwzględny
w
pozwala nam dobrać
odpowiednie pasowanie zapewniające
poprawną pracę połączenia ciernego.
Jeżeli czop i oprawa zostaną wykonane z tego
samego materiału (
E
=
E
1
=
E
2
oraz
=
1
=
2
)
to zależność (8) przyjmie postać:
(11)
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
E
p
Analiza równania wyrażającego stosunek
miedzy odkształceniem względnym
a
naciskiem
p
pokazuje, że skuteczność
połączenia ciernego zależy od cech
geometrycznych (współczynniki wydrążenia
x
1
i
x
2
) oraz cech materiałowych (
E
1
i
E
2
oraz
1
i
2
).
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
v
x
x
E
v
x
x
E
p
Obciążalność elementów złącza
połączenia ciernego
Warunek wytrzymałościowy dla elementów
złącza wykonanych z materiałów ciągliwych
praktycznie nie istnieje. Wynika to z faktu, że
odkształcenia wywołane największym wciskiem
nie mogą wywołać pęknięcia elementu. A
zatem należy sprawdzić warunek stosowalności
wzoru:
p
o
p
e
gdzie:
p
e
–
nacisk odpowiadający początkowi
występowania odkształceń plastycznych w
najbardziej obciążonym obszarze elementu
słabszego,
p
o
– obliczeniowy
nacisk w polu styku.
Wartość
p
e
wyznacza się zgodnie z hipotezą
największej energii odkształcenia
postaciowego:
dla czopa drążonego:
2
1
1
1
1
58
0
x
,
R
p
e
e
dla oprawy:
2
2
2
2
1
58
0
x
,
R
p
e
e
gdzie:
2
2
e
e
R
p
- współczynnik obciążalności elementu
wykonanego z materiału ciągliwego.
0
0,
2
0,
4
0,
6
0,
8
1,
0
współczynniki wydrążenia czopa
x
1
lub oprawy
x
2
dla materiału
ciągliwego
w
sp
ó
łc
zy
n
n
ik
i
o
b
ci
ą
ża
ln
o
śc
i
cz
o
p
a
p
e
1
/
R
e
1
l
u
b
o
p
ra
w
y
p
e
2
/
R
e
2
0,
2
0,
4
0,
8
0,
6
1,
0
Analiza wykresu pokazuje, że w przypadku
czopa drążonego jego obciążalność jest dużo
mniejsza w porównaniu z czopem pełnym.
Nawet niewielki otwór w czopie powoduje
spadek obciążalności czopa aż o 48%.