2. Termiczne równanie stanu,

2. Termiczne równanie stanu,

przemiana termodynamiczna

przemiana termodynamiczna

Pod pojęciem stanu rozumiemy 
zwykle zespół wielkości, które mogą 
przybierać różne wartości, a których 
zmiana wiąże się ze zmianą stanu.

2.1. Stan termodynamiczny czynnika

2.1. Stan termodynamiczny czynnika

Stan termodynamiczny czynnika

 

określany jest zespołem 

parametrów 

stanu

 - określane na podstawie 

pomiarów lecz bez znajomości 
historii układu. 

Parametry stanu:



 ilość substancji



 objętość



 ciśnienie



 temperatura



 

składowe prędkości



 współrzędna położenia



 stężenia

objętość 
właściwa

Objętość właściwa

2.2. Termiczne parametry stanu

2.2. Termiczne parametry stanu

Równania  termodynamiki  dogodniej 
jest  zapisywać  za  pomocą  objętości 
właściwej,  podczas  gdy  w  równaniach 
mechaniki  płynów,  częściej  występuje 
gęstość.







1

m

V

v

Ciśnienie:

A

F

p 





g

h

p

m

m









ot

m

p

p

p





ciśnienie 
manometryczne

bezwzględne ciśnienie 
statyczne

bezwzględne ciśnienie 
statyczne

ot

m

p

p

p





ot

m

p

p

p





Membrana reaguje na 

różnicę

ciśnień

Membrana reaguje na 

różnicę

ciśnień

Rurka Pitota służy 

do pomiaru 

prędkości płynu

2

2

1

w

p

d





2

2

1

w

p

d





d

ot

m

d

s

c

p

p

p

p

p

p













d

ot

m

d

s

c

p

p

p

p

p

p













ciśnienie 
dynamiczne

ciśnienie 
całkowite

parametr stanu to 
p

s

parametr stanu to 
p

s

Temperatura

Pojęcie to nie zostało wprowadzone przez mechanikę 
i jest
wielkością typowo termodynamiczną.

Istnienie parametru termicznego zwanego 

temperaturą

 wynika

z tzw. 

zerowej zasady termodynamiki

 lub 

tranzytywności równowagi termicznej

.

A

B

C

A

C

R

R

R

Nie każde dwa stany termiczne ciał są stanami wzajemnej
równowagi. Oznacza to, że wystąpienie równowagi stanowi
ograniczenie wyboru parametrów p

A

, v

A

, p

B

, v

B

 tych ciał.

Równowaga termiczna 

to stan, w którym pomiędzy ciałami nie

jest przekazywana żadna energia, a parametry termiczne nie
zmieniają się.

A

B

R





0

,

,

,

f

1



B

B

A

A

v

p

v

p





0

,

,

,

f

2



C

C

B

B

v

p

v

p





0

,

,

,

f

3



C

C

A

A

v

p

v

p













C

C

B

B

A

A

v

p

v

p

v

p

,

,

,

3

2

1











W  celu  zmierzenia  temperatury  należy  doprowadzić  do 
równowagi termometru i danego ciała. Jednocześnie przyjmuje 
się  dla    wzorcowej  substancji  termometrycznej  funkcję  ,  dla 

rtęci

Dla  każdego  ciała  istnieje  jednoznaczna  funkcja  ciśnienia  i 
objętości
właściwej,  przy  czym  dla  ciał  w  stanie  równowagi  wartości 
tej funkcji są sobie równe.

b

at

v





temperatura 
empiryczna

temperatura 
empiryczna

t



Różne substancje i funkcje oznaczają różne skale 
termometryczne. 

Bezwzględna skala

15

.

273



t

T

2.3. Termiczne równanie stanu

2.3. Termiczne równanie stanu

Każda substancja ma swoje własne 
równanie stanu. Termodynamika 
zajmuje się głównie gazami oraz 
cieczami.





v

p

t

,









v

p

t

,





Z zerowej zasady termodynamiki 
wynika nie tylko istnienie temperatury, 
ale również istnienie zależności 
pomiędzy parametrami stanu.





0

,

,

F



T

v

p





0

,

,

F



T

v

p

dwa stopnie 
swobody

2.4. Termiczne równanie stanu 

2.4. Termiczne równanie stanu 

gazu     

gazu     

doskonałego i 

doskonałego i 

półdoskonałego

półdoskonałego



  cząsteczki  gazu  są  punktami  materialnymi  (nie 

posiadają objętości własnej)



 cząsteczki gazu nie oddziałują na siebie



  cząsteczki  poruszają  się  ruchem  postępowym  i 

obrotowym

W 

celu 

uproszczenia 

rozważań 

termodynamika 

stosuje 

model 

gazu 

doskonałego 

i 

półdoskonałego 

(odpowiedniki 

modelu punktu materialnego i bryły sztywnej 
w mechanice)

Gaz doskonały

Gaz doskonały



 cząsteczki gazu są punktami 

materialnymi   

(nie posiadają 

objętości własnej)



 cząsteczki gazu nie oddziałują na 

siebie



 cząsteczki poruszają się ruchem 

postępowym, 

obrotowym i 

drgającym

Gaz półdoskonały

Gaz 

doskonały

Gaz 

doskonały

 

ma 

stałą 

pojemność 

cieplną 

właściwą 

(ciepło  właściwe),  podczas  gdy 
pojemność  cieplna  właściwa 

gazu 

gazu 

półdoskonałego

półdoskonałego

 

zależy 

od 

temperatury.

Kiedy gaz można traktować jak doskonały i/lub
półdoskonały?

Gaz rzeczywisty tym bardziej  zbliża się do 
modelu gazu doskonałego im ma:

• mniejsze ciśnienie

• wyższą temperaturę
Wymagania  te  są  tym  ostrzejsze  im 
większe są cząsteczki.

• 1-atomowe - gazy doskonałe

• 2-atomowe - do temp. ok 100

o

C gazy doskonałe,

              dla wyższych półdoskonałe

• 3-atomowe - gazy półdoskonałe lub rzeczywiste

Równanie

Równanie

 Clapeyron’a

 Clapeyron’a

RT

pv 

RT

pv 

p - ciśnienie
v - objętość właściwa
T - temperatura bezwzględna
R - indywidualna stała 
gazowa
      R=idem

RT

pv 

RT

pv 

(MR) = 8314.4 kJ/kmol K = const

uniwersalna stała gazowa

RT

p

RT

p









MRT

pMv 

MRT

pMv 

  



T

MR

Mv

p



  



T

MR

Mv

p



RT

pv 

RT

pv 

mRT

pV 

nM

m 





T

MR

n

pV 





T

MR

n

V

p

RT

m

V

p













2.5. Termiczne równanie stanu 

2.5. Termiczne równanie stanu 

gazu     

gazu     

rzeczywistego

rzeczywistego







RT

v

v

p

p

















RT

v

v

p

p















RT

b

v

v

a

p















 

2





RT

b

v

v

a

p















 

2



 



RT

b

v

b

v

v

T

a

p























 



RT

b

v

b

v

v

T

a

p





















Równanie Van der Waalsa

Równanie Redlich - Kwonga

Z

Z

RT

pv









1

...

1

2









v

C(T)

v

B(T)

RT

pv

Równania wirialne

...

)

(

)

(

1

2













p

T

C

p

T

B

RT

pv

2.6. Roztwory gazów doskonałych i 

2.6. Roztwory gazów doskonałych i 

półdoskonałych

półdoskonałych

Udział masowy (gramowy, wagowy)

Informacją podstawową o roztworze 
jest jego skład

m

m

g

i

i



1









m

m

g

i

i

i

i

Udział molowy







i

i

i

i

n

n

n

n

z

1









n

n

z

i

i

i

i















i

i

i

i

i

i

i

i

M

z

M

n

n

M

n

m

n

m

M

Np. powietrze:

84

.

28

28

79

.

0

32

21

.

0

2

2

2

2

















N

N

O

O

a

M

z

M

z

M

Udział objętościowy

V

V

r

i

i



V

V

r

i

i



p

V

T

p

i

V

T

p

V

i

T

ciśnienie 
cząstkowe

objętość 
cząstkowa





i

i

p

p





i

i

p

p

Prawo 
Daltona

i

i

pV

V

p



i

i

pV

V

p



p

r

V

V

p

p

i

i

i





1





i

i

r





T

MR

n

V

p

i

i







T

MR

n

V

p

i

i



Dla pojedynczego 
składnika

Sumując dla wszystkich składników otrzymujemy





T

MR

n

V

p

i

i

i

i



































T

MR

n

V

p

i

i

i

i



































T

MR

n

pV 





T

MR

n

pV 

T

R

m

V

p

i

i

i



T

R

m

V

p

i

i

i



Dla pojedynczego 
składnika

Sumując dla wszystkich składników otrzymujemy

mRT

pV 

mRT

pV 

T

R

m

m

m

T

R

m

V

p

i

i

i

i

i

i

i

i































































i

i

i

R

g

R

















i

i

i

R

g

R

zastępcza stała 
gazowa





T

MR

n

V

p

i

i







T

MR

n

V

p

i

i



Dla pojedynczego 
składnika

Sumując dla wszystkich składników otrzymujemy

n

n

p

p

i

i



n

n

p

p

i

i







T

MR

n

pV 





T

MR

n

pV 

i

i

z

r 

i

i

z

r 

T

R

m

V

p

i

i

i



Dla pojedynczego 
składnika

Sumując dla wszystkich składników otrzymujemy

R

R

m

m

p

p

i

i

i



mRT

pV 

R

R

g

r

i

i

i











i

i

i

i

i

i

i

M

M

g

MR

M

M

MR

g

R

R

g

r















i

i

i

i

i

i

i

M

M

g

MR

M

M

MR

g

R

R

g

r







M

M

r

g

i

i

i



2.7. Przemiana termodynamiczna

2.7. Przemiana termodynamiczna

Obrazem przemiany jest 
linia na powierzchni 
stanów

 

Przemiana termodynamiczna

 to 

zmiana stanu termicznego czynnika 
(od stanu początkowego do 
końcowego) przez kontinuum stanów 
pośrednich.

 

v

p h



Równanie przemiany 
ma jeden stopień 
swobody

 

Równanie 

przemiany 

termodynamicznej 

to 

dodatkowe 

równanie  więzów  na  parametry 
stanu,  np.  w  przypadku  izotermy 
gazu doskonałego mamy:

idem



T

idem

idem



R

pv

RT

pv 

 
sprężanie
 
rozpręża
nie
 izobara

Przebieg ciśnienia w układzie:

Zmiany objętości właściwej w układzie:



 dv > 0



 dv < 0



 dv = 0



 dp > 

0



 dp < 

0



 dp = 

0

 ekspansja
 kompresja
 izochora

Przemiany mogą przebiegać jako:



 nieodwracalne



 odwracalne



 pseudoodwracalne

p

v

0

d

dp



v

Przy opisie matematycznym przemian musimy
korzystać z następujących praw:



 zasada zachowania ilości 

substancji



 I zasada termodynamiki 

(zasada  zachowania energii)



 II zasada termodynamiki

związki
ilościowe

związki
jakościowe